LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x | f (x) | Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. |
1.9
1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1 |
2.61
2.9601 2.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41 |
|x – 2| | | f (x) – 3| |
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1 |
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41 |
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
Definición épsilon-delta
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe <!–[if gte vml 1]> <![endif]–><!–[if !vml]–><!–[endif]–> Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista |
Teoremas sobre límites
A través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones a mano.
Límite de una función constante
Sea f(x)=k, donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa,
para a=4.
Por la izquierda | Por la derecha | ||
---|---|---|---|
x | f(x) | x | f(x) |
3.75 | k | 4.25 | k |
3.9375 | k | 4.0625 | k |
3.98437 | k | 4.01562 | k |
3.99609 | k | 4.00391 | k |
3.99902 | k | 4.00098 | k |
Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:
Teorema 1: Límite de una función constante.Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:
|
Límite de f(x)=x cuando xa
Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda | Por la derecha | ||
---|---|---|---|
x | f(x) | x | f(x) |
3.75 | 3.75 | 4.25 | 4.25 |
3.9375 | 3.9375 | 4.0625 | 4.0625 |
3.98437 | 3.98437 | 4.01562 | 4.01562 |
3.99609 | 3.99609 | 4.00391 | 4.00391 |
3.99902 | 3.99902 | 4.00098 | 4.00098 |
La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 2: Límite de f(x)=x.Sea f(x)=x. Entonces:
|
Límite de una función multiplicada por una constante
Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2.
Compara los valores de las dos columnas.
x | [k f(x)] | k [f(x)] |
---|---|---|
-1.25 | -11.5 | -11.5 |
-1.0625 | -10.375 | -10.375 |
-1.01563 | -10.0937 | -10.0937 |
-1.00391 | -10.0234 | -10.0234 |
-1.00098 | -10.0059 | -10.0059 |
Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:
Teorema 3: Límite de una función multiplicada por una constante.Sea k una constante y f(x) una función dada. Entonces:
|
Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones
Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a.
En este ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
f(x) | g(x) | f(x)+g(x) | f(x)-g(x) | f(x)g(x) | f(x)/g(x) |
---|---|---|---|---|---|
5.84 | 4.2 | 10.04 | 1.64 | 24.528 | 1.39048 |
5.0804 | 4.02 | 9.1004 | 1.0604 | 24.4232 | 1.26378 |
5.008 | 4.002 | 9.01 | 1.006 | 20.042 | 1.25138 |
5.0008 | 4.0002 | 9.001 | 1.0006 | 20.0042 | 1.25014 |
5.00008 | 4.00002 | 9.0001 | 1.00006 | 20.0004 | 1.25001 |
Observa bien la tabla. Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente teorema:
Teorema 4: Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funcionesSupóngase que
Entonces:
|
El límite de una potencia
A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.
x | xn | an |
---|---|---|
1.75 | 5.35937 | 8.0 |
1.9375 | 7.27319 | 8.0 |
1.98437 | 7.81396 | 8.0 |
1.99609 | 7.95322 | 8.0 |
1.99902 | 7.98829 | 8.0 |
El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 5: Límite de una potencia.Sea n un entero positivo, entonces:
|
Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:
Teorema 6: Límite de un polinomio.El límite de un polinomio. Sea f(x) una función polinomial, entonces:
|
Teorema 7: Límite de una función racional.Sea f(x)=p(x)/q(x) un cociente de polinomios, entonces:
|
Límite de una función que contiene un radical
A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar. En la tabla, a=3 y n=2.
x | x(1/n) | a(1/n) |
---|---|---|
2.75 | 1.65831 | 1.73205 |
2.9375 | 1.71391 | 1.73205 |
2.98437 | 1.72753 | 1.73205 |
2.99609 | 1.73092 | 1.73205 |
2.99902 | 1.73177 | 1.73205 |
Lo anterior sugiere el próximo teorema.
Teorema 8: Límite de una función que contiene un radical.Si a>0 y n es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces:
|
El límite de una función compuesta
La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos «descubierto» se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes.Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta (fog )(x) = f[g(x)]. En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.
x | g(x) | f[g(x)] | f(L) |
---|---|---|---|
2.75 | 11.5625 | 3.40037 | 3.60555 |
2.9375 | 12.6289 | 3.55372 | 3.60555 |
2.98437 | 12.9065 | 3.59256 | 3.60555 |
2.99609 | 12.9766 | 3.6023 | 3.60555 |
2.99902 | 12.9941 | 3.60474 | 3.60555 |
La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 9: El límite de una función compuesta.Si f y g son funciones tales que:
entonces,
|
La definición formal de límite
En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente el concepto de límite y su definición formal. Analiza la siguiente animación y observa que sucede con los valores f(x) cuando x se acerca a un número a.
Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está x del número a=1, los valores de la función están más cerca del número L=2. De manera equivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca del número L=2, es necesario que los valores de x estén suficientemente cerca del número a=1.
|f(x)-L|< cuando |x-a|<. |
Límites que no existen
A continuación damos dos ejemplos de un límite que no existe.
Distinto comportamiento por la izquierda y por la derecha
El primer ejemplo se trata de una función discontinua definida por secciones. Investigaremos el valor de Lim f(x) cuando x1. Observa la siguiente animación.
- Como viste, cuando x se acerca a 1, los valores de la función NO se acercan a un número. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x)2, y cuando x se acerca a 1 por la derecha,
f(x)3. Por eso decimos que:
Lim f(x) NO EXISTE |
x1 |
Comportamiento no acotado
Investigaremos el límite de la función f(x)=1/x2 con la siguiente animación.
- Como habrás observado, conforme x se acerca a cero por ambos lados, los valores de la función crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la función no se acercan a ningún número. Entonces, el límite no existe. Esperamos que las gráficas generadas anteriormente hayan ayudado a que comprendas el concepto importantísimo del límite de una función, y la definición formal de límite. Es muy importante que comprendas este concepto, por lo que te sugerimos que estudies este cuaderno por el tiempo que sea necesario.