¿Qué es una integral? Referencias históricas

Hay varios tipos de integrales: integrales indefinidas y definidas, la integral de Riemann y Riemann-Stieltjes, la integral de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes y la integral de Daniel. Según el área de integración, las integrales se dividen en integrales múltiples, curvilíneas y de superficie.

Referencia histórica

La integración se remonta al antiguo Egipto alrededor del 1800 a. C. , como lo demuestra el papiro matemático de Moscú (o el papiro matemático de Golenishchev). El primer método conocido para calcular integrales es un método para estudiar el área o volumen de figuras curvilíneas: el método de agotar Eudoxo (Eudoxo de Cnidus (c. 408 aC – c. 355 aC) – matemático griego antiguo, mecánico y astrónomo), que se propuso alrededor del 370 a. C. La esencia de este método es la siguiente: la figura, el área o el volumen que intentaron encontrar, se dividió en un número infinito de partes para las que ya se conoce el área o el volumen. Este método se desarrolló aún más en los trabajos del matemático, físico e ingeniero griego Arquímedes (287 a. C. – 212 a. C.). ) para calcular las áreas de las parábolas y aproximar el área de un círculo. Métodos similares fueron desarrollados en China en el siglo III d. C. por el matemático chino Liu Hui (c. 220 – c. 280), quien los usó para encontrar el área de un círculo. Para encontrar el volumen de una esfera, este método fue utilizado por el matemático, astrónomo, mecánico, escritor chino Zu Chongzhi (429-500), junto con su hijo, también matemático y astrónomo, el gobernador de la región y tesorero del estado, Zu Geng.

Además, en el siglo XI en Irak, el científico, matemático, mecánico, físico y astrónomo árabe universal Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham al-Basri (965-1039) dio un gran paso adelante en el desarrollo del cálculo integral en Irak (o Ibn al-Haytham, conocido en Europa como Alhazen), quien en su obra «Sobre la medida de un cuerpo parabólico» da fórmulas para la suma de cuadrados, cubos y cuartos grados sucesivos, y una serie de otras fórmulas para las sumas de series. Usando estas fórmulas, realiza un cálculo equivalente a calcular una integral definida:

una0XreX∫0axdx

Usando la inducción matemática, pudo generalizar sus resultados para integrales de polinomios hasta el cuarto grado. Por lo tanto, estuvo cerca de encontrar una fórmula general para integrales de polinomios no mayores que el cuarto grado.

El siguiente impulso significativo en el cálculo de integrales tuvo lugar solo en el siglo XVI en las obras del matemático italiano Bonaventure Francesco Cavalieri (1598-1647), que describió su método propuesto de indivisibles, así como en las obras del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665). Estos científicos sentaron las bases del cálculo integral moderno. Un mayor desarrollo está asociado con las actividades del matemático, físico y teólogo inglés Isaac Barrow (1630 – 1677) y del matemático y físico italiano, alumno de Galileo Evangelista Torricelli (1608 – 1647), quien presentó los primeros indicios de la conexión entre integración y diferenciación.

Durante la formación del cálculo integral, la notación de la integral también cambió. El físico, mecánico, matemático y astrónomo inglés Isaac Newton (1643-1727) utilizó, aunque no en todas sus obras, el icono cuadrado antes o alrededor de la designación de la función, así como la barra vertical sobre la función, como símbolo de integración, pero estas designaciones no recibieron una amplia difusión. distribución. La notación moderna para la integral indefinida fue introducida por el filósofo, lógico, matemático, mecánico, físico, abogado, historiador, diplomático, inventor y lingüista alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en 1675. Formó el símbolo integral a partir de la letra «s larga» (de la primera letra de la palabra Summa – sum) Notación moderna de una integral definida, que indica los límites de integración, fue propuesto por primera vez por el matemático y físico francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) en 1819-20. El término «integral» en sí mismo fue acuñado por el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) en 1690. 

Hoy en día el calculo de integrales si no tienes las nociones necesarias es muy sencillo gracias a por ejemplo la calculadora de integrales en linea.

Usar integrales en la práctica

La principal tarea del cálculo diferencial es determinar para una función dada F)F(x)su derivado Ff)F′(x)=f(x) o su diferencial FdfdXF′(x)dx=f(x)dx… El problema inverso de definir una función F)F(x) por su derivada conocida F)f(x)diferencial FdXf(x)dx, es el principal problema del cálculo integral.