Referencia: Oppenheim 1.2.1 p8 pdf39, Lathi 1.2-1 p71
1. Desplazamiento en tiempo de señales
Una señal x(t) que se retrasa por k segundos se representa como una versión desplazada hacia la derecha el eje t.
Es decir:
\phi (t+k)= x(t)o de otra forma:
\phi (t)= x(t-k)se podrá observar entonces que el signo determina el desplazamiento hacia:
- la derecha si se resta k
- la izquierda si se suma k
Para mostrar las reglas, se tiene el siguiente ejemplo, usando como señal
x(t)=sen(t)
.
Algoritmo en Python
# Señales- Operaciones desplazamiento
import numpy as np
# INGRESO
w = 1 # frecuencia
k = 1 # desplazamiento
fx = lambda t: np.sin(w*t)
a = -8 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.1 # tamaño de paso
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a,b,dt)
senal = fx(ti)
derecha = fx(ti-k)
izquierda = fx(ti+k)
# SALIDA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,derecha,
label='derecha : x(t-k)',
linestyle='dashed')
plt.plot(ti,izquierda,
label='izquierda: x(t+k)',
linestyle='dashed')
# entorno de grafica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
2. Escalamiento en tiempo de señales
La compresión o expansión de la señal en el tiempo es conocida como escalamiento en el tiempo.
Considere la señal x(t) afectada en el tiempo por un factor de 2.
Se encuentra que:
siguiendo con la señal del ejercicio anterior
x(t) = sin(t)
.
Algoritmo en Python para gráfica
# Señales- Operaciones expande comprime
import numpy as np
# INGRESO
w = 1 # frecuencia
k = 1 # desplazamiento
factor =2 # escala en tiempo
fx = lambda t: np.sin(w*t)
a = -8 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.1
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a,b,dt)
senal = fx(ti)
derecha = fx(ti-k)
izquierda = fx(ti+k)
expande = fx(ti/factor)
comprime = fx(factor*ti)
# SALIDA - Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,derecha,
label='derecha : x(t-k)',
linestyle='dashed')
plt.plot(ti,izquierda,
label='izquierda: x(t+k)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
#plt.show()
# GRAFICA expande o comprime
plt.figure(2)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,expande,
label='expande=x(t/factor)',
linestyle='dashed')
plt.plot(ti,comprime,
label='comprime=x(t*factor)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
3. Inversión en tiempo de una señal
Si la función resultante es x(-t), la señal x(t) se invierte rotando sobre el eje de las ordenadas (vertical).
\phi (t)= x(-t)
Observe el resultado de la ecuación:
# Señales- Operaciones inversion en tiempo
import numpy as np
# INGRESO
w = 1 # frecuencia
k = 1 # desplazamiento
factor =2 # escala en tiempo
fx = lambda t: np.sin(w*t)
a = -8 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.1
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a,b,dt)
senal = fx(ti)
derecha = fx(ti-k)
izquierda = fx(ti+k)
expande = fx(ti/factor)
comprime = fx(factor*ti)
espejo = fx(-ti) # inversion en tiempo
# SALIDA - Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,derecha,
label='derecha : x(t-k)',
linestyle='dashed')
plt.plot(ti,izquierda,
label='izquierda: x(t+k)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
#plt.show()
# GRAFICA expande o comprime
plt.figure(2)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,expande,
label='expande=x(t/factor)',
linestyle='dashed')
plt.plot(ti,comprime,
label='comprime=x(t*factor)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
# GRAFICA inversion en tiempo
plt.figure(3)
plt.plot(ti,senal,label='x(t)')
plt.plot(ti,espejo,
label='espejo=x(-t)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
4. Modelo general de desplazamiento, escalamiento, e inversión
En resumen, el efecto de transformar la variable independiente de una señal x(t) para obtener la señal modificada es de la forma:
x(at+b)Con la transformación, la variable independiente conserva la forma de x(t). La señal puede ser:
- alargada linealmente cuando |a| < 1 ,
- comprimida si |a| > 1,
- invertida en el tiempo si a < 0, y
- desplazada en el tiempo si b es diferente de cero.
- siendo desplazada a la derecha si se resta el valor de |b|
- siendo desplazada a la izquierda si se suma el valor de |b|
5. Algoritmo en Python x(at+b)
# Señales - desplazamiento, escalamiento, e inversión
import numpy as np
# INGRESO
w = -1 # frecuencia
k = 0 # desplazamiento
fx = lambda t: np.sin(t)
gx = lambda t: fx(w*t+k)
a = -8 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.1
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a,b,dt)
fi = fx(ti)
senal = gx(ti)
# SALIDA - Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)
plt.plot(ti,fi,label='x(t)')
plt.plot(ti,senal,label='x(wt+k)',
linestyle='dashed')
# entorno de gráfica
plt.axvline(0, color='gray')
plt.axhline(0, color='gray')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='lower left')
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()
Ejemplo de desplazamiento en tiempo de una señal
Observe por un minuto el siguiente video sobre el desplazamiento en el tiempo (delay) en una guitarra.