Referencia: Lathi 1.5 p92, Oppenheim 1.2.3 p13 pdf44, Hsu 1.2.E p3

1. Señales Pares

Una función o señal x(t) ó x[n] es par si se "refleja" en el eje vertical u ordenadas, es decir tienen simetría reflectiva a través del eje de las y.

x(t) = x(-t) x[n] = x[-n]

La señal tiene los mismos valores para el lado positivo o negativo de |t|. Es como si se aplicara el valor absoluto de t antes de aplicarlo en la ecuación.

1.1 Ejemplo de gráfica de función o señal par con Python

Un señal par conocida es cos(t). Para observar mejor, se marcará el área que genera la función dentro de un periodo centrado en el origen. Para ilustrar mejor el concepto se reutiliza los ejemplos anteriores de señales periódicas.

Se inicializa los parámetros para:

• el periodo T de una señal
• el número m de periodos que se observarán de la señal, donde m debe ser un número par.
• El punto de inicio t₀ para el eje horizontal se puede calcular a partir de T y m, dado que se extiende hacia cada lado del eje vertical, t₀ al encontrarse a la izquierda del eje vertical tiene signo negativo.
• El punto de final t_n para tendrá el signo positivo de t₀
• los tramos por periodo de la señal a observar, deben ser un número 2^k, donde k es un número entero.

# Señales pares e impares
import numpy as np

# INGRESO parámetros
T  = 2*np.pi
f  = 1/T
w  = 2*np.pi*f
fx = lambda t: np.cos(w*t)

m  = 2        # incluir m periodos en grafica
t0 = -(m/2)*T # usa lado negativo de abscisas
tramos = 32   # tramos por periodo 2**k, siendo k entero

Para observar mejor la gráfica, se marcará el área que genera la señal dentro de un periodo centrado en el origen.

La cantidad de muestras depende de cuántos periodos m de la señal se quieran observar. Se necesitan tantas muestras como tramos de cada lado, incluyendo la muestra del origen (m*tramos+1).

# PROCEDIMIENTO
tn = -t0 # vector de tiempo
muestras = m*tramos+1
ti = np.linspace(t0,tn,muestras)
# dt = ti[1]-ti[0]
dt = (tn-t0)/(tramos*m)

senal = fx(ti)

# marcar un periodo en [desde, hasta]
desde = -T/2
hasta = desde + T + dt
tperiodo = np.arange(desde,hasta,dt)
periodo = fx(tperiodo)

Se marca un periodo comprendido en: [-T/2,T/2], sombreando alrededor de t=0. Para destacar el eje vertical se usa el color rojo.

# SALIDA
# GRAFICAS
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(ti,senal)

plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal x(t)')
plt.grid(True)

# marcar un periodo
plt.title('Señal PAR')
plt.fill_between(tperiodo,0,periodo,
                 color='lightgreen')
plt.axvline(x=0, color='red')
plt.tight_layout()

plt.show()

2. Señales Impares

La gráfica de una función o señal impar es simétrica con respecto al origen. Una señal x(t) ó x[n] es impar si se cumple que:

x(t) = -x(-t) x[n] = -x[-n]

Una señal impar debe ser necesariamente 0 en t=0 o n=0.

2.1 Ejemplo de gráfica de función o señal impar con Python

En el ejemplo se usará una señal par como el sin(). Se utiliza las instrucciones del algoritmo anterior, modificando la señal f(x) en el bloque de ingreso

fx = lambda t: np.sin(w*t)

y el título de la gráfica

plt.title('Señal IMPAR')

2.2 Algoritmo en Python para señales Impares

Las instrucciones en Python para señales pares e impares son:

# Señales pares e impares
import numpy as np

# INGRESO parámetros
T  = 2*np.pi
f  = 1/T
w  = 2*np.pi*f
fx = lambda t: np.cos(w*t)

m  = 2        # incluir m periodos en grafica
t0 = -(m/2)*T # usa lado negativo de abscisas
tramos = 32    # tramos por periodo 2**k, siendo k entero

# PROCEDIMIENTO
tn = -t0  # vector de tiempo
muestras = m*tramos+1
ti = np.linspace(t0,tn,muestras)
# dt = ti[1]-ti[0]
dt = (tn-t0)/(tramos*m)

senal = fx(ti)

# marcar un periodo en [desde, hasta]
desde = -T/2
hasta = desde + T + dt
tperiodo = np.arange(desde,hasta,dt)
periodo  = fx(tperiodo)

# SALIDA
# GRAFICAS
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(ti,senal)

# entorno gráfica
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal x(t)')
plt.grid(True)

# marcar un periodo
plt.title('Señal PAR')
plt.fill_between(tperiodo,0,periodo,
                 color='lightgreen')
plt.axvline(x=0, color='red')
plt.tight_layout()

plt.show()

Tarea

probar con otras funciones tales como:

• t
• |t|
• t²
• t³
• |- e^t|

nota: el valor absoluto en Python para t se escribe como abs(t), o usando Numpy np.abs(t)