1. Señal Compuesta
Referencia: Lathi Ejercicio 1.8 p86, Oppenheim ejemplo 1.1 p10, Hsu problema 1.22 p35
Una señal compuesta que se construye con varias señales mas simples, que entre ellas se encuentran desplazadas, con cambios de escala en tiempo, etc. Para realizar la gráfica de la señal compuesta con Python se las escribe como la suma de las partes. También es posible usar la forma por partes piecewise() o como un conjunto de instrucciones por bloques.
En Python es necesario seleccionar la forma más conveniente para definir cada señal:
- en formato simplificado
lambda - por bloques
def-return
Por ejemplo Un escalón es mas sencillo definir en formato Lamba. Sin embargo, una señal con más partes se recomendaría realizarla por partes o bloques, definiendo su forma más básica para luego poder realizar cambios de escala o desplazamientos en el tiempo.
u = lambda t: np.heaviside(t,1)2. Señal Rampa y rectángulo
Referencia: Lathi Ejercicio 1.8 p86
Demuestre que la señal mostrada en la figura (en libro y al final) puede ser descrita como:
x(t) = (t-1)\mu(t-1) - (t-2)\mu(t-2) - \mu(t-4)
Algoritmo en Python
En el ejercicio se presenta que la señal se compone de la "suma" de sus partes. Se aprovecha la propiedad de linealidad para los sistemas para el caso presentado
# Señales compuestas
import numpy as np
# INGRESO
# u = lambda t: np.piecewise(t, t>=0, [1,0])
u = lambda t: np.heaviside(t,1)
# señal como suma de componentes
x1 = lambda t: (t-1)*u(t-1)
x2 = lambda t: -(t-2)*u(t-2)
x3 = lambda t: - u(t-4)
x = lambda t: x1(t) + x2(t) + x3(t)
a = -2 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.05
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a, b, dt)
xi = x(ti)
# evalua componentes para grafica
x1i = x1(ti)
x2i = x2(ti)
x3i = x3(ti)
# SALIDA - gráfico
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1) # componentes
plt.plot(ti, x1i, '--', label='(t-1)u(t-1)')
plt.plot(ti, x2i, '--', label='- (t-2)u(t-2)' )
plt.plot(ti, x3i, '--', label='- u(t-4)')
plt.plot(ti, xi, label='x(t)')
plt.legend()
plt.ylabel('x(t) por partes')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.figure(2) # señal compuesta
plt.plot(ti, xi, label='x(t)')
plt.ylabel('x(t)')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.show()
3. Rectángulo y rampa
Referencia: Oppenheim ejemplo 1.1a p10
Dada la señal x(t) mostrada en la siguiente gráfica, realizar x(t+1), ...
Procedemos como en el ejercicio anterior, continuando con el uso de la función escalón μ(t) .
# Señales modelo varias-ejercicio
import numpy as np
# INGRESO
# u = lambda t: np.piecewise(t, t>=0, [1,0])
u = lambda t: np.heaviside(t,1)
# señal como suma de las partes
x1 = lambda t: -(t-1)*u(t-1)
x2 = lambda t: (t-2)*u(t-2)
x = lambda t: u(t) + x1(t) + x2(t)
a = -2 # intervalo de tiempo [a,b)
b = 8
dt = 0.05
# PROCEDIMIENTO
ti = np.arange(a, b, dt)
xi = x(ti)
# evalua componentes para grafica
x0i = u(ti)
x1i = x1(ti)
x2i = x2(ti)
# SALIDA - gráfico
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1) # componentes
plt.plot(ti,x0i, '--', label='u(t)')
plt.plot(ti,x1i, '--', label='-(t-1)*u(t-1)')
plt.plot(ti,x2i, '--', label='(t-2)*u(t-2)')
plt.plot(ti,xi, label='x(t)')
plt.legend()
plt.ylabel('x(t) por partes')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.figure(2) # señal compuesta
plt.plot(ti, xi, label='x(t)')
plt.ylabel('x(t)')
plt.xlabel('t')
plt.grid()
plt.show()
el resultado de la señal compuesta se observa en la gráfica
4. Señal con desplazamiento y escala
Referencia: Oppenheim ejemplo 1.1b p10
Semejante al ejercicio anterior, realizar la gráfica:
2x(t+1)Para el ejercicio, se define el punto donde se desplaza la señal, y la escala para la amplitud. Para observar los cambios se grafica el desplazamiento y luego el cambio de escala en magnitud.
# INGRESO
desplaza = -1
escala = 2
xd_i = x(ti-desplaza)
yi = escala*x(ti-desplaza)
# salida - gráfico
plt.figure(4)
plt.plot(ti, xi, '--' , label='x(t)')
plt.plot(ti, xd_i, '-.', label='x(t-desplaza)')
plt.plot(ti, yi, label='escala*x(t-desplaza)')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
Tarea
Referencia: Oppenheim ejemplo 1.1a p10
A partir de la seña x(t) del ejercicio anterior, realice el ejercicio para obtener las gráficas:
- x(-t+1)
- x(3t/2)
- x(3t/2 +1)
Referencia: Hsu problema 1.22 p35
