1. Diagrama de bloques
Referencia: Oppenheim 2.4.3 p124.
Semejante a lo presentado en sistemas contínuos se tiene,
y[n] = a y[n-1] + x[n]
Aunque los primeros ejemplos dados son de claramente señales discretas en tiempo, las señales contínuas en tiempo pueden también ser procesadas por sistemas discretos usando muestreo.
Los diagramas de bloques se elaboran usando Xcos de Scilab que es software abierto.
2. Ecuación de diferencias y Operadores
Referencia: Lathi 3.5 p265, Lathi 3.5 p269
Los sistemas discretos LTID (linear time-invariant, discrete time systems) se analizan de forma semejante a los de tipo continuo, con algunas variantes.
Ecuaciones de Diferencias
Las ecuaciones de diferencia se pueden escribir de dos formas:
- La primera usa términos con atrasos como y[n-1], y[n-2], x[n-1]...
- La segunda con terminos de avance como son y[n+1], y[n+2], x[n+1]...
La forma con atrasos es mas natural, mientras que ser prefieren las forma de avances por motivos de uniformidad con las operaciones de ecuaciones de diferencias.
Una ecuación de diferencias con operador de avances tiene la forma:
y[n+N] + a_1 y[n+N-1] + \text{…} + a_{N-1} y[n+1] + a_N y[n] = = b_{n-M} x[n+M] + b_{N-M+1} x[n+M-1] + \text{…} + + b_{N-1} x[n+1] + b_N x[n]que es una ecuación de diferencias con orden de magnitud max(N,M). Se asume que el coeficiente de y[n+N] es 1, es decir a0=1, sin perder la generalidad, caso contrario se normaliza.
2.1 Notación de operadores E
Para simplificar la escritura en sistemas discretos, las ecuaciones de diferencias usan la notación E para mostrar una operación de avance de una unidad. La notación de operadores es semejante a la usada en ecuaciones diferenciales que era D.
E x[n] = x[n+1] E^2 x[n] = x[n+2] E^N x[n] = x[n+N]por lo que una ecuación de diferencias de primer orden se puede escribir como:
y[n+1] - a y[n] = x[n+1] E y[n] - a y[n] = E x[n] y[n] = E x[n]lo que refleja lo antes usado para el manejo de operadores:
Q(E) y[n] = P(E) x[n]3. Ejemplo: Cuenta de ahorros
Referencia: Lathi ejemplo 3.6 p253, Oppenheim ejemplo 1.10 p40. Acumuladores en Fundamentos de programación
Una persona ahorradora realiza depósitos regularmente en el banco a un intervalo T mensual. El banco paga intereses registrados en el estado de cuenta en el periodo T y lo envía al depositante.
Siendo:
| x[n] | depósito realizado en el instante n-ésimo |
| y[n] | saldo de la cuenta al n-ésimo instante inmediato luego de recibir el n-ésimo depósito x[n] |
| r | tasa de interés del periodo T |
El saldo y[n] es la suma [i] del saldo anterior y[n-1], los intereses r sobre y[n-1] durante el periodo T y el depósito x[n]. El evento se puede registrar mediante la ecuación:
y[n] = y[n-1] + r y[n-1] + x[n]reordenando la ecuación:
y[n] = (1+ r) y[n-1] + x[n] y[n] - (1+ r) y[n-1] = x[n]por facilidad se simplifica, a = 1+r
la ecuación general se escribe como:
y[n] - a y[n-1] = x[n]Para el caso presentado, la expresión podría escribirse también para manejar retiros de la cuenta si se cambia de signo al valor de x[n]. También debe considerar condiciones iniciales, por ejemplo al abrir la cuenta y[0] = M si es un depósito, o en otro caso Y[0] = -M por si lo que representa es un préstamo.
El índice de tiempo n es una variable arbitraria, se puede sustituir en la referencia por n+1
y[n+1] - a y[n] = x[n+1]La expresión con n-1 usa un operación de retardo o retraso, mientras que n+1 usa una operación de avance o adelanto.
El operador de retraso n-1 es más natural, pues la operación es causal, realizable en el tiempo. La operación de adelanto n+1 es no causal, no realizable en tiempo. Por facilidad de operación matemática se usa el operador de adelanto.
4. Ejemplo: Estimación de ventas
Referencia: Lathi ejercicio 3.7 p255, Hsu 2.39 p100
Un vendedor de una editora de libros en un n-ésimo semestre con x[n] estudiantes registrados en un curso vende y[n] copias de un libro.
En promedio, la cuarta parte de los estudiantes al final del semestre revende el libro usado, el libro se mantiene en buenas condiciones por tres semestres.
Escriba la ecuación que relaciona los libros vendidos por la editora y[n], considerando el número de estudiantes registrados x[n] en el n-ésimo semestre, bajo el supuesto que todos los estudiantes compran el libro.
Durante el n-ésimo semestre, los x[n] estudiantes tienen libros compuestos por libros nuevos vendidos y[n] mas los libros de segunda mano de los dos semestres anteriores.
- Del semestre inmediato anterior, la cuarta parte de los libros nuevos se revendieron, (1/4) y[n-1].
- Lo mismo sucedió hace dos semestres (1/4) y[n-2] que se vendieron en el semestre anterior (n-1).
- También 1/4 de los revendidos el semestre anterior, se vuelven a vender, llegando al ciclo final de vida del libro, es decir (1/4)(1/4 y[n-2]) = (1/16) y[n-2].
Siendo así, los x[n] estudiantes tienen libros provenientes de los libros nuevos y revendidos, expresados mediante:
y[n] + \frac{1}{4} y[n-1] + \frac{1}{16} y[n-2] = x[n]por facilidad de operaciones matemáticas, se desplaza los índices a positivos,
y[n+2] + \frac{1}{4} y[n+1] + \frac{1}{16} y[n] = x[n+2]Para diagramar el sistema, se reordena la ecuación original como entrada-salida:
y[n]= -\frac{1}{4} y[n-1] -\frac{1}{16} y[n-2] + x[n]