1. Ejercicio - Modulación de amplitud de pulsos a PSK
Referencia: Problema 9.133 León-García p574
Un proceso de modulación por fase se define como:
Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)
Sea X(t) un proceso de modulación de amplitud de pulsos con valores de +1 y -1 que representan a los bits 1 y 0 como se muestra en la tabla.
| dato en binario (bit) | símbolo |
|---|---|
| 1 | +1 |
| 0 | -1 |
Suponga que T=1, que es la duración de cada símbolo X(t).
Algunos datos: De los experimentos realizados con BPSK y Sigma-Delta para encontrar la pmf de [+1,-1], se encontró que la media del proceso era igual a 0.
2. Gráfica con Python
a) Dibuje una muestra de la función Y(t) correspondiente a la secuencia binaria 0010110
Algoritmo con Python
# Problema 9.133 Leon-Garcia p.574
# PAM - Pulse Amplitude Modulation
# PSK - Phase Shift Keying
# literal a)
import numpy as np
# INGRESO
# secuencia = input('secuencia binaria: ')
secuencia = '0010110'
# PROCEDIMIENTO
n = len(secuencia)
# texto a símbolos PAM
senalbit = np.zeros(n,dtype=int)
for i in range(0,n,1):
senalbit[i] = int(secuencia[i])
if (senalbit[i]==0):
senalbit[i] = -1
# Señal en PAM
anchobit = 100 # muestras dentro de cada bit
senalpam = np.repeat(senalbit, anchobit)
m = len(senalpam)
# Eje de tiempo:
ti = np.arange(0,m,dtype=float)
ti = ti/anchobit
# Señal PSK
f = 1
senalpsk = np.zeros(m,dtype=float)
for i in range(0,m,1):
fase = (np.pi/2)*senalpam[i]
senalpsk[i] = np.cos(2*np.pi*f*ti[i] + fase)
# SALIDA
# GRAFICA ---------------------
import matplotlib.pyplot as plt
# Señal PAM
plt.subplot(211)
plt.plot(ti,senalpam, color='g')
for k in range(0,n,1):
plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')
plt.ylabel('Señal PAM')
# Señal PSK
plt.subplot(212)
plt.plot(ti,senalpsk, color='b')
for k in range(0,n,1):
plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')
plt.ylabel('señal PSK')
plt.suptitle('Secuencia binaria PAM a PSK')
plt.show()
Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)
3. Valor esperado
c) Encuentre la media y autocorrelacion de Y(t)
E[Y(t_1) Y(t_2)] = E\big[a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}X \big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}X\big)\big] g(x) = a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}X \big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}X\big)Referencia: Valor esperado de funciones de variable aleatoria (León-García 3.3.1 p. 107)
Si z =g(x)
E[g(x)] = \sum_k g(x_k)p_x(X_k)tomando la pmd mostrada en el cálculo del valor esperado, se tiene entonces que:
= \big[ a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}(-1)\big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}(-1)\big)\big] \frac{1}{2} + + \big[ a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}(1)\big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}(1)\big)\big] \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \cos \big( 2\pi t_1 - \frac{\pi}{2}\big) \cos \big( 2\pi t_2 - \frac{\pi}{2}\big) + + \frac{a^2}{2}\cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}\big) \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}\big) = \frac{a^2}{2} \sin (2\pi t_1) \sin (2\pi t_2) + + \frac{a^2}{2}[-\sin(2\pi t_1)][-\sin (2\pi t_2)] = \frac{a^2}{2} 2 \sin (2\pi t_1) \sin( 2\pi t_2) = a^2 \sin ( 2\pi t_1) \sin(2\pi t_2) = \frac{a^2}{2}\big[ \cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) - \cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2) \big] E[Y(t_1)Y(t_2)] = \frac{a^2}{2}\big[ \cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) - \cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2) \big]3. Autorrelación Y(t)
Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)
La pmf de x(t) es 0.5 para cada valor de [-1,1]
c) Encuentre la media y autocorrelación de Y(t)
E[Y(t)] = E\big[ a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X \big)\big]Referencia: León-García 3.3.1 p. 107. Valor esperado de funciones de variable aleatoria
Si z =g(x)
E[g(x)] = \sum_k g(x_k)p_x(X_k)se tiene entonces que:
= \big[a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}(-1) \big)\big]\frac{1}{2} + \big[a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}(1) \big)\big] \frac{1}{2} = \frac{a}{2}\cos \big( 2\pi t - \frac{\pi}{2} \big) + \frac{a}{2}\cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \big) = \frac{a}{2} \sin \big( 2\pi t \big) - \frac{a}{2} \sin \big( 2\pi t \big) = 0 E[Y(t)] = 04. PAM a PSK media cuadrática contínua
R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)e) ¿El proceso Y(t) tiene media cuadrática contínua?
Sí, por las condiciones siguientes:
Referencia: León-García 9.7.1 p.531
Si RX(t1,t2) es contínua en t1 y t2 en el punto (t0,t0), entonces X(t) tiene media cuadrática continua en t0.
Si X(t) tiene media cuadrática contínua en t0 , entonces la función media mX(t) debe ser contínua en t0.
Si RX(τ) es contínua en τ=0 entonces el proceso estocástico estacionario en el sentido amplio WSS para X(t) es contínuo en la media cuadrática en todos los puntos t0.
5. PAM a PSK media cuadrática derivable
Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big) R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)f) ¿Y(t) tiene media cuadrática derivable? Si lo es, encuentre las funciones para media y autocorrelacón.
Y(t) es diferenciable en todos los puntos
\frac{\delta y}{\delta t}Y(t) = \frac{\delta y}{\delta t} \big[ a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)\big] = a(-2\pi) \sin \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X \big) \big]media o valor esperado:
E \big[ \frac{\delta y}{\delta t}Y(t) \big] = \frac{\delta y}{\delta t} E[Y(t)] = 0autocorrelación:
R_{Y'}(t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} R_Y((t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} \big[a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)\big] = a^2(2\pi ) \cos(2\pi t_1) \frac{\delta }{ \delta t_2} \big[\sin(2\pi t_2)\big] = a^2 (2\pi) \cos (2\pi t_1)(2\pi) \sin (2\pi t_2) = 4 \pi^2 a^2 \cos(2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)para nT ≤ t1 , t2 < (n+1)T
0 para otro caso
5. Revisar si es estacionario
Los resultados son:
E[Y(t)] = 0 R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2) C_{Y} (t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] + E[Y(t_1)]E[Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2) + 0 = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)siendo la media una constante = 0, entonces:
C_Y[t_1, t_2] = R_y(t_1,t_2) C_Y[t_1, t_2] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)Existe un valor T tal que:
C_Y[t_1, t_2] = C_Y[t_1 + mT, t_2 + mT]El proceso es clasificado como ciclo-estacionario
para:
para nT ≤ t1 , t2 < (n+1)T
0 para otro caso