PAM a PSK media cuadrática contínua

R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

e) ¿El proceso Y(t) tiene media cuadrática contínua?

Sí, por las condiciones siguientes:

Referencia: León-García 9.7.1 p.531

Si R_X(t₁,t₂) es contínua en t₁ y t₂ en el punto (t₀,t₀), entonces X(t) tiene media cuadrática continua en t₀.

Si X(t) tiene media cuadrática contínua en t₀ , entonces la función media m_X(t) debe ser contínua en t₀.

Si R_X(τ) es contínua en τ=0 entondes el proceso estocástico estacionario en el sentido amplio WSS para X(t) es contino en la media cuadtática en todos los  puntos t₀.

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PAM a PSK media cuadrática derivable

Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big) R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

f) ¿Y(t) tiene media cuadrática derivable? Si lo es, encuentre las funciones para media y autocorrelacón.

Y(t) es diferenciable en todos los puntos

\frac{\delta y}{\delta t}Y(t) = \frac{\delta y}{\delta t} \big[ a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)\big] = a(-2\pi) \sin \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X \big) \big]

media o valor esperado:

E \big[ \frac{\delta y}{\delta t}Y(t) \big] = \frac{\delta y}{\delta t} E[Y(t)] = 0

autocorrelación:

R_{Y'}(t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} R_Y((t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} \big[a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)\big] = a^2(2\pi ) \cos(2\pi t_1) \frac{\delta }{ \delta t_2} \big[\sin(2\pi t_2)\big] = a^2 (2\pi) \cos (2\pi t_1)(2\pi) \sin (2\pi t_2) = 4 \pi^2 a^2 \cos(2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

para nT ≤ t₁ , t₂ < (n+1)T

0 para otro caso