Autocorrelación Propiedades, autocovarianza en tiempo

1. Autocorrelación Propiedades

Referencia: León-García 9.6 p522

Potencia Promedio

La función autocorrelación a τ=0 entrega la potencia promedio (segundo momento) del proceso:

R_{X}(0) = E[X(t)^2]

para todo valor de t

Función par respecto a τ

R_{X}(\tau) = E[X(t+\tau)X(t)]

= E[X(t)X(t+\tau)] = R_{X}(-\tau)

Mide la tasa de cambio

La función de autocorrelación es una medida de la tasa de cambio de un proceso aleatorio

P[|X(t+\tau) - X(t)| > \epsilon] = P[(X(t+\tau) - X(t))^2 > \epsilon ^2]

\leq \frac{E[(X(t+\tau) - X(t))^2]}{\epsilon ^2}

=\frac{2\{R_X(0) - R_X(\tau) \}}{\epsilon ^2}

como resultado de usar la inequidad de Markov

tiene máximo en τ=0

si se usa la inequidad de Cauchy-Schwarz:

E[XY]^2 \leq E[X^2]E[Y^2]

R_X(\tau )^2 =

E[X(t+ \tau) X(t)]^2 \leq E[X^2(t+ \tau)] E[X^2(t)]

= R_X(0)

|R_X(\tau)| \leq R_X(0)

Periódica en media cuadrática

si $R_X(0) = R_X(d)$ , entonces $R_X(\tau)$ es periódica con periodo d y X(t) es "periódica en media cuadrática".

R_X(\tau + d)| = R_X(\tau)

se aproxima a el cuadrado de la media cuando τ tiende a infinito

2. Autocorrelación, Autocovarianza con variable tiempo

Referencia: León-García 9.2.2 p493

Se puede usar los momentos de muestras en el tiempo para parcialmente especificar un proceso aleatorio al resumir la información contenida en las cdf conjuntas.

Procesos aleatorios Contínuos en tiempo

Media:

m_X(t) = E[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X(t)}(x) dx

Varianza:

VAR[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} ( x - m_X(t))^2 f_{X(t)}(x) dx

donde $f_{X(t)}(x)$ es la pdf de X(t). Note que ambas son funciones determinísticas de tiempo.

Autocorrelación

R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1,t_2)] = = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{X(t_1),X(t_2)}(x,y) dx dy

Autocovarianza:

C_X(t_1,t_2) = E[\{X(t_1) - m_X(t_1) \} \{ X(t_2) - m_X(t_2)\}

C_X(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) - m_X(t_1) m_X(t_2)

coeficiente de correlación

\rho (t_1, t_2) = \frac{C_x(t_1,t_2)}{\sqrt{C_x(t_1,t_1)}\sqrt{C_x(t_2,t_2)}}

El coeficiente de correlación es la medida en la cual una variable aleatoria puede predecirse como una función lineal de otra.

Procesos aleatorios Discretos en tiempo