Referencia: León-García p.99, Gubner p.67

Variables Aleatorias discretas - Distribución de Probabilidad PMF

Una variable aleatoria discreta X se define como una variable que toma valores de un espacio muestral

Sx = {x₁, x₂, x₃, ...}.

Una variable aleatoria discreta finita tiene un espacio muestral finito, es decir:

Sx = {x₁, x₂, x₃, ..., x_n}.

Si el interes es encontrar las probabilidades de un evento

A_k = {w: X(w) = x_k}

La Distribución de probabilidad (Probability mass function pmf) de una variable aleatoria discreta X se define como:

p_x = P[X = x] = P{w: X(w) = x} para un x real

La distribución de probabilidad (pmf) de p_x(x) satisface las tres propiedades que se requieren para calcular las probabilidades de los eventos de una variable discreta X:

1. p_x(x) \geq 0 \text{, para todo x}

2. \sum \limits_{x\in S_x}p_x(x) = \sum \limits_{k}p_x(x_k) = \sum \limits_{k}P(A_k) = 1

3. P[X \in B] = \sum \limits_{x\in B} p_x(x) \text{, donde } B \subset S_x

Ejemplo - número de caras en tres lanzamientos de una moneda

Referencia: Gubner 2.5

Encuentre la distribución de probabilidad (pmf) de X, suponiendo que los lados de la moneda son igualmente probables.

Solución: Del ejemplo desarrollado antes, se obtuvo que:

Sx:  [0 1 2 3]
evento, X(evento)
[0 0 0] 3
[0 0 1] 2
[0 1 0] 2
[0 1 1] 1
[1 0 0] 2
[1 0 1] 1
[1 1 0] 1
[1 1 1] 0

Para calcular p_x(0) = P(X=0), e identificando los resultados w que pertenecen al evento {w:X(w)=0} ={111}.

Entonces :

p_x(0) = P(X=0) = P({111}) = |{111}|/|S| = 1/8

siguiendo el mismo procedimiento:

p_x(1) = P(X=1) = P({011, 101, 110}) = 3/8

p_x(2) = P(X=2) = P({001,010,001}) = 3/8

p_x(3) = P(X=3) = P({000}) = 1/8

lo que permite graficar la distribución de probabilidad

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# del ejercicio de tres lanzamientos de moneda
X = [3,2,2,1,2,1,1,0]

# PROCEDIMIENTO
[unicos, cuenta] = np.unique(X, return_counts=True)
frelativa = cuenta/len(X)

# SALIDA
print('x:  ', unicos)
print('px: ', frelativa)

# grafica
plt.stem(unicos,frelativa)
plt.title('distribución de probabilidad pmf')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('px(x)')
plt.margins(0.1)
plt.show()

x:   [0 1 2 3]
px:  [ 0.125  0.375  0.375  0.125]

suponga ahora que la probabilidad de salida de una cara es p, y que la cara contraria es (1-p), con lo que se procedería como:

p_x(0) = P(X=0) = P({111}) = (1-p)³

p_x(1) = P(X=1) = P({011, 101, 110}) = 3(1-p)²p

p_x(2) = P(X=2) = P({001,010,001}) = 3(1-p)p²

p_x(3) = P(X=3) = P({000}) = p³

Distribución de probabilidad del juego de apuestas

León-García E3.6 p.101

Un jugador recibe $1 si el número de caras en tres lanzamientos de una moneda es 2, $8 si el número de caras es 3, pero nada en otro caso. Encuentre la pmf de lo que gana Y.

siguiendo con el ejemplo anterior

dinero = np.arange(8+1)
pgana  = np.zeros(len(dinero),dtype=float)
pgana[8] = frelativa[3]
pgana[1] = frelativa[2]
pgana[0] = np.sum(frelativa[0:2])

# SALIDA
print('Y:  ', dinero)
print('py: ', pgana)

# grafica
plt.stem(dinero,pgana)
plt.title('distribución de probabilidad pmf')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('px(x)')
plt.margins(0.1)
plt.show()

Y:   [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ]
py:  [ 0.5  0.375  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.125]