1. Ejemplo: Cajeras María y Alicia

Referencia: Ross problema 8.3 p.568

Un administración de un supermercado puede contratar a María o Alicia.

María atiende con una tasa de servicio exponencial de 20 clientes por hora y puede ser contratada por $3/hora.

Alicia atiende con una tasa exponencial de 30 clientes por hora, y puede ser contratada por $C/hora.

El administrador estima que en promedio cada cliente tiene un costo de $1 por hora y debería ser contabilizado para el modelo.

Suponga que los clientes llegan a una tasa Poisson de 10 clientes por hora.

a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contratada? o ¿Si Alicia es contratada?

b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.

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Solución:

a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contratada? o ¿Si Alicia es contratada?

λ = 10 clientes/hora
María: 

μMaría = 20 clientes/hora

LMaría = λ/(μ -λ) = 10/(20-10) = 1 

Costo/hora María =  $3 + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja María))
      =  $3 + ($1 * LMaría)
      =  $3 + ($1 * 1) = $ 4 

Alicia:
μAlicia = 30 clientes/hora
LAlicia = λ/(μ -λ) = 10/(30-10) = 1/2

Costo/hora Alicia =  $C + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja Alicia))
      =  $C + ($1 * LAlicia)
      =  $C + ($1 * 1/2) = $ (C+ 0.5)
      
b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.
Costo/hora María = Costo/hora Alicia
 4 = C + 0.5
 C = 3.5 $/hora

 que es lo máximo que el administrador podría pagar a Alice sin incurrir en costos mayores que María, dadas las condiciones del problema.

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2. Ejemplo: Llegadas Esperadas

Referencia: Ross problema 8.1 p.568

Para una cola M/M/1, calcule

a) el numero esperado de llegadas durante un periodo de servicio

b) la probabilidad que no lleguen clientes durante un periodo de servicio

pista: "condición"

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Solución:
a) el numero esperado de llegadas durante un periodo de servicio

E[numero de llegadas] = E[λ S] = λ[1/μ] = λ/μ

b) la probabilidad que no lleguen clientes durante un periodo de servicio

P{0 llegadas} = E[P{0 llegadas | periodo de servicio S}] = = E[P{N(S)=0}] = E[e^-λS]

E[e^{-\lambda S}] = \int_{0}^{x} e^{-\lambda S}\mu e^{-\mu S}dS = \mu \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda S -\mu S}dS = \mu \int_{0}^{\infty} e^{-S(\lambda+\mu)}dS = \left.\frac{-\mu}{\lambda+\mu} e^{-S(\lambda+\mu)}\right|_0^{\infty} = \frac{-\mu}{\lambda+\mu}\left[ e^{-\infty(\lambda+\mu)}-e^{-0(\lambda+\mu)}\right] = \frac{-\mu}{\lambda+\mu} [0-1] = \frac{\mu}{\lambda+\mu}