1. Autocovarianza AM

Referencia: León García Ejemplo 9.9 p495, Gubner Ej10.35 p496

Sea X(t) = A cos(2πt), donde A es una variable aleatoria, con un comportamiento semejante a la figura.

Encontrar el valor esperado , la autocorrelación y autocovarianza de de X(t).

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El valor esperado se calcula a continuación, note que la media varia respecto a t y que el valor es cero para valores de t donde cos(2πt) =0.

E[X(t)] = E[A cos(2\pi t)] E[X(t)] = E[A] cos(2\pi t)

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La autocorrelación es:

R_X(t_1,t_2) = E[A cos(2\pi t_1) A cos(2\pi t_2)] = E[A^{2} cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2)] = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2)

usando:

2 cos(x)cos(y) = cos(x-y) + cos(x+y) cos(x)cos(y) = \frac{ cos(x-y) + cos(x + y)}{2}

se reemplaza:

= E[A^{2}] \frac{1}{2}[cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) + cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2)] R_X(t_1,t_2) = E[A^{2}] \frac{[cos(2\pi (t_1 - t_2)) + cos(2\pi (t_1 + t_2))]}{2}

se observa que el valor de autocorrelación depende de las diferencias de tiempo t₁ y t₂.

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La autocovarianza es:

Cov_X(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) - E[X(t_1)]E[X(t_2)] = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2) - E[A] cos(2\pi t_1)E[A] cos(2\pi t_2) = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2) - E[A]^2 cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2) = (E[A^{2}] - E[A]^2) cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2) = Var[A] cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2)

con el mismo procedimiento de cos(x)cos(y):

Cov_X(t_1,t_2) = Var[A] \frac{[cos(2\pi (t_1 - t_2)) + cos(2\pi (t_1 + t_2))]}{2}

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2. Autocovarianza PM

Referencia: León García Ejemplo 9.10 p495, Gubner Ejemplo 10.8 p389, Gubner Ejemplo 10.17 p396

Sea X(t) = cos(ω t + Φ), donde Φ es uniforme en el intervalo (-π,π) Encontrar la autocovarianza de X(t).

la variable aleatoria Φ tiene distribución uniforme en el intervalo, por lo que la función f_Φ(φ) es constante = 1/[π - (-π)] = 1/2π.

Recordamos que:

E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx

Media (León-García 4.15 p158):

m_X(t) = E[cos(\omega t + \Phi)] = = \int_{-\pi}^{\pi} cos(\omega t + \Phi) \frac{1}{2\pi} d\Phi = \left. \frac{-1}{2\pi} (sin (\omega t + \Phi)) \right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{-1}{2\pi} [sin (\omega t + (-\pi)) - sin (\omega t + \pi)] = 0

Autocovarianza

dado que el valor esperado es cero, la autocovarianza es igual a la autocorrelación

C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) - E[X(t_1,t_2)] = R_X (t_1,t_2) = E[cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)]

Recordando que:

E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx cos(x) cos(y) = \frac{cos(x-y) + cos(x+y) }{2}

se tiene que:

= \int_{-\pi}^{\pi} [cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)] \frac{1}{2\pi} d\Phi = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))+cos(\omega (t_1 + t_2)+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 + t_2 )+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi

El primer integral, el coseno no depende de Φ, mientras que el segundo integral es semejante al intergral de la media y cuyo resultado es cero.

= \left. \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{\Phi}{2\pi} \right|_{-\pi}^{\pi} + 0 C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) = = \frac{1}{2} cos(\omega (t_1 - t_2))