EDO Taylor<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a> gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Rodr\u00edguez 9.1.1 ejemplo p335. Chapra 25.1.3 p731<\/p>\n\n\n\n En los m\u00e9todos con Taylor para E<\/strong>cuaciones D<\/strong>iferenciales O<\/strong>rdinarias (EDO) se aproxima el resultado a n<\/strong> t\u00e9rminos de la serie, para lo cual se ajusta la expresi\u00f3n del problema a cada derivada correspondiente.<\/p>\n\n\n\n La soluci\u00f3n empieza usando la Serie de Taylor para tres t\u00e9rminos ajustada a la variable del ejercicio:<\/p>\n\n\n y_{i+1} = y_{i} + h y'_i + \\frac{h^2}{2!} y''_i <\/span>\n\n\n x_{i+1} = x_{i} + h<\/span>\n\n\n E = \\frac{h^3}{3!} y'''(z) = O(h^3)<\/span>\n\n\n\n A partir de la expresi\u00f3n de y'(x) y el punto inicial conocido en x[i],se busca obtener el pr\u00f3ximo valor en x[i+1] al avanzar un tama\u00f1o de paso h<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n Se repite el proceso en el siguiente punto encontrado y se continua hasta alcanzar el intervalo objetivo del ejercicio.<\/p>\n\n\n\n En \u00e9stos m\u00e9todos, la soluci\u00f3n siempre es una tabla de puntos xi<\/sub>,yi<\/sub> que se pueden usar para interpolar y obtener una funci\u00f3n polin\u00f3mica, siendo el polinomio la soluci\u00f3n aproximada de la EDO.<\/p>\n\n\n\n Se presenta un ejercicio para describir una soluci\u00f3n paso a paso.<\/p>\n\n\n\n EDO Taylor<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a> gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Rodr\u00edguez 9.1.1 ejemplo p335. Chapra 25.1.3 p731<\/p>\n\n\n\n Se requiere encontrar puntos de la soluci\u00f3n en la ecuaci\u00f3n diferencial usando los tres primeros t\u00e9rminos de la serie de Taylor con h<\/strong>=0.1 y punto inicial x<\/strong>0<\/sub>=0, y<\/strong>0<\/sub>=1<\/p>\n\n\n \\frac{dy}{dx}-y -x +x^2 -1 = 0 <\/span>\n\n\n\n que con nomenclatura simplificada:<\/p>\n\n\n y'-y -x +x^2 -1 = 0 <\/span>\n\n\n\n EDO Taylor<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a> gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Al despejar el valor de y'<\/strong> de expresi\u00f3n del ejercicio,<\/p>\n\n\n y' = y -x^2 +x +1 <\/span>\n\n\n\n se puede obtener para luego combinar las expresiones en<\/p>\n\n\n y'' = (y -x^2 +x +1) -2x + 1 <\/span>\n\n\n\n simplificando:<\/p>\n\n\n y'' = y -x^2 -x +2 <\/span>\n\n\n\n Ecuaciones que permiten estimar nuevos valores y<\/strong>i+1<\/sub> para nuevos puntos muestra distanciados en i*h<\/strong> desde el punto inicial siguiendo las siguientes expresiones de iteraci\u00f3n<\/strong>:<\/p>\n\n\n y'_i = y_i -x_i^2 + x_i +1 <\/span>\n\n\n y''_i = y_i -x_i^2 - x_i +2 <\/span>\n\n\n y_{i+1} = y_{i} + h y'_i + \\frac{h^2}{2!} y''_i <\/span>\n\n\n x_{i+1} = x_{i} + h<\/span>\n\n\n\n Se empieza evaluando el nuevo punto a una distancia x<\/strong>1<\/sub>= x<\/strong>0<\/sub>+h<\/strong> del punto de origen con lo que se obtiene y<\/strong>1<\/sub> , repitiendo el proceso para el siguiente punto en forma sucesiva.<\/p>\n\n\n\n itera<\/strong> = 0 , x0 = 0, y0 = 1<\/p>\n\n\n y'_0 = 1 -0^2 +0 +1 = 2 <\/span>\n\n\n y''_0 = 1 -0^2 -0 +2 = 3 <\/span>\n\n\n y_1 = y_{0} + h y'_0 + \\frac{h^2}{2!} y''_0 <\/span>\n\n\n y_1 = 1 + 0.1 (2) + \\frac{0.1^2}{2!} 3 = 1.215 <\/span>\n\n\n x_1 = 0 + 0.1<\/span>\n<\/div>\n\n\n\n itera<\/strong> = 1 , x = 0.1, y = 1.215<\/p>\n\n\n y'_1 = 1.215 - 0.1^2 + 0.1 +1 = 2.305 <\/span>\n\n\n y''_1 = 1.215 - 0.1^2 - 0.1 +2 = 3.105 <\/span>\n\n\n y_2 = 1.215 + 0.1 (2.305) + \\frac{0.1^2}{2!} 3.105 = 1.461 <\/span>\n\n\n x_2 = 0.1 + 0.1 = 0.2<\/span>\n<\/div>\n\n\n\n itera<\/strong> = 2 , x = 0.2, y = 1.461<\/p>\n\n\n y'_2 = 1.461 - 0.2^2 + 0.2 +1 = 2.621 <\/span>\n\n\n y''_2 = 1.461 - 0.2^2 - 0.2 +2 = 3.221 <\/span>\n\n\n y_3 = 1.461 + 0.1 (2.621) + \\frac{0.1^2}{2!} 3.221 = 1.7392 <\/span>\n\n\n x_3 = 0.2 + 0.1 = 0.3<\/span>\n<\/div>\n\n\n\n Completando los puntos con el algoritmo y realizando la gr\u00e1fica se obtiene:<\/p>\n\n\n\n Observaci\u00f3n, note que los resultados de las derivadas, se encuentran desplazados una fila para cada iteraci\u00f3n. Asunto a ser considerado en la gr\u00e1fica de las derivadas en caso de incluirlas.<\/p>\n\n\n\n Nota<\/strong><\/em>: Compare luego los pasos del algoritmo con el m\u00e9todo de Runge-Kutta de 2do orden<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Ecuaciones diferenciales ordinarias aproximadas con Taylor<\/h2>\n\n\n\n
![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoTaylor3t_ani.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/edo_taylor_3terminos02.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo Anal\u00edtico - paso a paso<\/h2>\n\n\n\n
y\"<\/strong><\/code> al derivar una vez,<\/p>\n\n\n y'' = y' -2x + 1 <\/span>\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/edo_taylor_3terminos01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoTaylor3t_itera0.gif\")
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\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoTaylor3t_itera1.gif\")
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\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoTaylor3t_itera2.gif\")
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\n\n\n\nEDO con Taylor 3 t\u00e9rminos\ni,[xi, yi, d1yi, d2yi, t\u00e9rmino 1, t\u00e9rmino 2 ]\n0 [0. 1. 0. 0. 0. 0.]\n1 [0.1 1.215 2. 3. 0.2 0.015]\n2 [0.2 1.461025 2.305 3.105 0.2305 0.015525]\n3 [0.3 1.73923262 2.621025 3.221025 0.2621025 0.01610513]\n4 [0.4 2.05090205 2.94923262 3.34923262 0.29492326 0.01674616]\n5 [0.5 2.39744677 3.29090205 3.49090205 0.32909021 0.01745451]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"EDO](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/09\/EdoTaylor3t_itera_n.gif\")
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\n\n\n\n