{"id":1028,"date":"2017-09-16T08:00:30","date_gmt":"2017-09-16T13:00:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1028"},"modified":"2026-04-05T21:24:04","modified_gmt":"2026-04-06T02:24:04","slug":"s1eva2016tii_t1-lti-ct-sistema-en-paralelo-serie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s1eva\/s1eva2016tii_t1-lti-ct-sistema-en-paralelo-serie\/","title":{"rendered":"s1Eva2016TII_T1 LTI CT Sistema en paralelo-serie"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2016TII_T1 LTI CT Sistema en paralelo-serie<\/a><\/p>\n\n\n\n

a. respuestas impulso de los subsistemas SS1, SS2 y SS3<\/h2>\n\n\n\n

realizadas a partir de las respuestas de paso, x(t) = \u03bc(t), entrada escal\u00f3n unitario:<\/p>\n\n\n\n

\"1E2016TII_T1<\/figure>\n\n\n s_1(t) = r(t+1) - r(t-1) <\/span>\n\n\n s_2(t) = s_3(t) = r(t-1) - r(t-2) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n h_1 (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t} s_1(t) <\/span>\n\n\n h_1 (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t} [ r(t+1) - r(t-1)] <\/span>\n\n\n = \\frac{\\delta}{\\delta t}[(t+1)\\mu (t+1) - (t-1)\\mu (t-1)]<\/span>\n\n\n = (1) \\mu (t+1) +(t+1) \\delta(t+1) -[ (1)\\mu (t-1) + (t-1)\\delta(t-1)] <\/span>\n\n\n = \\mu (t+1) +0 -[ (1)\\mu (t-1) + 0] <\/span>\n\n\n = \\mu (t+1) - \\mu (t-1) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n h_2 (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t} s_2(t) <\/span>\n\n\n h_2 (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t} [(t-1) \\mu (t-1) - (t-2) \\mu (t-2) <\/span>\n\n\n\n

siguiendo el desarrollo para h1<\/sub>(t)<\/p>\n\n\n h_2 (t) = \\mu (t-1) - \\mu (t-2) <\/span>\n\n\n\n

por lo que tambi\u00e9n:<\/p>\n\n\n h_3 (t) = h_2 (t) =\\mu (t-1) - \\mu (t-2) <\/span>\n\n\n\n

\"s1Eva2016TII_T1<\/figure>\n\n\n\n

respuesta con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n

 literal a: Respuestas de paso\ns1:  -(t - 1)*Heaviside(t - 1) + (t + 1)*Heaviside(t + 1)\ns2:  -(t - 2)*Heaviside(t - 2) + (t - 1)*Heaviside(t - 1)\ns3:  -(t - 2)*Heaviside(t - 2) + (t - 1)*Heaviside(t - 1)\n literal a: Respuestas impulso\nh1:  -(t - 1)*DiracDelta(t - 1) + (t + 1)*DiracDelta(t + 1)\n     - Heaviside(t - 1) + Heaviside(t + 1)\nh2:  -(t - 2)*DiracDelta(t - 2) + (t - 1)*DiracDelta(t - 1)\n     - Heaviside(t - 2) + Heaviside(t - 1)\nh3:  -(t - 2)*DiracDelta(t - 2) + (t - 1)*DiracDelta(t - 1)\n     - Heaviside(t - 2) + Heaviside(t - 1)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 1Eva2016TII_T1 Sistema LTIC en paralelo-serie\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n                {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n                'numpy',]\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nu = sym.Heaviside(t) \nr = t*u\n\n# literal a, repuesta de paso\ns1 = r.subs(t,t+1) - r.subs(t,t-1)\ns2 = r.subs(t,t-1) - r.subs(t,t-2)\ns3 = r.subs(t,t-1) - r.subs(t,t-2)\n\nt_a = -2 ; t_b = 3\n\n# PROCEDIMIENTO\nmuestras = (t_b-t_a)*(20+1)\nti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)\ns1n = sym.lambdify(t,s1, modules=equivalentes)\ns2n = sym.lambdify(t,s2, modules=equivalentes)\ns1i = s1n(ti)\ns2i = s2n(ti)\n\n# literal a, respuesta impulso\nh1 = sym.diff(s1,t,1)\nh2 = sym.diff(s2,t,1)\nh3 = sym.diff(s3,t,1)\n\nh1n = sym.lambdify(t,h1, modules=equivalentes)\nh2n = sym.lambdify(t,h2, modules=equivalentes)\nh3n = sym.lambdify(t,h3, modules=equivalentes)\nh1i = h1n(ti)\nh2i = h2n(ti)\nh3i = h3n(ti)\n\n# SALIDA\nprint(' literal a: Respuestas de paso')\nprint('s1: ',s1)\nprint('s2: ',s2)\nprint('s3: ',s3)\nprint(' literal a: Respuestas impulso')\nprint('h1: ',h1)\nprint('h2: ',h2)\nprint('h3: ',h3)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.subplot(211)\nplt.plot(ti,s1i,label ='s1(t)')\nplt.plot(ti,s2i,label ='s2(t), s3(t)')\nplt.axvline(0, linestyle='dashed',color='grey')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.subplot(212)\nplt.plot(ti,h1i,label ='h1(t)')\nplt.plot(ti,h2i,label ='h2(t), h3(t)')\nplt.axvline(0, linestyle='dashed',color='grey')\nplt.ylabel('Respuesta impulso')\nplt.xlabel('t')\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
b. respuestas impulso h12<\/sub>(t) y respuesta de paso (escal\u00f3n unitario) s12<\/sub>(t)<\/h2>\n\n\n\n
\"1E2016TII_T1_LTI-CT_paraleloSerie\"<\/figure>\n\n\n\n
los sistemas SS1 y SS2 se encuentran con un operador suma en paralelo ,restando SS2, por lo que las respuestas al impulso son:<\/p>\n\n\n h_{12} (t) = h_1 (t) - h_2 (t) <\/span>\n\n\n = [\\mu (t+1) - \\mu (t-1)] - [\\mu (t-1) - \\mu (t-2)] <\/span>\n\n\n = \\mu (t+1) - 2 \\mu (t-1) + \\mu (t-2) <\/span>\n\n\n\n
la \"respuesta de paso\" se encuentran como:<\/p>\n\n\n s_{12} (t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} h_{12}(t) \\delta t = h_{12} (t) \\circledast \\mu (t) <\/span>\n\n\n s_{12} (t) = [\\mu (t+1) - 2 \\mu (t-1) - \\mu (t-2)] \\circledast \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
Usando la tabla de integrales de convoluci\u00f3n<\/a>, fila 3:<\/p>\n\n\n s_{12} (t) = r(t+1) -2 r(t-1) + r(t-2) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
c. respuesta impulso del sistema global  h123<\/sub>(t)<\/h2>\n\n\n\n
A partir de h12<\/sub>(t) y h3<\/sub>(t), que se encuentran en serie (cascada), se tiene que:<\/p>\n\n\n h_{123} (t) = h_{12} (t) \\circledast h_3 (t) <\/span>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t}h_{123} (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t}[h_{12} (t) \\circledast h_3 (t)] <\/span>\n\n\n = \\frac{\\delta}{\\delta t}h_{12} (t) \\circledast h_3 (t) = h_{12} (t) \\circledast \\frac{\\delta}{\\delta t}h_3 (t) <\/span>\n\n\n\n
usando la primera expresi\u00f3n equivalente de la convoluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t}h_{12} (t) = \\frac{\\delta}{\\delta t}[\\mu (t+1) - 2 \\mu (t-1) + \\mu (t-2)] <\/span>\n\n\n = \\delta (t+1) - 2 \\delta (t-1) + \\delta (t-2) <\/span>\n\n\n\n
por lo que<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t}h_{123} (t) = [\\delta (t+1) - 2 \\delta (t-1) + \\delta (t-2)] \\circledast h_3 (t) <\/span>\n\n\n = \\delta (t+1) \\circledast h_3 (t) - 2 \\delta (t-1) \\circledast h_3 (t) + \\delta (t-2) \\circledast h_3 (t) <\/span>\n\n\n\n
Usando la tabla de integrales de convoluci\u00f3n<\/a>, fila 1:<\/p>\n\n\n = h_3 (t+1) - 2 h_3 (t-1) + h_3 (t-2) <\/span>\n\n\n\n
y sustituyendo las expresiones con los desplazamientos en t,<\/p>\n\n\n = [\\mu ((t+1)-1) - \\mu ((t+1)-2)]<\/span>\n\n\n -2[\\mu ((t-1)-1) - \\mu ((t-1)-2)] <\/span>\n\n\n + [\\mu ((t-2)-1) - \\mu ((t-2)-2)] <\/span>\n\n\n\n
realizado las operaciones en los par\u00e9ntesis,<\/p>\n\n\n = \\mu (t) - \\mu (t-1)<\/span>\n\n\n- 2\\mu (t-2) + 2\\mu (t-3) <\/span>\n\n\n + \\mu (t-3) - \\mu (t-4) <\/span>\n\n\n\n
uniendo t\u00e9rminos iguales, se simplifica,<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t} h_{123} (t) = \\mu (t) - \\mu (t-1)- 2\\mu (t-2) + 3\\mu (t-3) - \\mu (t-4) <\/span>\n\n\n\n
ahora se puede calcular h123<\/sub>(t) como<\/p>\n\n\n h_{123} (t) =\\frac{\\delta}{\\delta t} h_{123} (t) \\circledast \\mu (t) <\/span>\n\n\n = [\\mu (t) - \\mu (t-1)- 2\\mu (t-2) + 3\\mu (t-3) - \\mu (t-4)] \\circledast \\mu (t) <\/span>\n\n\n = \\mu (t)\\circledast \\mu (t) - \\mu (t-1)\\circledast \\mu (t) -2\\mu (t-2)\\circledast \\mu (t)+<\/span>\n\n\n+ 3\\mu (t-3)\\circledast \\mu (t) - \\mu (t-4) \\circledast \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
Usando la tabla de integral de convoluci\u00f3n, fila 3:<\/p>\n\n\n h_{123} (t) = r(t) - r(t-1) -2 r(t-2)+ 3 r(t-3) - r(t-4)<\/span>\n\n\n\n
tambi\u00e9n se puede escribir en funci\u00f3n de \u03bc(t)<\/p>\n\n\n h_{123} (t) = t \\mu(t) - (t-1) \\mu (t-1) -2 (t-2) \\mu(t-2)+<\/span>\n\n\n +3 (t-3) \\mu(t-3) - (t-4)\\mu(t-4)<\/span>\n\n\n\n
Con lo que se que se obtiene la gr\u00e1fica de las funciones requeridas en el literal b.<\/p>\n\n\n\n
\"s1Eva2016TII_T1<\/figure>\n\n\n\n
el resultado del algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n
literal b. h123(t)\nh12:  (t - 2)*DiracDelta(t - 2) - 2*(t - 1)*DiracDelta(t - 1)\n    + (t + 1)*DiracDelta(t + 1) + Heaviside(t - 2)\n    - 2*Heaviside(t - 1) + Heaviside(t + 1)\nh123:  t*Heaviside(t) - (t - 4)*Heaviside(t - 4) \n     + 3*(t - 3)*Heaviside(t - 3) -2*(t - 2)*Heaviside(t - 2)\n     - (t - 1)*Heaviside(t - 1)\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
las instrucciones adicionales en Python son:<\/p>\n\n\n
\nt_a = -2 ; t_b = 5\n# PROCEDIMIENTO\nmuestras = (t_b-t_a)*(20+1)\nti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)\n\n# b. respuesta impulso y paso del sistema 12 en paralelo\nh12  = h1 - h2\nh12n = sym.lambdify(t,h12, modules=equivalentes)\nh12i = h12n(ti)\n\n# respuesta impulso global sistema 123\nh123  = r-r.subs(t,t-1)-2*r.subs(t,t-2)\nh123  = h123 + 3*r.subs(t,t-3)-r.subs(t,t-4)\nh123n = sym.lambdify(t,h123, modules=equivalentes)\nh123i = h123n(ti)\n\n# SALIDA\nprint('\\nliteral b. h123(t)')\nprint('h12: ', h12)\nprint('h123: ',h123)\n\n# Grafica\nplt.plot(ti,h12i,label ='h12(t)')\nplt.axvline(0, linestyle='dashed'\n            ,color='grey')\nplt.plot(ti,h123i,label ='h123(t)')\nplt.ylabel('Respuesta impulso')\nplt.xlabel('t')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
litera b. Tabla de respuestas<\/h2>\n\n\n\n
Subsistema LTIC SS1<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
    \n
  • h1<\/sub>(t) no tiene la forma k\u03b4(T), por lo que SSI es con memoria.<\/li>\n\n\n\n
  • h1<\/sub>(t) \u2260 0, t<0, el sistema no es causal.<\/li>\n\n\n\n
  • La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que es BIBO estable<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
    Subsistema LTIC SS2 y SS3
    <\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
      \n
    • h2<\/sub>(t) y h2<\/sub>(t) no tienen la forma k\u03b4(T), por lo que SS2 y SS3 tienen memoria.<\/li>\n\n\n\n
    • h2<\/sub>(t) = h3<\/sub>(t) = 0, t<0, los sistemas SS2 y SS3 son causales.<\/li>\n\n\n\n
    • La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que SS2 y SS3 son BIBO estables<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
      Subsistema LTIC en paralelo SS1-SS2<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
        \n
      • h12<\/sub>(t) no tiene la forma k\u03b4(T), por lo que SS1-SS2 en paralelo es con memoria.<\/li>\n\n\n\n
      • h12<\/sub>(t) \u2260 0 t<0, el sistema en paralelo SS1-SS2 no es causal.<\/li>\n\n\n\n
      • La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que el sistema en paralelo SS1-SS2 es BIBO estable<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
        Subsistema LTIC global SS1-SS2-SS3<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \n
        • h123<\/sub>(t) no tiene la forma k\u03b4(T), por lo que el sistema global es con memoria.<\/li>\n\n\n\n
        • h12<\/sub>(t) = 0 t<0, el sistema global es causal.<\/li>\n\n\n\n
        • La respuesta al impulso es absolutamente integrable, por lo que el sistema global es BIBO estable

          literal d. salida w(t)<\/h2><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
          La combinaci\u00f3n en paralelo del sistema SS1 y SS2 a partir de la entrada x(t) dada es:<\/p>\n\n\n w(t) = x(t) \\circledast h_{12} (t) = h_{12} (t) \\circledast x(t) <\/span>\n\n\n w(t) = h_{12} (t) \\circledast \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\delta (t-4k) <\/span>\n\n\n = \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} [h_{12} (t) \\circledast\\delta (t-4k)] <\/span>\n\n\n = \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} h_{12} (t-4k)<\/span>\n\n\n\n
          que es una funci\u00f3n peri\u00f3dica con Tk<\/sub> = 4.<\/p>\n\n\n\n
          Por ser una se\u00f1al peri\u00f3dica, la potencia y energ\u00eda se determinan en un periodo:<\/p>\n\n\n E_{w(t)} = \\int_{-1}^{3} |w(t)|^2 \\delta t <\/span>\n\n\n = \\int_{-1}^{1} |1|^2 \\delta t + \\int_{1}^{2} |-1|^2 \\delta t + \\int_{2}^{3} |0|^2 \\delta t<\/span>\n\n\n = \\int_{-1}^{1} (1) \\delta t + \\int_{1}^{2} (1) \\delta t = t \\bigg|_{-1}^{1} + t \\bigg|_{1}^{2} =2+1 =3 <\/span>\n\n\n E_{w(t)} = 3 <\/span>\n\n\n P_{w(t)} = \\frac{E_{w(t)}}{T_0} = \\frac{3}{4} <\/span>\n\n\n\n
          \n\n\n\n
          literal e. salida y(t) sistema global<\/h2>\n\n\n y(t) = x(t) \\circledast h_{123} (t) = h_{123} (t) \\circledast x(t) <\/span>\n\n\n = h_{123} (t) \\circledast \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\delta (t-4k) <\/span>\n\n\n = \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} [h_{123} (t) \\circledast \\delta (t-4k)] <\/span>\n\n\n y(t) = \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} h_{123}(t-4k) <\/span>\n\n\n\n
          siendo una respuesta de tipo peri\u00f3dica con T0<\/sub> = 4, por lo que la potencia y energ\u00eda se determinan en un periodo,<\/p>\n\n\n E_{y(t)} = \\int_{0}^{4} |y(t)|^2 \\delta t <\/span>\n\n\n = \\int_{0}^{1} |t|^2 \\delta t + \\int_{1}^{2} |1|^2 \\delta t +\\int_{2}^{3} |5-2t|^2 \\delta t + \\int_{3}^{4} |t-4|^2 \\delta t<\/span>\n\n\n = \\frac{t^3}{3} \\Big|_0^1 + t\\Big|_1^2 + \\int_{2}^{3}(25-20t+4t^2) \\delta t+ \\int_{3}^{4} |t^2-8t+16| \\delta t<\/span>\n\n\n = (0+\\frac{1}{3}) + (2-1) + [25t-10t^2+\\frac{4}{3}t^3] \\Big|_2^3 + [\\frac{t^3}{3}-4[t^2]+16t] \\Big|_3^4 <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{3} + 1 + \\Big[\\big(25(3)-10(3)^2+\\frac{4}{3}(3)^3\\big) -\\big(25(2)-10(2)^2+\\frac{4}{3}(2)^3\\big)\\Big] + <\/span>\n\n\n + \\Big[\\big(\\frac{4^3}{3}-4[4^2]+16(4)\\big) - \\big(\\frac{3^3}{3}-4[3^2]+16(3) \\big)\\Big] <\/span>\n\n\n = \\frac{4}{3} + \\Big[\\big(75-90+36\\big) -\\big(50-40+\\frac{32}{3}\\big)\\Big] + <\/span>\n\n\n + \\Big[\\big(\\frac{64}{3}-64 +64\\big) - \\big(9-36+48 \\big)\\Big] <\/span>\n\n\n = \\frac{4}{3} + \\frac{2}{3} = \\frac{6}{3} = 2<\/span>\n\n\n E_{y(t)} = 2 <\/span>\n\n\n P_{y(t)} =\\frac{E_{y(t)}}{T_0} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
          Ejercicio: 1Eva2016TII_T1 LTI CT Sistema en paralelo-serie a. respuestas impulso de los subsistemas SS1, SS2 y SS3 realizadas a partir de las respuestas de paso, x(t) = \u03bc(t), entrada escal\u00f3n unitario: siguiendo el desarrollo para h1(t) por lo que tambi\u00e9n: respuesta con el algoritmo: Algoritmo en Python b. respuestas impulso h12(t) y respuesta de paso […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-ejercicios","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[184],"tags":[199],"class_list":["post-1028","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-s1eva","tag-senalessistemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1028","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1028"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1028\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23957,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1028\/revisions\/23957"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1028"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1028"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1028"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}