{"id":10319,"date":"2024-11-20T08:25:32","date_gmt":"2024-11-20T13:25:32","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=10319"},"modified":"2026-04-05T19:57:28","modified_gmt":"2026-04-06T00:57:28","slug":"s1eva2024paoii_t1-capturar-mar-cofias-cohetes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2024paoii_t1-capturar-mar-cofias-cohetes\/","title":{"rendered":"s1Eva2024PAOII_T1 Capturar en el mar las cofias de cohetes"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2024PAOII_T1 Capturar en el mar las cofias de cohetes<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a. Planteamiento<\/h2>\n\n\n\n

Para encontrar el valor t cuando la cofia alcanza 30 mts o 0.030 Km se usa la f\u00f3rmula del eje z(t)=0.030 dado que se indica que las f\u00f3rmulas se encuentran en Km.<\/p>\n\n\n z(t) = 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) - \\frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2 <\/span>\n\n\n 0.030 = 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) - \\frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2 <\/span>\n\n\n f(t) = - 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) - \\frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2 = 0 <\/span>\n\n\n\n

literal b, Intervalo para b\u00fasqueda<\/h2>\n\n\n\n

En el enunciado se indica que \" trayectoria de ca\u00edda que no es de m\u00e1s de 10 minutos desde desacople del cohete.\"<\/p>\n\n\n\n

Al considerar el inicio del \"evento\" desacople del cohete como t=0, el intervalo a usar es entre [0,10].<\/p>\n\n\n\n

Para verificar el intervalo de b\u00fasqueda, se eval\u00faa la funci\u00f3n z(t) en los extremos del intervalo:<\/p>\n\n\n f(0) = - 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} (0) \\Big(1-e^{-0.35(0)} \\Big) - \\frac{g}{2} (0)^2 <\/span>\n\n\n + 0.012(7.5+25.28(0))^2 = 120.645 <\/span>\n\n\n f(10) = - 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} (10) \\Big(1-e^{-0.35(10)} \\Big) - \\frac{g}{2} (10)^2 <\/span>\n\n\n + 0.012(7.5+g(10))^2 = -140.509 <\/span>\n\n\n\n

con lo que se muestra el cambio de signo de f(t) dentro del intervalo, que verifica el intervalo de b\u00fasqueda.<\/p>\n\n\n\n

con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n

>>> fz(0)-0.03\n120.645\n>>> fz(10)-0.03\n-140.50972375667382\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
tambi\u00e9n puede verificarse usando las gr\u00e1ficas de las trayectorias de cada eje vs el tiempo en el intervalo. Para el eje z, se puede marcar el punto de inter\u00e9s al trazar una l\u00ednea horizontal en cero o en la altura z(t) = 0.030.<\/p>\n\n\n\n
\"trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
literal c. Iteraciones<\/h2>\n\n\n\n
Se indica usar el m\u00e9todo del punto fijo, donde es necesario definir g(t) como un lado de la balanza, mientra que del otro lado es la identidad con t. de la f\u00f3rmula se despeja por ejemplo del t\u00e9rmino t2<\/sup><\/p>\n\n\n \\frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2 <\/span>\n\n\n f(t) = - 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) - \\frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2 = 0<\/span>\n\n\n \\frac{g}{2} t^2 = - 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) + 0.012(7.5+gt)^2 <\/span>\n\n\n t^2 = \\frac{2}{g}\\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) + 0.012(7.5+gt)^2 \\Big)<\/span>\n\n\n t = \\sqrt{\\frac{2}{g} \\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) + 0.012(7.5+gt)^2 \\Big)}<\/span>\n\n\n\n
siendo g(t) la parte derecha de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n g(t) = \\sqrt{\\frac{2}{g} \\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} t \\Big(1-e^{-0.35t} \\Big) + 0.012(7.5+gt)^2 \\Big)}<\/span>\n\n\n\n
el punto inicial t0<\/sub> se puede escoger por ejemplo la mitad del intervalo. Seg\u00fan se observa la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n
La tolerancia puede ser de 10 cm, o 1 m, depende de la precisi\u00f3n a proponer.
Para la parte escrita se selecciona 1m, como las unidades se encuentran en Km: tolera = 0.001<\/p>\n\n\n\n
itera = 0<\/p>\n\n\n\n
t = 5<\/p>\n\n\n g(5) = \\sqrt{\\frac{2}{35.28} \\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} (5) \\Big(1-e^{-0.35(5)} \\Big) + 0.012(7.5+(35.28(5))^2 \\Big)}<\/span>\n\n\n g(5) = 5.28 <\/span>\n\n\n error = |g(5)-5| = |5.28-5| = 0.28 <\/span>\n\n\n\n
que es mayor que la tolerancia.<\/p>\n\n\n\n
itera = 0+1 = 1<\/p>\n\n\n\n
itera = 1<\/p>\n\n\n\n
t = 5.28<\/p>\n\n\n g(5.28) = \\sqrt{\\frac{2}{35.28} \\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} (5.28) \\Big(1-e^{-0.35(5.28)} \\Big) + 0.012(7.5+(35.28(5.28))^2 \\Big)}<\/span>\n\n\n g(5.28) = 5.51 <\/span>\n\n\n error = |g(5.28)-5.28| = |5.51-5.28| = 0.23 <\/span>\n\n\n\n
que es mayor que la tolerancia.<\/p>\n\n\n\n
itera = 1+1 = 2<\/p>\n\n\n\n
itera = 2<\/p>\n\n\n\n
t = 5.51<\/p>\n\n\n g(5.51) = \\sqrt{\\frac{2}{35.28} \\Big(- 0.030 + 120 + \\frac{450}{60} (5.51) \\Big(1-e^{-0.35(5.51)} \\Big) + 0.012(7.5+(35.28(5.51))^2 \\Big)}<\/span>\n\n\n g(5.51) = 5.70 <\/span>\n\n\n error = |g(5.51)-5| = |5.70-5.51| = 0.19 <\/span>\n\n\n\n
que es mayor que la tolerancia.<\/p>\n\n\n\n
literal d. tolerancia y error<\/h2>\n\n\n\n
La tolerancia se describe en la primera iteraci\u00f3n. Por ejemplo tolera = 0.001, los errores se calculan en cada iteraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
literal e. Convergencia<\/h2>\n\n\n\n
El error se reduce en cada iteraci\u00f3n, se considera que el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n
literal f. Respuestas con algoritmo<\/h2>\n\n\n\n
La respuesta de la ra\u00edz de la funci\u00f3n se busca con el algoritmo, se requieren al menos 35 iteraciones en el m\u00e9todo del punto fijo.<\/p>\n\n\n\n
i,[a,b,tramo]\n0 [5.     5.2881 0.2881]\n1 [5.2881 5.5234 0.2353]\n2 [5.5234 5.7176 0.1942]\n3 [5.7176 5.8791 0.1615]\n...\n34 [6.7551e+00 6.7562e+00 1.1150e-03]\n35 [6.7562e+00 6.7572e+00 9.5380e-04]\nra\u00edz en:  6.75719557313832\nerrado :  0.0009538025930524441\nitera  :  3<\/code><\/pre>\n\n\n\n
la gr\u00e1fica del intervalo muestra que es necesario ampliar(zoom) el eje f(x) para observar mejor.<\/p>\n\n\n\n
\"trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n
\n# Algoritmo de punto fijo\n# [a,b] son seleccionados desde la gr\u00e1fica\n# error = tolera\n\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\ng = 35.28\nalt =  0.030\nfx = lambda t: -alt + 120 + 450\/60*t*(1-np.exp(-0.35*t))-0.5*g*t**2 + 0.012*(7.5 - g*t)**2\ngx = lambda t: np.sqrt((2\/g)*(-alt + 120 + 450\/60*t*(1-np.exp(-0.35*t)) + 0.012*(7.5 - g*t)**2))\n\na = 5\nb = 10\ntolera = 0.001 # tolera 1m, probar con 10 cm\niteramax = 100\n\n# PROCEDIMIENTO\ni = 0 # iteraci\u00f3n\nb = gx(a)\ntramo = abs(b-a)\n\nprint('i,[a,b,tramo]')\nnp.set_printoptions(precision=4)\nprint(0,np.array([a,b,tramo]))\n\nwhile not(tramo<=tolera or i>iteramax):\n    a = b\n    b = gx(a)\n    tramo = abs(b-a)\n    i = i + 1\n    \n    print(i,np.array([a,b,tramo]))\n\nrespuesta = b\n# Valida convergencia\nif (i>=iteramax):\n    respuesta = np.nan\n\n# SALIDA\nprint('ra\u00edz en: ', respuesta)\nprint('errado : ', tramo)\nprint('itera  : ', i)\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# calcula los puntos para fx y gx\na = 5\nb = 10\nmuestras = 21\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\ngi = gx(xi)\nyi = xi\n\nplt.plot(xi,fi, label='f(t)',\n         linestyle='dashed')\nplt.plot(xi,gi, label='g(t)')\nplt.plot(xi,yi, label='y=t')\n\nplt.axvline(respuesta, color='magenta',\n            linestyle='dotted')\nplt.axhline(0)\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('f(t)')\nplt.title('Punto Fijo')\nplt.grid()\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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