{"id":10337,"date":"2024-11-20T09:10:35","date_gmt":"2024-11-20T14:10:35","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=10337"},"modified":"2026-04-05T19:57:04","modified_gmt":"2026-04-06T00:57:04","slug":"s1eva2024paoii_t2-interpolar-caida-cofia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2024paoii_t2-interpolar-caida-cofia\/","title":{"rendered":"s1Eva2024PAOII_T2 Interpolar x(t) en ca\u00edda de cofia para t entre[1,2]"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2024PAOII_T2 Interpolar x(t) en ca\u00edda de cofia para t entre[1,2]<\/a><\/p>\n\n\n\n

De la tabla del ejercicio, solo se toman las dos primeras filas ti,xi<\/p>\n\n\n\n

t<\/em><\/strong>i<\/sub><\/td>1<\/td>1.2<\/td>1.4<\/td>1.8<\/td>2<\/td><\/tr>
x<\/em><\/strong>i<\/sub><\/td>-80.0108<\/td>-45.9965<\/td>3.1946<\/td>69.5413<\/td>61.1849<\/td><\/tr>
yi<\/sub><\/td>-8.3002<\/td>-22.6765<\/td>-20.9677<\/td>15.8771<\/td>33.8999<\/td><\/tr>
zi<\/sub><\/td>113.8356<\/td>112.2475<\/td>110.5523<\/td>106.7938<\/td>104.71<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

literal a. Planteamiento<\/h2>\n\n\n\n

En el planteamiento del problema para un polinomio de grado 3 indicado en el enunciado, se requieren al menos 4 puntos (grado=puntos-1). Al requerir cubrir todo el intervalo, los puntos en los extremos son obligatorios, quedando solo dos puntos por seleccionar, que se sugiere usar alrededor de 1.63 que es el valor buscado. quedando de \u00e9sta forma la selecci\u00f3n de los puntos:<\/p>\n\n\n\n

xi = [1. , 1.4, 1.8, 2. ]\nfi = [-80.0108, 3.1946,  69.5413,  61.1849]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
En el parcial, se revisaron dos m\u00e9todos: polinomio de interpolaci\u00f3n<\/a> con sistema de ecuaciones en la Unidad 3, y el conceptual con diferencias divididas de Newton<\/a>. Por la extensi\u00f3n del desarrollo se realiza con diferencias divididas de Newton, que por facilidad de espacios se muestra en dos tablas, la de operaciones y resultados.<\/p>\n\n\n\n
Tabla de operaciones:<\/p>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/sub><\/th>f[ti<\/sub>]<\/th>Primero<\/th>Segundo<\/th>Tercero<\/th><\/tr>
0<\/td>1<\/td>-80.0108<\/td>\\frac{3.1946-(-80.0108)}{1.4-1}<\/span><\/td>\\frac{165.8667-208.0135}{1.8-1}<\/span><\/td>\\frac{-346.0812-52.6834}{2-1}<\/span><\/td><\/tr>
1<\/td>1.4<\/td>3.1946<\/td>\\frac{69.5413-3.1946}{1.8-1.4}<\/span><\/td>\\frac{-41.782-165.8667}{2-1.4}<\/span><\/td> <\/td><\/tr>
2<\/td>1.8<\/td>69.5413<\/td>\\frac{61.1849-69.5413}{2-1.8}<\/span><\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
3<\/td>2<\/td>61.1849<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Tabla de resultados<\/p>\n\n\n\n
i<\/th>ti<\/sub><\/th>f[ti<\/sub>]<\/th>Primero<\/th>Segundo<\/th>Tercero<\/th><\/tr>
0<\/td>1<\/td>-80.0108<\/td>208.0135<\/td>-52.6834<\/td>-293.3978<\/td><\/tr>
1<\/td>1.4<\/td>3.1946<\/td>165.8667<\/td>-346.0812<\/td> <\/td><\/tr>
2<\/td>1.8<\/td>69.5413<\/td>-41.782<\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
3<\/td>2<\/td>61.1849<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Se construye el polinomio con los datos de la primera fila:<\/p>\n\n\n p(t) = -80.0108 +208.0135 (t - 1) - 52.6834(t - 1)(t - 1.4) <\/span>\n\n\n -293.3978(t - 1)(t - 1.4)(t - 1.8) <\/span>\n\n\n\n
literal b. verificar polinomio<\/h3>\n\n\n\n
Se puede verificar de dos formas: probando los puntos o con la gr\u00e1fica del algoritmo. La forma de escritura del polinomio hace cero algunos t\u00e9rminos.<\/p>\n\n\n p(1.4) = -80.0108+208.0135 ((1.4) - 1) - 52.6834((1.4) - 1)((1.4) - 1.4) <\/span>\n\n\n -293.3978((1.4) - 1)((1.4) - 1.4)((1.4) - 1.8) = 3.1846<\/span>\n\n\n p(1.8) = -80.0108+208.0135 ((1.8) - 1) - 52.6834((1.8) - 1)(t - 1.4) <\/span>\n\n\n -293.3978((1.8) - 1)((1.8) - 1.4)((1.8) - 1.8) =69.5413<\/span>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica del algoritmo muestra que el polinomio pasa por todos los puntos.<\/p>\n\n\n\n
\"trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
literal c. error en polinomio<\/h2>\n\n\n\n
El punto de la tabla que no se us\u00f3 es t = 1.2, que al evaluar en el polinomio se obtiene:<\/p>\n\n\n p(1.2) = -80.0108+ 208.0135 ((1.2) - 1) - 52.6834((1.2) - 1)((1.2) - 1.4) <\/span>\n\n\n -293.3978((1.2) - 1)((1.2) - 1.4)((1.2) - 1.8) = -43.3423 <\/span>\n\n\n errado = |-43.3423 -(-45.9965)| = 2.65 <\/span>\n\n\n\n
literal d. conclusiones y recomendaciones<\/h2>\n\n\n\n
Para el error  P(1.2). dado el orden de magnitud en el intervalo podr\u00eda considerarse \"bajo\" e imperceptible al incorporarlo en la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n
literal e. error en otro punto<\/h3>\n\n\n\n
El polinomio evaluado en t=1.65<\/p>\n\n\n p(1.65) = -80.0108 + 208.0135 ((1.65) - 1) - 52.6834((1.65) - 1)((1.65) - 1.4) <\/span>\n\n\n -293.3978((1.65) - 1)((1.65) - 1.4)((1.65) - 1.8) = 53.7884 <\/span>\n\n\n\n
la f\u00f3rmula para x(t) del tema 1<\/p>\n\n\n x(t) = 15.35 - 13.42 t+100e^{-0.12t} cos(2\\pi (0.5) t + \\pi \/ 8) <\/span>\n\n\n x(1.65) = 15.35 - 13.42(1.65)+100e^{-0.12(1.65)} cos(2\\pi (0.5) (1.65) + \\pi \/ 8) = 55.5884 <\/span>\n\n\n errado = |55.5884 -53.7884| = 1.79 <\/span>\n\n\n\n
resultados del algoritmo<\/p>\n\n\n\n
Tabla Diferencia Dividida\n[['i   ', 'xi  ', 'fi  ', 'F[1]', 'F[2]', 'F[3]', 'F[4]']]\n[[   0.        1.      -80.0108  208.0135  -52.6834 -293.3978    0.    ]\n [   1.        1.4       3.1946  165.8667 -346.0812    0.        0.    ]\n [   2.        1.8      69.5413  -41.782     0.        0.        0.    ]\n [   3.        2.       61.1849    0.        0.        0.        0.    ]]\ndDividida: \n[ 208.0135  -52.6834 -293.3978    0.    ]\npolinomio: \n208.0135*t - 293.3978125*(t - 1.8)*(t - 1.4)*(t - 1.0) - 52.6834375000001*(t - 1.4)*(t - 1.0) - 288.0243\npolinomio simplificado: \n-293.3978125*t**3 + 1179.587375*t**2 - 1343.7817375*t + 377.581375\n>>> polinomio.subs(t,1.65)\n53.7884880859375\n>>> 15.35 - 13.42*(1.65)+100*np.exp(-0.12*(1.65))*np.cos(2*np.pi*(0.5)*(1.65) + np.pi\/8)\n55.588413032442766\n>>> 55.5884 -53.7884\n1.7999999999999972\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
las gr\u00e1ficas se muestran en los literales anteriores<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva_2024PAOII_T2 Interpolar x(t) en ca\u00edda de cofia para t entre[1,2]\n# Polinomio interpolaci\u00f3n\n# Diferencias Divididas de Newton\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi = [1. , 1.4, 1.8, 2. ]\nfi = [-80.0108, 3.1946,  69.5413,  61.1849]\n\n##ti = [1. , 1.2, 1.4, 1.8, 2. ]\n##xi = [-80.0108, -45.9965,   3.1946,  69.5413,  61.1849]\n##yi = [ -8.3002, -22.6765, -20.9677,  15.8771,  33.8999]\n##zi = [113.8356, 112.2475, 110.5523, 106.7938, 104.71 ]\n\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\n\n# Tabla de Diferencias Divididas\ntitulo = ['i   ','xi  ','fi  ']\nn = len(xi)\nki = np.arange(0,n,1)\ntabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)\ntabla = np.transpose(tabla)\n\n# diferencias divididas vacia\ndfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\ntabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)\n\n# Calcula tabla, inicia en columna 3\n[n,m] = np.shape(tabla)\ndiagonal = n-1\nj = 3\nwhile (j < m):\n    # A\u00f1ade t\u00edtulo para cada columna\n    titulo.append('F['+str(j-2)+']')\n\n    # cada fila de columna\n    i = 0\n    paso = j-2 # inicia en 1\n    while (i < diagonal):\n        denominador = (xi[i+paso]-xi[i])\n        numerador = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]\n        tabla[i,j] = numerador\/denominador\n        i = i+1\n    diagonal = diagonal - 1\n    j = j+1\n\n# POLINOMIO con diferencias Divididas\n# caso: puntos equidistantes en eje x\ndDividida = tabla[0,3:]\nn = len(dfinita)\n\n# expresi\u00f3n del polinomio con Sympy\nt = sym.Symbol('t')\npolinomio = fi[0]\nfor j in range(1,n,1):\n    factor = dDividida[j-1]\n    termino = 1\n    for k in range(0,j,1):\n        termino = termino*(t-xi[k])\n    polinomio = polinomio + termino*factor\n\n# simplifica multiplicando entre (t-xi)\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# polinomio para evaluacion num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(t,polisimple)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision = 4)\nprint('Tabla Diferencia Dividida')\nprint([titulo])\nprint(tabla)\nprint('dDividida: ')\nprint(dDividida)\nprint('polinomio: ')\nprint(polinomio)\nprint('polinomio simplificado: ' )\nprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\n\nplt.xlabel('ti')\nplt.ylabel('xi')\nplt.grid()\nplt.title('Polinomio de interpolaci\u00f3n')\n\nplt.plot(1.65,polinomio.subs(t,1.65),\n         'o',color='red',label='p(1.65)')\nplt.plot(1.2,polinomio.subs(t,1.2),\n         'o',color='green',label='p(1.2)')\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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Ejercicio: 1Eva2024PAOII_T2 Interpolar x(t) en ca\u00edda de cofia para t entre[1,2] De la tabla del ejercicio, solo se toman las dos primeras filas ti,xi ti 1 1.2 1.4 1.8 2 xi -80.0108 -45.9965 3.1946 69.5413 61.1849 yi -8.3002 -22.6765 -20.9677 15.8771 33.8999 zi 113.8356 112.2475 110.5523 106.7938 104.71 literal a. Planteamiento En el planteamiento del […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[46],"tags":[58,54],"class_list":["post-10337","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva30","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10337","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10337"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10337\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23823,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10337\/revisions\/23823"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10337"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10337"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10337"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}