{"id":1049,"date":"2017-11-02T08:05:27","date_gmt":"2017-11-02T13:05:27","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1049"},"modified":"2026-04-12T16:07:09","modified_gmt":"2026-04-12T21:07:09","slug":"s1eva2016tii_t2-lti-ct-bloques-en-paralelo-serie-con-laplace","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s1eva\/s1eva2016tii_t2-lti-ct-bloques-en-paralelo-serie-con-laplace\/","title":{"rendered":"s1Eva2016TII_T2 LTI CT bloques en paralelo-serie con Laplace"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2016TII_T2 LTI CT bloques en paralelo-serie con Laplace<\/a> ,  1Eva2012TII_T4 LTI CT bloques en paralelo-serie con Laplace<\/a>, 1Eva2011TII_T3 LTI CT H(s) desde expresi\u00f3n con operadores D<\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico <\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"1E2016TII_T2_LTIC_paraleloSerie\"<\/figure>\n\n\n\n

literal a. Funcion H(s) global<\/h2>\n\n\n\n

en el diagrama se muestran dos sistemas LTIC de primer orden, ambos sistemas se encuentran multiplicados por una constante y en paralelo.<\/p>\n\n\n\n

La funci\u00f3n de transferencia de un sistema LTIC de primer orden es
H(s) = 1\/(s-a)<\/p>\n\n\n\n

Con lo que el sistema se puede reescribir como:<\/p>\n\n\n H(s) = 3\\frac{1}{s+7} + 12 \\frac{1}{s-4} <\/span>\n\n\n\n

Ceros y polos de H(s)<\/h3>\n\n\n H(s) = \\frac{3(s-4)+12(s+7)}{(s+7)(s-4)}<\/span>\n\n\n = \\frac{3s-12+12s+84}{(s+7)(s-4)}<\/span>\n\n\n = \\frac{15s+72}{(s+7)(s-4)}<\/span>\n\n\n\n

los ceros se toman del numerador:<\/p>\n\n\n 15s+72 = 0 <\/span>\n\n\n s=\\frac{-72}{15} = -\\frac{24}{5} <\/span>\n\n\n\n

los polos se toman del denominador:<\/p>\n\n\n (s+7)(s-4) = 0 <\/span>\n\n\n s=-7 ; s= 4 <\/span>\n\n\n\n

\"s1Eva2016TII_T2_polos_Hs\"<\/figure>\n\n\n\n

literal b. La respuesta impulso h(t)<\/h2>\n\n\n\n

Los polos tienen signo diferente, lo que indica que el intervalo donde se encuentran incluyen al eje imaginario en el intervalo, por lo que el sistema es BIBO inestable<\/strong><\/em>. Por tener un polo a derecha del plano es asint\u00f3ticamente inestable, su respuesta tiene componentes que crecen en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n

Como la regi\u00f3n de convergencia ROC no se encuentra a la derecha de todos los polos, se tiene concluye que el sistema NO es causal.<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n h(t) = \\mathscr{L}^{-1} [H(s)] <\/span>\n\n\n = \\mathscr{L}^{-1} \\Big[ 3\\frac{1}{s+7} + 12 \\frac{1}{s-4}\\Big] <\/span>\n\n\n = \\mathscr{L}^{-1} \\Big[ 3\\frac{1}{s+7} \\Big] + \\mathscr{L}^{-1} \\Big[ 12 \\frac{1}{s-4}\\Big] <\/span>\n\n\n\n

usando la tabla de transformadas o Sympy de Python<\/p>\n\n\n h(t) = 3e^{-7t} \\mu (t) + 12 e^{4t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

\"s1Eva2016TII_T2_polos_ht\"<\/figure>\n\n\n\n

literal c. Salida ante entrada x(t)<\/h2>\n\n\n x(t) = e^{-5t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
\"1Eva2016TII_T2<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n X(s) = \\frac{1}{s+5} <\/span>\n\n\n Y(s) = X(s) H(s) <\/span>\n\n\n =\\frac{1}{s+5} \\Bigg[\\frac{15s+72}{(s+7)(s-4)}\\Bigg] <\/span>\n\n\n =\\frac{15s+72}{(s+5)(s+7)(s-4)} <\/span>\n\n\n\n

se usa fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n =-\\frac{3}{2(s+7)} + \\frac{1}{6(s+5)}+\\frac{4}{3(s-4)} <\/span>\n\n\n y(t) = \\mathscr{L}^{-1} [Y(s)] <\/span>\n\n\n y(t) = \\mathscr{L}^{-1} \\Bigg[-\\frac{3}{2(s+7)} + \\frac{1}{6(s+5)}+\\frac{4}{3(s-4)} \\Bigg] <\/span>\n\n\n\n

usando la tabla de transformadas de Laplace<\/a> :<\/p>\n\n\n y(t) = -\\frac{3}{2} e^{-7t} \\mu (t) + \\frac{1}{6}e^{-5t} \\mu (t) +\\frac{4}{3}e^{4t} \\mu (-t) <\/span>\n\n\n\n

\"s1Eva2016TII_T2_polos_yt\"<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n

Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

realizado a partir de LTIC Laplace \u2013 Algoritmo Python para analizar estabilidad H(s), Y(s) con entrada cero, estado cero, condiciones iniciales<\/p>\n\n\n\n

 H(s) = P(s)\/Q(s):\n  3       12 \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\ns + 7   s - 4\n H(s) en factores:\n  3\u22c5(5\u22c5s + 24) \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n(s - 4)\u22c5(s + 7)\n\n h(t) :\n\u239b    4\u22c5t      -7\u22c5t\u239e     \n\u239d12\u22c5\u212f    + 3\u22c5\u212f    \u23a0\u22c5\u03b8(t)\n\npolosceros:\nQ_polos : {4: 1, -7: 1}\nP_ceros : {-24\/5: 1}\n\nEstabilidad de H(s):\n n_polos_real : 2\n n_polos_imag : 0\n enRHP : 1\n unicos : 0\n repetidos : 0\n asintota : inestable\n\n X(s): \n  1  \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\ns + 5\n\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales\nterm_cero : 0\nZIR :\n0\nyt_ZIR :\n0\n\n ZSR respuesta estado cero:\nZSR :\n      3           1           4    \n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  2\u22c5(s + 7)   6\u22c5(s + 5)   3\u22c5(s - 4)\nyt_ZSR :\n\u239b   4\u22c5t    -5\u22c5t      -7\u22c5t\u239e     \n\u239c4\u22c5\u212f      \u212f       3\u22c5\u212f    \u239f     \n\u239c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u239f\u22c5\u03b8(t)\n\u239d  3        6        2   \u23a0     \n\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:\n      3           1           4    \n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  2\u22c5(s + 7)   6\u22c5(s + 5)   3\u22c5(s - 4)\n\n y(t)_total = ZIR + ZSR:\n\u239b   4\u22c5t    -5\u22c5t      -7\u22c5t\u239e     \n\u239c4\u22c5\u212f      \u212f       3\u22c5\u212f    \u239f     \n\u239c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u239f\u22c5\u03b8(t)\n\u239d  3        6        2   \u23a0     \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Usando los bloques desarrollados en la\u00a0Unidad 4 Sistemas LTI \u2013 Laplace<\/span>\u00a0 y las funciones resumidas como telg1001.py<\/a><\/strong> que pueden ser usados en cada pregunta:<\/p>\n\n\n\n
Laplace Ejercicio Resuelto<\/a><\/p>\n\n\n
\n# Y(s) Respuesta total con entada cero y estado cero\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as fcnm\n \n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\nd = sym.DiracDelta(t)\nu = sym.Heaviside(t)\n \n# H(s) y estabilidad\nHs = 3\/(s+7) + 12\/(s-4)\n#Hs = 1+0*s cuando es constante\n \n# X(s) Se\u00f1al de entrada\nxt = sym.exp(-5*t)*u\n \n# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente\nt0 = 0\ncond_inicio = [0, 0] # estado cero no se usan\n \n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nt_a = -0.2 ; t_b = 0.5\nmuestras = 101  # 51 resolucion grafica\n \n# PROCEDIMIENTO\nHs = fcnm.apart_s(Hs) # fracciones parciales\nHs_fc = fcnm.factor_exp(Hs) # en factores\nHs_Qs2 = fcnm.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)\n \npolosceros = fcnm.busca_polosceros(Hs)\nQ_polos = polosceros['Q_polos']\nP_ceros = polosceros['P_ceros']\n \nestable = fcnm.estabilidad_asintotica(Q_polos)\n \n# H(t) respuesta al impulso\nht = 0*s\nterm_suma = sym.Add.make_args(Hs)\nfor term_k in term_suma:\n    ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)\n    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)\/(s**2)\n    if ht_k.has(sym.log):\n        ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)\n    ht  = ht + ht_k\nlista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)\nht = sym.expand(ht,t) # terminos suma\nht = sym.collect(ht,lista_escalon)\n \n# PROCEDIMIENTO Respuesta ZIR, ZSR\nXs = fcnm.laplace_transform_suma(xt)\n \n# ZIR_s respuesta entrada cero de s\nsol_ZIR = fcnm.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)\nZIR = sol_ZIR['ZIR']\nyt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']\n \n# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)\nsol_ZSR = fcnm.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)\nZSR = sol_ZSR['ZSR']\nyt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']\n \n# Respuesta total Y(s) y y(t)\nYs = ZIR + ZSR\nYs = fcnm.apart_s(Ys)\nyt = yt_ZIR + yt_ZSR\nlista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)\nyt = sym.collect(yt,lista_escalon)\n \n# SALIDA\nprint(' H(s) = P(s)\/Q(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint(' H(s) en factores:')\nsym.pprint(Hs_fc)\nif len(Hs_Qs2)>0:\n    print('\\nH(s) par\u00e1metros cuadraticos:')\n    fcnm.print_resultado_dict(Hs_Qs2)\n \nprint('\\n h(t) :')\nsym.pprint(ht)\n \nprint('\\npolosceros:')\nfcnm.print_resultado_dict(polosceros)\n \nprint('\\nEstabilidad de H(s):')\nfor k in estable:\n    print('',k,':',estable[k])\n \nprint('\\n X(s): ')\nsym.pprint(Xs)\nprint('\\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')\n \nif not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado\n    fcnm.print_resultado_dict(sol_ZIR)\nelse:\n    print(' insuficientes condiciones iniciales')\n    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')\n \nprint('\\n ZSR respuesta estado cero:')\nfcnm.print_resultado_dict(sol_ZSR)\n \nprint('\\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(Ys)\nprint('\\n y(t)_total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(yt)\n \n# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------\nfigura_s  = fcnm.graficar_Fs(Hs,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)\nfigura_Hs = fcnm.graficar_Fs(Hs,Q_polos,P_ceros,muestras,f_nombre='H')\nfigura_ht = fcnm.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')\n# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------\nfigura_ft = fcnm.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Ejercicio resuelto:<\/em> [ transformada de Laplace<\/a> ] [integral convoluci\u00f3n<\/a>]
<\/a>..<\/p>\n\n\n\n
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