{"id":105,"date":"2016-11-14T22:11:09","date_gmt":"2016-11-15T03:11:09","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=105"},"modified":"2026-04-04T10:49:23","modified_gmt":"2026-04-04T15:49:23","slug":"pmf-distribucion-probabilidad-masa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/pmf-distribucion-probabilidad-masa\/","title":{"rendered":"pmf - Distribuci\u00f3n de probabilidad de masa"},"content":{"rendered":"\n

Referencia<\/strong>: Le\u00f3n-Garc\u00eda p.99, Gubner p.67<\/p>\n\n\n\n

Variables Aleatorias discretas - Distribuci\u00f3n de Probabilidad PMF<\/h3>\n\n\n\n

Una variable aleatoria discreta X se define como una variable que toma valores de un espacio muestral<\/p>\n\n\n\n

Sx = {x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>, ...}.<\/p>\n\n\n\n

Una variable aleatoria discreta finita tiene un espacio muestral finito, es decir:<\/p>\n\n\n\n

Sx = {x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>, ..., xn<\/sub>}.<\/p>\n\n\n\n

Si el interes es encontrar las probabilidades de un evento<\/p>\n\n\n\n

Ak<\/sub> = {w: X(w) = xk<\/sub>}<\/p>\n\n\n\n

La Distribuci\u00f3n de probabilidad<\/strong> (Probability mass function pmf) de una variable aleatoria discreta X<\/strong> se define como:<\/p>\n\n\n\n

px<\/sub> = P[X = x] = P{w: X(w) = x} para un x real<\/p>\n\n\n\n

La distribuci\u00f3n de probabilidad (pmf) de px<\/sub>(x) satisface las tres propiedades que se requieren para calcular las probabilidades de los eventos de una variable discreta X:<\/p>\n\n\n\n

1. p_x(x) \\geq 0 \\text{, para todo x} <\/span><\/p>\n\n\n\n

2. \\sum \\limits_{x\\in S_x}p_x(x) = \\sum \\limits_{k}p_x(x_k) = \\sum \\limits_{k}P(A_k) = 1 <\/span><\/p>\n\n\n\n

3. P[X \\in B] = \\sum \\limits_{x\\in B} p_x(x) \\text{, donde } B \\subset S_x <\/span><\/p>\n\n\n\n

Ejemplo - n\u00famero de caras en tres lanzamientos de una moneda<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Gubner 2.5 <\/p>\n\n\n\n

Encuentre la distribuci\u00f3n de probabilidad (pmf) de X, suponiendo que los lados de la moneda son igualmente probables.<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n: Del ejemplo desarrollado antes, se obtuvo que:<\/p>\n\n\n\n

Sx:  [0 1 2 3]\nevento, X(evento)\n[0 0 0] 3\n[0 0 1] 2\n[0 1 0] 2\n[0 1 1] 1\n[1 0 0] 2\n[1 0 1] 1\n[1 1 0] 1\n[1 1 1] 0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para calcular px<\/sub>(0) = P(X=0), e identificando los resultados w que pertenecen al evento {w:X(w)=0} ={111}.<\/p>\n\n\n\n
Entonces :<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(0) = P(X=0) = P({111}) = |{111}|\/|S| = 1\/8<\/p>\n\n\n\n
siguiendo el mismo procedimiento:<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(1) = P(X=1) = P({011, 101, 110}) = 3\/8<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(2) = P(X=2) = P({001,010,001}) = 3\/8<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(3) = P(X=3) = P({000}) = 1\/8<\/p>\n\n\n\n
lo que permite graficar la distribuci\u00f3n de probabilidad<\/p>\n\n\n
\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# del ejercicio de tres lanzamientos de moneda\nX = [3,2,2,1,2,1,1,0]\n\n# PROCEDIMIENTO\n[unicos, cuenta] = np.unique(X, return_counts=True)\nfrelativa = cuenta\/len(X)\n\n# SALIDA\nprint('x:  ', unicos)\nprint('px: ', frelativa)\n\n# grafica\nplt.stem(unicos,frelativa)\nplt.title('distribuci\u00f3n de probabilidad pmf')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('px(x)')\nplt.margins(0.1)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
x:   [0 1 2 3]\npx:  [ 0.125  0.375  0.375  0.125]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n
suponga ahora que la probabilidad de salida de una cara es p, y que la cara contraria es (1-p), con lo que se proceder\u00eda como:<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(0) = P(X=0) = P({111}) = (1-p)3<\/sup><\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(1) = P(X=1) = P({011, 101, 110}) = 3(1-p)2<\/sup>p<\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(2) = P(X=2) = P({001,010,001}) = 3(1-p)p2<\/sup><\/p>\n\n\n\n
px<\/sub>(3) = P(X=3) = P({000}) = p3<\/sup><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Distribuci\u00f3n de probabilidad del juego de apuestas<\/h3>\n\n\n\n
Le\u00f3n-Garc\u00eda E3.6 p.101<\/p>\n\n\n\n
Un jugador recibe $1 si el n\u00famero de caras en tres lanzamientos de una moneda es 2, $8 si el n\u00famero de caras es 3, pero nada en otro caso. Encuentre la pmf de lo que gana Y.<\/p>\n\n\n\n
siguiendo con el ejemplo anterior<\/p>\n\n\n
\ndinero = np.arange(8+1)\npgana  = np.zeros(len(dinero),dtype=float)\npgana[8] = frelativa[3]\npgana[1] = frelativa[2]\npgana[0] = np.sum(frelativa[0:2])\n\n# SALIDA\nprint('Y:  ', dinero)\nprint('py: ', pgana)\n\n# grafica\nplt.stem(dinero,pgana)\nplt.title('distribuci\u00f3n de probabilidad pmf')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('px(x)')\nplt.margins(0.1)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Y:   [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ]\npy:  [ 0.5  0.375  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.125]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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