{"id":1056,"date":"2018-02-09T07:51:10","date_gmt":"2018-02-09T12:51:10","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1056"},"modified":"2026-04-05T20:15:53","modified_gmt":"2026-04-06T01:15:53","slug":"s2eva2017tii_t3-edp-parabolica-con-diferencias-regresivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva20\/s2eva2017tii_t3-edp-parabolica-con-diferencias-regresivas\/","title":{"rendered":"s2Eva2017TII_T3 EDP parab\u00f3lica con diferencias regresivas"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 2Eva2017TII_T3 EDP parab\u00f3lica con diferencias regresivas<\/a><\/p>\n\n\n \\frac{dU}{dt} - \\frac{1}{16} \\frac{d^2U}{dx^2} = 0 <\/span>\n\n\n\n

Las diferencias finitas requeridas en el enunciado son:<\/p>\n\n\n U'(x_i,t_j) = \\frac{U(x_{i},t_j)-U(x_{i},t_{j-1})}{\\Delta t} + O(\\Delta t) <\/span>\n\n\n U''(x_i,t_j) = \\frac{U(x_{i+1},t_j)-2U(x_{i},t_j)+U(x_{i-1},t_j)}{\\Delta x^2} + O(\\Delta x^2) <\/span>\n\n\n\n

La indicaci\u00f3n de regresiva es para la primera derivada, dependiente de tiempo t.<\/p>\n\n\n\n

\"s2Eva2017TII_T3<\/figure>\n\n\n\n

que al reemplazar en la ecuaci\u00f3n sin el t\u00e9rmino de error, se convierte a.<\/p>\n\n\n \\frac{U(x_{i},t_j)-U(x_{i},t_{j-1})}{\\Delta t} - \\frac{1}{16}\\frac{U(x_{i+1},t_j)-2U(x_{i},t_j)+U(x_{i-1},t_j)}{\\Delta x^2} =0 <\/span>\n\n\n\n

Se reordenan los t\u00e9rminos de forma semejante al modelo planteado en el m\u00e9todo b\u00e1sico:<\/p>\n\n\n \\frac{\\Delta t}{16\\Delta x^2}[U(x_{i+1},t_j)-2U(x_{i},t_j)+U(x_{i-1},t_j)] = U(x_{i},t_j)-U(x_{i},t_{j-1})<\/span>\n\n\n\n

Se simplifica haciendo que haciendo<\/p>\n\n\n \\lambda = \\frac{\\Delta t}{16\\Delta x^2} <\/span>\n\n\n\n

Cambiando la nomenclatura con solo los \u00edndices para las variables x y t, ordenando en forma ascendente los \u00edndices previo a crear el algoritmo.<\/p>\n\n\n \\lambda[U(i+1,j)-2U(i,j)+U(i-1,j)] = U(i,j)-U(i,j-1)<\/span>\n\n\n\n

Se reordena la ecuaci\u00f3n como modelo para el sistema de ecuaciones.<\/p>\n\n\n \\lambda U(i+1,j)+(-2\\lambda-1)U(i,j)+ \\lambda U(i-1,j) = -U(i,j-1)<\/span>\n\n\n P U(i-1,j) + Q U(i,j) + R U(i+1,j) = -U(i,j-1)<\/span>\n\n\n\n

Se calculan los valores constantes:<\/p>\n\n\n\n

\u03bb = dt\/(16*dx2<\/sup>) = 0.05\/[16*(1\/3)2<\/sup>] = 0.028125\n\nP = \u03bb = 0.028125\nQ = (-1-2\u03bb) = (1-2*0.028125) = -1.05625\nR = \u03bb = 0.028125<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Usando las condiciones del problema:<\/p>\n\n\n\n
U(0,t) = U(1,t) = 0, entonces, Ta = 0, Tb = 0<\/p>\n\n\n\n
Para los valores de la barra iniciales se debe usar un vector calculado como 2sin(\u03c0 x) en cada valor de xi<\/sub> espaciados por hx = 1\/3, x entre [0,1]<\/p>\n\n\n\n
xi  = [0,1\/3, 2\/3, 1]\nU[xi,0] = [2sin (0*\u03c0), 2sin(\u03c0\/3), 2sin(2\u03c0\/3), 2sin(\u03c0)]\nU[xi,0] = [0, 2sin(\u03c0\/3), 2sin(2\u03c0\/3), 0]\nU[xi,0] = [0, 1.732050,  1.732050, 0]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Con lo que se puede plantear las ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n
j=1: i=1
\n0.028125 U(0,1) + (-1.05625) U(1,1) + 0.028125 U(2,1) = -U(1,0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
j=1: i=2
\n0.028125 U(1,1) + (-1.05625) U(2,1) + 0.028125 U(3,1) = -U(2,0)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
y reemplazando los valores de la malla conocidos:<\/p>\n\n\n\n
0.028125 (0) - 1.05625 U(1,1) + 0.028125 U(2,1) = -1.732050
\n0.028125 U(1,1) - 1.05625 U(2,1) + 0.028125 (0) = -1.732050<\/code><\/pre>\n\n\n\n
hay que resolver el sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n
-1.05625  U(1,1) + 0.028125 U(2,1) = -1.732050\n 0.028125 U(1,1) - 1.05625  U(2,1) = -1.732050\n\nA = [[-1.05625 ,  0.028125],\n     [ 0.028125, -1.05625 ]]\nB = [-1.732050,-1.732050]\nque resuelta con un m\u00e9todo num\u00e9rico:\n[ 1.68,  1.68]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Por lo que la soluci\u00f3n para una gr\u00e1fica, con los \u00edndices de (fila,columna) como (t,x):<\/p>\n\n\n\n
U = [[0, 1.732050,  1.732050, 0],\n     [0, 1.680000,  1,680000, 0]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
El error del procedimiento, tal como fu\u00e9 planteado es del orden de O(\u0394t) y O(\u0394x2<\/sup>), o error de truncamiento E = O(\u0394x2<\/sup>) + O(\u0394t). \u0394t debe ser menor que \u0394x en aproximadamente un orden de magnitud<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Usando algoritmo en python<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n\n
Usando lo resuelto en clase y laboratorio, se comprueba la soluci\u00f3n con el algoritmo, con hx y ht mas peque\u00f1os y m\u00e1s iteraciones:<\/p>\n\n\n\n
\"s2Eva2017TII_T3<\/figure>\n\n\n
\n# EDP parab\u00f3licas d2u\/dx2  = K du\/dt\n# m\u00e9todo impl\u00edcito\n# Referencia: Chapra 30.3 p.895 pdf.917\n#       Rodriguez 10.2.5 p.417\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# Valores de frontera\nTa = 0\nTb = 0\n# longitud en x\na = 0\nb = 1\n# Constante K\nK = 16\n# Tama\u00f1o de paso\ndx = 0.1\ndt = 0.01\n# temperatura en barra\ntempbarra = lambda x: 2*np.sin(np.pi*x)\n# iteraciones\nn = 100\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Valores de x\nxi = np.arange(a,b+dx,dx)\nm = len(xi)\n\n# Resultados en tabla de u\nu = np.zeros(shape=(m,n), dtype=float)\n# valores iniciales de u\nj=0\nu[0,j] = Ta\nfor i in range(1,m-1,1):\n    u[i,j] = tempbarra(xi[i])\nu[m-1,j] = Tb\n\n# factores P,Q,R\nlamb = dt\/(K*dx**2)\nP = lamb\nQ = -1 -2*lamb\nR = lamb\nvector = np.array([P,Q,R])\ntvector = len(vector)\n\n# Calcula U para cada tiempo + dt\nj=1\nwhile not(j>=n):\n    u[0,j] = Ta\n    u[m-1,j] = Tb\n    # Matriz de ecuaciones\n    tamano = m-2\n    A = np.zeros(shape=(tamano,tamano), dtype = float)\n    B = np.zeros(tamano, dtype = float)\n    for f in range(0,tamano,1):\n        for c in range(0,tvector,1):\n            c1 = f+c-1\n            if(c1>=0 and c1<tamano):\n                A[f,c1] = vector[c]\n        B[f] = -u[f+1,j-1]\n    B[0] = B[0]-P*u[0,j]\n    B[tamano-1] = B[tamano-1]-R*u[m-1,j]\n    # Resuelve sistema de ecuaciones\n    C = np.linalg.solve(A, B) \n    # copia resultados a u[i,j]\n    for f in range(0,tamano,1):\n        u[f+1,j] = C[f]\n    j=j+1 # siguiente iteraci\u00f3n\n        \n# SALIDA\nprint('Tabla de resultados')\nnp.set_printoptions(precision=2)\nprint(u)\n# Gr\u00e1fica\nsalto = int(n\/10)\nif (salto == 0):\n    salto = 1\nfor j in range(0,n,salto):\n    vector = u[:,j]\n    plt.plot(xi,vector)\n    plt.plot(xi,vector, '.m')\nplt.xlabel('x[i]')\nplt.ylabel('t[j]')\nplt.title('Soluci\u00f3n EDP parab\u00f3lica')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2017TII_T3 EDP parab\u00f3lica con diferencias regresivas Las diferencias finitas requeridas en el enunciado son: La indicaci\u00f3n de regresiva es para la primera derivada, dependiente de tiempo t. que al reemplazar en la ecuaci\u00f3n sin el t\u00e9rmino de error, se convierte a. Se reordenan los t\u00e9rminos de forma semejante al modelo planteado en el m\u00e9todo […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[48],"tags":[58,54],"class_list":["post-1056","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s2eva20","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1056","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1056"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1056\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23868,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1056\/revisions\/23868"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1056"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1056"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1056"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}