{"id":1057,"date":"2017-11-03T08:10:22","date_gmt":"2017-11-03T13:10:22","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1057"},"modified":"2026-04-05T21:18:20","modified_gmt":"2026-04-06T02:18:20","slug":"s1eva2016tii_t3-lti-dt-sistema-1erorden-constante-a","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s1eva\/s1eva2016tii_t3-lti-dt-sistema-1erorden-constante-a\/","title":{"rendered":"s1Eva2016TII_T3 LTI DT Sistema 1er orden con constante a"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2016TII_T3 LTI DT Sistema 1er orden con constante a<\/a><\/p>\n\n\n\n

A partir del diagrama se tiene que:<\/p>\n\n\n\n

\"1E2016TII_T3_LTI-DT\"<\/figure>\n\n\n\n

literal a.1 ecuaci\u00f3n que relaciona entrada-salida<\/h2>\n\n\n\n

El sistema es discreto de primer orden,<\/p>\n\n\n y[n] = x[n] + a y[n-1]<\/span>\n\n\n y[n] - a y[n-1] = x[n] <\/span>\n\n\n\n

literal a.2 Respuesta al impulso<\/h2>\n\n\n\n

Para la respuesta de impulso se escribe la expresi\u00f3n en notaci\u00f3n de operador E, con x[n]=\u03b4[n]<\/p>\n\n\n y[n+1] - a y[n] = x[n+1] <\/span>\n\n\n Ey[n] - a y[n] = E x[n] <\/span>\n\n\n (E -a) y[n] = E x[n] <\/span>\n\n\n\n

para determinan las ra\u00edces del Q[E]<\/p>\n\n\n Q[E] = (\\gamma-a) = 0 <\/span>\n\n\n \\gamma = a <\/span>\n\n\n\n

que establece la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n y_c[n] = c_1 a^n <\/span>\n\n\n\n

Para encontrar el valor de la constante se eval\u00faa la expresi\u00f3n del sistema con  n=0, teniendo en cuenta que la ecuaci\u00f3n general de respuesta a impulso:<\/p>\n\n\n h[n] = \\frac{b_N}{a_N} \\delta (n) + y_c[n] \\mu [n] <\/span>\n\n\n h[n] = y_c[n] \\mu [n] = c_1 a^n \\mu [n] <\/span>\n\n\n y[n] = x[n] +a y[n-1] <\/span>\n\n\n h[n] = \\delta [n] +a h[n-1] <\/span>\n\n\n h[0] = \\delta [0] +a h[0-1] <\/span>\n\n\n\n

El sistema es causal<\/strong> si para n<0 los valores son cero, h[-1] =0<\/p>\n\n\n h[0] = 1 +a (0) = 1 <\/span>\n\n\n\n

con lo que  par encontrar la constante c1<\/sub>,<\/p>\n\n\n h[0] = 1 = c_1 a^0 \\mu [0] =c_1 (1)(1) = c_1 <\/span>\n\n\n\n

la constante c1<\/sub> =1, quedando com respuesta a impulso:<\/p>\n\n\n h[n] = a^n \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n

literal a.3 Respuesta de paso<\/h2>\n\n\n s[n] = \\sum_{k=-\\infty}^{n} h[k] = \\sum_{k=-\\infty}^{n} a^k \\mu [k]<\/span>\n\n\n\n

Siendo:<\/p>\n\n\n \\sum_{k=0}^{n} \\alpha^k = \\frac{1-\\alpha^{n+1}}{1-\\alpha} \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n

se tiene que:<\/p>\n\n\n s[n] = \\frac{1-a^{n+1}}{1-a} \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n alterna<\/em><\/strong>, El mismo resultado se obtiene mediante:<\/p>\n\n\n s[n] = h[n] \\circledast \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n

usando la tabla de convolucion discreta:<\/p>\n\n\n = \\sum_{k=- \\infty}^{\\infty} a^k \\mu[k] \\mu[n-k] = \\sum_{k=0}^{n} a^k <\/span>\n\n\n s[n] = \\frac{1-a^{n+1}}{1-a} \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n

literal b.<\/h2>\n\n\n\n

dado que h[n] no es de la forma k \u03b4[n], el sistema es con memoria.<\/p>\n\n\n\n

Si las ra\u00edces caracter\u00edsticas, valores caracter\u00edsticos o frecuencias naturales de un sistema, se encuentran dentro del c\u00edrculo de radio unitario, el sistema es asint\u00f3ticamente estable e implica que es BIBO estable.<\/p>\n\n\n\n

h[n] = an<\/sup> \u03bc[n] el sistema es de tipo IIR.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

literal c. Sistema inverso<\/h2>\n\n\n h[n] \\circledast h_{inv} = \\delta[n] <\/span>\n\n\n y[n] = x[n] + a y[n-1] <\/span>\n\n\n h[n] = \\delta[n] + a h[n-1] <\/span>\n\n\n h[n] - a h[n-1] = \\delta[n] <\/span>\n\n\n h[n] \\circledast \\delta [n] - a h[n] \\circledast \\delta [n-1] = \\delta[n] <\/span>\n\n\n h[n] \\circledast (\\delta [n] - a \\delta [n-1]) = \\delta[n] <\/span>\n\n\n h_{inv}[n] = (\\delta [n] - a \\delta [n-1]) = \\delta[n] <\/span>\n\n\n\n

h[n] no es de la forma k \u03b4[n], por lo que el sistema inverso es con memoria.<\/p>\n\n\n\n

h[n]=0 para n<0, se entiende que el sistema inverso es Causal.<\/p>\n\n\n\n

La respuesta impulso del sistema inverso es absolutamente sumable o convergente, por lo que el sistema es BIBO estable.<\/p>\n\n\n\n

la forma de hinv<\/sub>[n] el sistema es de tipo FIR.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

literal d. Diagrama de bloques del sistema inverso<\/h2>\n\n\n\n

El diagrama del sistema inverso ser\u00eda:<\/p>\n\n\n\n

\"1E2016TII_T3<\/figure>\n\n\n\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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