{"id":10695,"date":"2025-02-12T09:40:46","date_gmt":"2025-02-12T14:40:46","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=10695"},"modified":"2026-04-05T21:05:11","modified_gmt":"2026-04-06T02:05:11","slug":"s3eva2024paoii_t2-interpolar-trayectoria-helicoptero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2024paoii_t2-interpolar-trayectoria-helicoptero\/","title":{"rendered":"s3Eva2024PAOII_T2 Interpolar trayectoria helic\u00f3ptero"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2024PAOII_T2 Interpolar trayectoria helic\u00f3ptero<\/a><\/p>\n\n\n\n

xi<\/sub><\/strong> = [0.  , 2.50, 3.75, 5.00, 6.25, 7.5 ]\nyi<\/sub><\/strong> = [3.7 , 3.25, 4.05, 4.33, 2.95, 3.22]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
literal a<\/h2>\n\n\n\n
Seg\u00fan la gr\u00e1fica presentada, los puntos a considerar para todo el intervalo, deber\u00edan ser al menos el primero y el \u00faltimo. Para un polinomio de grado 3 se requieren usar 4 muestras, por lo que faltar\u00edan dos muestras dentro del intervalo. Los puntos adicionales estar\u00edan entre los puntos intermedios, tratando de mantener una distancia equidistante entre ellos y tratar de mantener los cambios de direcci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
\"helic\u00f3ptero<\/figure>\n\n\n\n
Los puntos seleccionados para el ejercicio ser\u00e1n<\/p>\n\n\n\n
xi = [0. , 2.50, 5.00, 7.5 ]\nfi = [3.7 , 3.25, 4.33, 3.22]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se puede construir el polinomio con los cualquiera de los m\u00e9todos para interpolaci\u00f3n dado que tienen tama\u00f1os de paso iguales entre tramos.<\/p>\n\n\n\n
Desarrollando con el m\u00e9todo de Lagrange, el polinomio se construye como:<\/p>\n\n\n\n
t\u00e9rmino 1<\/strong><\/p>\n\n\n L_{0} (x) = \\frac{(x-2.5)(x-5.0)(x-7.5)}{(0-2.5)(0-5.0)(0-7.5)}<\/span>\n\n\n\n
t\u00e9rmino 2<\/h4>\n\n\n L_{1} (x) = \\frac{(x-0)(x-5.0)(x-7.5)}{(2.5-0)(2.5-5.0)(2.5-7.5)}<\/span>\n\n\n\n
t\u00e9rmino 3<\/h4>\n\n\n L_{2} (x) = \\frac{(x-0)(x-2.5)(x-7.5)}{(5-0)(5-2.5)(5-7.5)}<\/span>\n\n\n\n
t\u00e9rmino 4<\/h4>\n\n\n L_{3} (x) = \\frac{(x-0)(x-2.5)(x-5)}{(7.5-0)(7.5-2.5)(7.5-5)}<\/span>\n\n\n\n
se construye el polinomio usando la f\u00f3rmula para fn<\/sub>(x) para cada valor fi,<\/p>\n\n\n p_3(x) = 3.7 \\frac{(x-2.5)(x-5.0)(x-7.5)}{(0-2.5)(0-5.0)(0-7.5)} <\/span>\n\n\n + 3.25 \\frac{(x-0)(x-5.0)(x-7.5)}{(2.5-0)(2.5-5.0)(2.5-7.5)} <\/span>\n\n\n + 4.33 \\frac{(x-0)(x-2.5)(x-7.5)}{(5-0)(5-2.5)(5-7.5)} <\/span>\n\n\n + 3.22 \\frac{(x-0)(x-2.5)(x-5)}{(7.5-0)(7.5-2.5)(7.5-5)} <\/span>\n\n\n\n
simplificando con Sympy:<\/p>\n\n\n\n
Polinomio de Lagrange, expresiones\n0.104*x*(x - 7.5)*(x - 5.0) - 0.13856*x*(x - 7.5)*(x - 2.5) + 0.0343466666666667*x*(x - 5.0)*(x - 2.5) - 0.0394666666666667*(x - 7.5)*(x - 5.0)*(x - 2.5)\n\nPolinomio de Lagrange: \n-0.03968*x**3 + 0.42*x**2 - 0.982*x + 3.7<\/code><\/pre>\n\n\n p_3(x) = 3.7 - 0.982x + 0.42 x^2 -0.03968 x^3<\/span>\n\n\n\n
literal b<\/h2>\n\n\n\n
Para verificar que el polinomio pasa por los puntos, se puede usar una gr\u00e1fica o al menos dos puntos usados para crear el polinomio:<\/p>\n\n\n p_3(2.5) = 3.7 - 0.982(2.5) + 0.42 (2.5)^2 -0.03968 (2.5)^3 = 3.25 <\/span>\n\n\n p_3(5) = 3.7 - 0.982(5) + 0.42 (5)^2 -0.03968 (5)^3 = 4.33 <\/span>\n\n\n\n
>>> polisimple\n-0.03968*x**3 + 0.42*x**2 - 0.982*x + 3.7\n>>> polisimple.subs(x,2.5)\n3.25000000000000\n>>> polisimple.subs(x,5)\n4.33000000000000\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se comprueba que los valores obtenidos corresponden a las muestras, por lo que el polinomio cumple con los criterios b\u00e1sicos de interpolaci\u00f3n. La gr\u00e1fica permite verificar tambi\u00e9n el resultado.<\/p>\n\n\n\n
\"helic\u00f3ptero<\/figure>\n\n\n\n
literal c<\/h2>\n\n\n\n
Error en puntos no usados de las muestras<\/p>\n\n\n p_3(3.75) = 3.7 - 0.982(3.75) + 0.42 (3.75)^2 -0.03968 (3.75)^3 = 3.83125 <\/span>\n\n\n\n
error = |3.83125 - 4.05| = 0.218<\/p>\n\n\n p_3(6.25) = 3.7 - 0.982(6.25) + 0.42 (6.25)^2 -0.03968 (6.25)^3 = 4.28125 <\/span>\n\n\n\n
error = |4.28125 - 2.95| = 1.3312<\/p>\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
Observando las gr\u00e1ficas de la trayectoria construida junto a las funciones descritas en el tema 1 se tiene que:<\/p>\n\n\n\n
Un polinomio de grado 3 es insuficiente para describir la trayectoria, se debe aumentar el grado del polinomio para ajustar mejor la curva.<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo, usando todos los puntos, la trayectoria y el polinomio son mas cercanas aunque no iguales.<\/p>\n\n\n\n
\"helic\u00f3ptero<\/figure>\n\n\n\n
Encontrar el error en P(5), como x=5 y es parte de los puntos de muestra, el error deber\u00eda ser cero. Siempre y cuando x=5 sea parte de los puntos seleccionados<\/strong>.<\/p>\n\n\n p_3(5) = 3.7 - 0.982(5) + 0.42 (5)^2 -0.03968 (5)^3 = 4.33 <\/span>\n\n\n\n
error = | 4.33-4.33| = 0<\/p>\n\n\n\n
literal f<\/h2>\n\n\n\n
Los resultados con el algoritmo de Lagrange se muestran como:<\/p>\n\n\n\n
    valores de fi:  [3.7  3.25 4.33 3.22]\ndivisores en L(i):  [-93.75  31.25 -31.25  93.75]\n\nPolinomio de Lagrange, expresiones\n0.104*x*(x - 7.5)*(x - 5.0) - 0.13856*x*(x - 7.5)*(x - 2.5) + 0.0343466666666667*x*(x - 5.0)*(x - 2.5) - 0.0394666666666667*(x - 7.5)*(x - 5.0)*(x - 2.5)\n\nPolinomio de Lagrange: \n-0.03968*x**3 + 0.42*x**2 - 0.982*x + 3.7<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python. Interpolaci\u00f3n polin\u00f3mica de Lagrange<\/p>\n\n\n
\n# 3Eva_2024PAOII_T2 Interpolar trayectoria helic\u00f3ptero\n# Interpolacion de Lagrange\n# divisoresL solo para mostrar valores\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\n# todos los datos\nxj = [0.  , 2.50, 3.75, 5.00, 6.25, 7.5 ]\nfj = [3.7 , 3.25, 4.05, 4.33, 2.95, 3.22]\n\n# datos seleccionados\nxi = [0.  , 2.50, 5.00, 7.5 ]\nfi = [3.7 , 3.25, 4.33, 3.22]\n\n# trayectoria\ngx = lambda t: 0.5*t +0 *t\ngy = lambda t: np.sin(0.10*t)*np.cos(0.7*t)+ 3.7\n\nta = 0 ; tb = 15\nmuestrast = 7\nmuestrasj = 4*muestrast\n\n# PROCEDIMIENTO\n# trayectoria\ntj = np.linspace(ta,tb,muestrasj)\ngxj = gx(tj)\ngyj = gy(tj)\n\n# Interpolaci\u00f3n\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\n# Polinomio de Lagrange\nn = len(xi)\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0\ndivisorL = np.zeros(n, dtype = float)\nfor i in range(0,n,1):\n    \n    # Termino de Lagrange\n    numerador = 1\n    denominador = 1\n    for j  in range(0,n,1):\n        if (j!=i):\n            numerador = numerador*(x-xi[j])\n            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])\n    terminoLi = numerador\/denominador\n\n    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]\n    divisorL[i] = denominador\n\n# simplifica el polinomio\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nprint('    valores de fi: ',fi)\nprint('divisores en L(i): ',divisorL)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange, expresiones')\nprint(polinomio)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange: ')\nprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(gxj,gyj,color='orange', label = 'trayectoria')\nplt.plot(xi,fi,'o', label = 'muestras')\nplt.plot(pxi,pfi,color='green',linestyle='dashed', label = 'P(x)')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.grid()\nplt.title('Interpolaci\u00f3n Lagrange')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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