{"id":10770,"date":"2024-08-28T12:45:46","date_gmt":"2024-08-28T17:45:46","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=10770"},"modified":"2026-04-05T20:42:04","modified_gmt":"2026-04-06T01:42:04","slug":"s2eva2024paoi_t1-edo-salto-bungee-tiempo-extiende-cuerda","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva30\/s2eva2024paoi_t1-edo-salto-bungee-tiempo-extiende-cuerda\/","title":{"rendered":"s2Eva2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 2Eva2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"Salto<\/figure>\n\n\n\n

Como referencia par el ejercicio, solo se realizar\u00e1 la primera parte, acorde a:<\/p>\n\n\n\n

Encuentre el tiempo tc<\/sub> y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, a\u00fan se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuaci\u00f3n)<\/em><\/p>\n\n\n \\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \\frac{C_d}{m}\\Big( \\frac{dy}{dt}\\Big)^2<\/span>\n\n\n y \\leq L <\/span>\n\n\n\n

Suponga que las condiciones iniciales son:<\/p>\n\n\n\n

y(0) = 0<\/p>\n\n\n \\frac{dy(0)}{dt} = 0 <\/span>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden<\/p>\n\n\n \\frac{d^2y}{dt^2} = 9.8 - signo(v) \\frac{0.25}{68.1}\\Big( \\frac{dy}{dt}\\Big)^2<\/span>\n\n\n\n

Usando los valores de las constantes g, Cd<\/sub>, m, haciendo el cambio de variable dy\/dt=v. Adicionalmente, en la ca\u00edda inicial, signo(v)=1 y se mantiene constante hasta el 2do tramo con la cuerda estirada.<\/p>\n\n\n v' = 9.8 - \\frac{0.25}{68.1} v^2<\/span>\n\n\n\n

Se plantea el ejercicio como Runge-Kutta para 2da derivada<\/p>\n\n\n v = y' = f(t,y,v) <\/span>\n\n\n v' = g(t,y,v) = 9.8 - \\frac{0.25}{68.1} v^2<\/span>\n\n\n\n

siendo h=0.5, las iteraciones se realizan como:<\/p>\n\n\n K_{1y} = 0.5 v <\/span>\n\n\n K_{1v} = 0.5 \\Big( 9.8 - \\frac{0.25}{68.1} v^2\\Big) <\/span>\n\n\n K_{2y} = 0.5 \\Big( v_i + K_{1v}\\Big) <\/span>\n\n\n K_{2v} = 0.5 \\Big(9.8 - \\frac{0.25}{68.1}(v_i + K_{1v})^2 \\Big) <\/span>\n\n\n y_{i+1}=y_i+\\frac{K_{1y}+K_{2y}}{2}<\/span>\n\n\n v_{i+1}=v_i+\\frac{K_{1v}+K_{2v}}{2}<\/span>\n\n\n t_{i+1} = t_i +0.5 <\/span>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tama\u00f1o de paso h=0.5<\/p>\n\n\n\n

itera = 0<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n K_{1y} = 0.5 (0) = 0 <\/span>\n\n\n K_{1v} = 0.5 \\Big( 9.8 - \\frac{0.25}{68.1} (0)^2\\Big) = 4.9 <\/span>\n\n\n K_{2y} = 0.5 ( 0 + 4.9) = 2.45<\/span>\n\n\n K_{2v} = 0.5 \\Big(9.8 - \\frac{0.25}{68.1}(0 + 2.45)^2 \\Big) =4.8559<\/span>\n\n\n y_{i+1}=0+\\frac{0+2.45}{2}=1.225<\/span>\n\n\n v_{i+1}=0+\\frac{4.9+4.8889}{2}=4.8779<\/span>\n\n\n t_{i+1} =0 +0.5 = 0.5 <\/span>\n\n\n\n

itera=1<\/p>\n\n\n\n

...<\/p>\n\n\n\n

Continuar con las iteraciones como tarea<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

Usando el algoritmo, aproxime la soluci\u00f3n para y en el intervalo entre [0,tc<\/sub>], adjunte sus resultados.txt<\/p>\n\n\n\n

las iteraciones con el algoritmo son:<\/p>\n\n\n\n

 [ ti, yi, vi,K1y,K1v,K2y,K2v]\n[[0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00  0.000000e+00 0.000000e+00]\n [5.000000e-01 1.225000e+00 4.877964e+00 0.000000e+00 4.900000e+00  2.450000e+00 4.855929e+00]\n [1.000000e+00 4.878063e+00 9.669162e+00 2.438982e+00 4.856324e+00  4.867144e+00 4.726071e+00]\n [1.500000e+00 1.089474e+01 1.429311e+01 4.834581e+00 4.728391e+00  7.198776e+00 4.519513e+00]\n [2.000000e+00 1.917255e+01 1.868062e+01 7.146557e+00 4.525013e+00  9.409063e+00 4.249997e+00]\n [2.500000e+00 2.957773e+01<\/strong> 2.277738e+01 9.340309e+00 4.259461e+00  1.147004e+01 3.934054e+00]\n [3.000000e+00 4.195334e+01<\/strong> 2.654573e+01 1.138869e+01 3.947708e+00  1.336254e+01 3.589005e+00]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que se observa que para alcanzar los 30m de la cuerda sin estirar se alcanzan entre los [2.5, 3.0] s.<\/p>\n\n\n\n
\"Salto<\/figure>\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
Indique el valor de tc<\/sub>, muestre c\u00f3mo mejorar la precisi\u00f3n y realice sus observaciones sobre los resultados.<\/p>\n\n\n\n
Para mejorar la precisi\u00f3n del algoritmo se reduce el valor del tama\u00f1o de paso h,  de esta forma se puede obtener una mejor lectura del tiempo de la primera fase del ejercicio.<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo haciendo el tama\u00f1o de paso h=0.5\/4, el tiempo entre [2.5, 2.625]. que tiene un error segundos menor al valor encontrado inicialmente y se mejora la precisi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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