{"id":11232,"date":"2025-07-01T21:00:30","date_gmt":"2025-07-02T02:00:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=11232"},"modified":"2026-04-05T19:56:08","modified_gmt":"2026-04-06T00:56:08","slug":"s1eva2025paoi_t1-recargar-combustible-orbita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2025paoi_t1-recargar-combustible-orbita\/","title":{"rendered":"s1Eva2025PAOI_T1 Recargar combustible en \u00f3rbita"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>:\u00a01Eva2025PAOI_T1 Recargar combustible en \u00f3rbita<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a. Planteamiento<\/h3>\n\n\n\n
\"estaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

Seg\u00fan el enunciado, se plantea el ejercicio primero para el eje y<\/strong>. Cuando las coordenadas de ambos son iguales en el eje y<\/strong>.<\/p>\n\n\n T_y (t) = 2\\cos(3.5t) <\/span>\n\n\n S_y (t) = 2 - 2e^{(-9t)} <\/span>\n\n\n T_y (t) = S_y (t) <\/span>\n\n\n 2\\cos(3.5t) =2 - 2e^{(-9t)} <\/span>\n\n\n 2 - 2e^{(-9t)} -2\\cos(3.5t) = 0<\/span>\n\n\n f(t) = 2 - 2e^{(-9t)} -2\\cos(3.5t)<\/span>\n\n\n\n

literal b. Intervalo [a,b]<\/h3>\n\n\n\n

Las gr\u00e1ficas presentadas en el enunciado, confirman que existe una ra\u00edz en el intervalo 0 \u2264 t \u2264 (\u03c0\/7). Se verifica revisando el signo de f(t) en los extremos del intervalo:<\/p>\n\n\n f(0) = 2 - 2e^{(-9(0))} -2\\cos(3.5(0)) =-2<\/span>\n\n\n f(\u03c0\/7) = 2 - 2e^{(-9(\u03c0\/7))} -2\\cos(3.5(\u03c0\/7))=1.9647<\/span>\n\n\n\n

Los resultados tienen signos opuestos, lo que confirma que existe al menos una ra\u00edz en el intervalo.<\/p>\n\n\n\n

literal c. M\u00e9todo de Newton-Raphson<\/h3>\n\n\n\n

En \u00e9ste m\u00e9todo se requiere de la derivada f'(t)<\/p>\n\n\n f(t) = 2 - 2e^{(-9t)} -2\\cos(3.5t)<\/span>\n\n\n f'(t) = 18e^{(-9t)} +2(3.5)\\sin(3.5t)<\/span>\n\n\n\n

import<\/span> sympy as<\/span> sym\nt = sym.Symbol('t'<\/span>)\nf = 2-2*sym.exp(-9*t)-2*sym.cos(3.5*t)\ndf = sym.diff(f,t,1)\nprint<\/span>(df)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
resultado:<\/p>\n\n\n\n
7.0*sin(3.5*t) + 18*exp(-9*t)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
itera = 0<\/strong><\/p>\n\n\n\n
el punto inicial de b\u00fasqueda puede ser x0<\/sub>=0.1, que se encuentra dentro del intervalo<\/p>\n\n\n f(0.1) = 2 - 2e^{(-9(0.1))} -2\\cos(3.5(0.1)) = -0.6918<\/span>\n\n\n f'(0.1) = 18e^{(-9(0.1))} +2(3.5)\\sin(3.5(0.1)) = 9.7185<\/span>\n\n\n x_1 = x_0 - \\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0.1 - \\frac{-0.6918}{9.7185} =0.1711<\/span>\n\n\n tramo = |0.1711-0.1| = 0.0711<\/span>\n\n\n\n
itera = 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n
x1<\/sub>= 0.1711<\/p>\n\n\n f(0.1711) = 2 -2e^{(-9(0.1711))} -2\\cos(3.5(0.1711)) =-0.08005<\/span>\n\n\n f'(0.1711) = 18e^{(-9(0.1711))} + 2(3.5)\\sin(3.5(0.1711))=7.8037 <\/span>\n\n\n x_1 = 0.1711 - \\frac{-0.08005}{7.8037} =0.1814 <\/span>\n\n\n tramo = |0.1814-0.1711| = 0.0102<\/span>\n\n\n\n
itera = 2<\/strong>
x2<\/sub>= 0.1814<\/p>\n\n\n f(0.1814) = 2 -2e^{(-9(0.1814))} -2\\cos(3.5(0.1814)) =-0.0003660<\/span>\n\n\n f'(0.1814) = 18e^{(-9(0.1814))} + 2(3.5)\\sin(3.5(0.1814)) =7.9654 <\/span>\n\n\n x_1 = 0.1814 - \\frac{-0.0003660}{7.9654} = 0.1815 <\/span>\n\n\n tramo = |0.1815-0.1814| = 0.0001<\/span>\n\n\n\n
literal d y e. Errores por iteraci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
En el desarrollo se muestran los errores como tramos. Se observa que los errores disminuyen en cada iteraci\u00f3n, por lo que se considera que el m\u00e9todo converge.  El error de la \u00faltima iteraci\u00f3n es del orden de 10-4<\/sup>, lo que es menor que la  tolerancia 10-3<\/sup>. por lo que la ra\u00edz ser\u00e1: 0.1815<\/p>\n\n\n\n
Nota<\/strong>: el algoritmo lo obtiene del blog y lo modifica para el ejercicio, obteniendo los datos de las operaciones<\/p>\n\n\n\n
Resultados con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n
i: 1 fi: -0.691884745175956 dfi: 9.718538527518945\n   xnuevo: 0.171192262418554 tramo: 0.071192262418554\ni: 2 fi: -0.08005384152091866 dfi: 7.803760114465353\n   xnuevo: 0.18145063022416194 tramo: 0.010258367805607932\ni: 3 fi: -0.0007153774553945169 dfi: 7.668649926460424\n   xnuevo: 0.18154391619525917 tramo: 9.328597109722891e-05\nraiz en:  0.18154391619525917\ncon error de:  9.328597109722891e-05<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Gr\u00e1fica f(t) = Sy(t) - Ty(t)<\/p>\n\n\n\n
\"estaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal f. Encontrar k en Sx(t) = Tx(t)<\/h2>\n\n\n\n
Se usan las ecuaciones en eje x<\/strong> con el valor encontrado t<\/strong>=0.1815.<\/p>\n\n\n\n
No se indica desarrollar el ejercicio en papel y l\u00e1piz, por lo que la respuesta es solo con el algoritmo, por ejemplo, bisecci\u00f3n.<\/p>\n\n\n T_x (t) = 2\\sin(3.5t) <\/span>\n\n\n S_x (t) = 3.2(t+k)+4.1(t+k)^2 <\/span>\n\n\n T_x (t) = S_x (t) <\/span>\n\n\n 2\\sin(3.5t) = 3.2(t+k)+4.1(t+k)^2<\/span>\n\n\n 3.2(t+k)+4.1(t+k)^2-2\\sin(3.5t) =0<\/span>\n\n\n 3.2(0.1815+k)+4.1(0.1815+k)^2 -2\\sin(3.5(0.1815))=0<\/span>\n\n\n f(k) = 3.2(0.1815+k)+4.1(0.1815+k)^2 - 2\\sin(3.5(0.1815))<\/span>\n\n\n\n
que da una funci\u00f3n dependiente de k<\/strong>, usando el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n, para el intervalo [0,\u03c0\/7] y tolerancia del ejercicio anterior, siempre que exista cambio de signo se prueba:<\/p>\n\n\n\n
i: 0 a: 0 c: 0.2243994752564138 b: 0.4487989505128276\n  fa: -0.4709358324617918 fc: 0.7876530469374095 fb: 2.459153947198512 tramo: 0.2243994752564138\ni: 1 a: 0 c: 0.1121997376282069 b: 0.2243994752564138\n  fa: -0.4709358324617918 fc: 0.10674460463007107 fb: 0.7876530469374095 tramo: 0.1121997376282069\ni: 2 a: 0 c: 0.05609986881410345 b: 0.1121997376282069\n  fa: -0.4709358324617918 fc: -0.19499911456779484 fb: 0.10674460463007107 tramo: 0.05609986881410345\ni: 3 a: 0.05609986881410345 c: 0.08414980322115517 b: 0.1121997376282069\n  fa: -0.19499911456779484 fc: -0.0473531301318455 fb: 0.10674460463007107 tramo: 0.028049934407051724\ni: 4 a: 0.08414980322115517 c: 0.09817477042468103 b: 0.1121997376282069\n  fa: -0.0473531301318455 fc: 0.028889268458366812 fb: 0.10674460463007107 tramo: 0.014024967203525862\ni: 5 a: 0.08414980322115517 c: 0.0911622868229181 b: 0.09817477042468103\n  fa: -0.0473531301318455 fc: -0.009433548034425865 fb: 0.028889268458366812 tramo: 0.007012483601762931\ni: 6 a: 0.0911622868229181 c: 0.09466852862379957 b: 0.09817477042468103\n  fa: -0.009433548034425865 fc: 0.00967745591254876 fb: 0.028889268458366812 tramo: 0.0035062418008814655\ni: 7 a: 0.0911622868229181 c: 0.09291540772335884 b: 0.09466852862379957\n  fa: -0.009433548034425865 fc: 0.00010935286420599155 fb: 0.00967745591254876 tramo: 0.0017531209004407328\ni: 8 a: 0.0911622868229181 c: 0.09203884727313846 b: 0.09291540772335884\n  fa: -0.009433548034425865 fc: -0.0046652478538238285 fb: 0.00010935286420599155 tramo: 0.0008765604502203733\n       raiz en:  0.09203884727313846\nerror en tramo:  0.0008765604502203733<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se encuentra k = 0.09203<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\"estaci\u00f3n<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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