{"id":1145,"date":"2017-07-16T09:10:03","date_gmt":"2017-07-16T14:10:03","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1145"},"modified":"2026-01-16T14:50:41","modified_gmt":"2026-01-16T19:50:41","slug":"lti-dt-solucion-iterativa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u06\/lti-dt-solucion-iterativa\/","title":{"rendered":"6.2 Sistema LTI DT - Soluci\u00f3n iterativa con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi ejemplo 3.11 p266<\/p>\n\n\n\n

Un sistema LTID tiene la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\ny[n] - 0.5 y[n-1] = x[n] <\/span>\n\n\n\n

con condiciones iniciales y[-1]=16 y entrada causal x[n]=n2<\/sup> \u03bc[n] , para n>=0.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n

anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1.1 Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
\"diagrama<\/figure>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n se reordena,<\/p>\n\n\n y[n] = 0.5 y[n-1] + x[n] <\/span>\n\n\n\n

Lo que permite realizar el diagrama de bloques y la expresi\u00f3n para el algoritmo iterativo.<\/p>\n\n\n\n

Se usan las condiciones iniciales para n=0 y la condici\u00f3n y[-1]=16<\/p>\n\n\n y[0] = 0.5 y[0-1] + x[0] = 0.5 y[-1] + 0^2 = 0.5(16) + 0 = 8<\/span>\n\n\n\n

Para n=1,<\/p>\n\n\n y[1] = 0.5 y[1-1] + x[1] = 0.5 y[0] + 1^2 = 0.5(8) + 1 = 5 <\/span>\n\n\n\n

Para n=2,<\/p>\n\n\n y[2] = 0.5 y[2-1] + x[2] = 0.5 y[1] +2^2 = 6.5<\/span>\n\n\n\n

Para n=3,<\/p>\n\n\n y[3] = 0.5 y[3-1] + x[3] = 0.5 y[2] + 3^2 <\/span>\n\n\n = 0.5 (6.5) + 9 = 12.25<\/span>\n\n\n\n

y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n\n\n\n

El algoritmo en Python presenta el resultado en forma gr\u00e1fica y en forma de valores.<\/p>\n\n\n\n

\"LTI_DT_Sol_iterativaEj01\"<\/figure>\n\n\n\n

los resultados num\u00e9ricos son:<\/p>\n\n\n\n

muestras:  10\n[[  n,  xi,  yi]]\n[[ -1.     0.    16.  ]\n [  0.     0.     8.  ]\n [  1.     1.     5.  ]\n [  2.     4.     6.5 ]\n [  3.     9.    12.25]\n [  4.    16.    22.12]\n [  5.    25.    36.06]\n [  6.    36.    54.03]\n [  7.    49.    76.02]\n [  8.    64.   102.01]\n [  9.    81.   132.  ]]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Soluci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n
El diagrama realizado para la ecuaci\u00f3n tiene dos partes, el generador de se\u00f1al en azul y la parte del sistema en color gris para el retraso y naranja para el coeficiente de retraso.<\/p>\n\n\n\n
Al diagrama se le a\u00f1ade la expresi\u00f3n para x[n]=n2<\/sup> \u03bc[n], que completa el diagrama del ejercicio.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.2 Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Las condiciones inicial<\/strong>es se ingresan como un vector con valores de posici\u00f3n ascendente. Tambi\u00e9n es necesario indicar el n\u00famero de muestras a observar. esto permite construir el vector de salida yi.<\/p>\n\n\n\n
Las f\u00f3rmulas de entrada y salida se muestran en la secci\u00f3n \"calcula los siguientes valores\"<\/p>\n\n\n
\n# Sistema LTID. Soluci\u00f3n iterativa\n# Ejercicio Lathi ejemplo 3.11 p266\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1]\ny0  = [16.]\n# para la grafica\nmuestras = 10\netiqueta ='y[n]=0.5y[n-1]+x[n]'\n\n# PROCEDIMIENTO\nm0 = len(y0)\nm  = muestras + m0\n# vectores\nn  = np.arange(-m0,muestras,1)\nxi = np.zeros(m, dtype=float)\nyi = np.zeros(m, dtype=float)\n\n# a\u00f1ade condiciones iniciales\nxi[0:m0] = 0\nyi[0:m0] = y0\n\n# calcula los siguientes valores\nfor k in range(m0,m,1):\n    xi[k] = n[k]**2\n    yi[k] = 0.5*yi[k-1]+xi[k]\n\n# tabla de valores\ntabla = np.concatenate([[n],[xi],[yi]], axis=0)\ntabla = np.transpose(tabla)\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision=2)\nprint('muestras: ', muestras)\nprint('[[  n,  xi,  yi]]')\nprint(tabla)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.subplot(211)\nplt.stem(n,xi,label='x[n]=n**2')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('x[n]')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.subplot(212)\nplt.stem(n,yi,label=etiqueta,\n         markerfmt='go',\n         linefmt='green')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('y[n]')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.3 Bloques con Xcos<\/h2>\n\n\n\n
El simulador requiere establecer una se\u00f1al de tiempo para coordinar lo que sucede en cada bloque que depende del tiempo para generar una salida.<\/p>\n\n\n\n
El contador requiere una se\u00f1al de reloj para actualizar el valor de salida. El bloque de gr\u00e1fica tambi\u00e9n se sincroniza con el reloj y el bloque de atraso tambi\u00e9n usa el reloj para determinar si usa los valores iniciales.<\/p>\n\n\n\n
Las operaciones matem\u00e1ticas como ganancia, suma y base a un exponente no usan reloj.<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01aDiagr\"<\/figure>\n\n\n\n
El par\u00e1metro de condici\u00f3n inicial se configura en el bloque de retraso (1\/z)<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01a\"<\/figure>\n\n\n\n
La se\u00f1al de entrada requiere dos bloques: el contador y el bloque de base elevado a potencia.<\/p>\n\n\n\n
El bloque del contador se configura considerando los tiempos de observaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01b\"<\/figure>\n\n\n\n
El bloque de potencia se configura el exponente,<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01c\"<\/figure>\n\n\n\n
Control de muestreo se realiza en el reloj, con periodo 1 e inicio en cero<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01d\"<\/figure>\n\n\n\n
El intervalo de muestreo se establece en las propiedades del osciloscopio de salida,<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01e\"<\/figure>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica de salida se obtiene con el bot\u00f3n de \"PLAY\" y se ajusta en el men\u00fa de \"Edit\/Axes properties\" para presentar muestras con puntos de tama\u00f1o 6 y color rojo, sin lineas, con estilo de barra.<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01f\"<\/figure>\n\n\n\n
los datos de la gr\u00e1fica se pueden observar en la vi\u00f1eta \"data\",<\/p>\n\n\n\n
\"SolucionIterativaEj01g\"<\/figure>\n\n\n\n
Se presenta el procedimiento en pasos b\u00e1sicos, luego se pueden a\u00f1adir mas detalles.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2. Ejercicio <\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Lathi ejemplo 3.12 p267<\/p>\n\n\n\n
Resolver de forma iterativa,<\/p>\n\n\n y[n+2] - y[n+1] +0.24y[n] = x[n+2] - 2x[n+1] <\/span>\n\n\n\n
con las condiciones iniciales de y[-1] = 2, y[-2] =1 y entrada causal x[n]=n que inicia en n=0<\/p>\n\n\n\n
2.1 Desarrollo anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n
Se deja como tarea realizar la soluci\u00f3n anal\u00edtica con l\u00e1piz y papel, se continua con el uso del algoritmo para la soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Si la ecuaci\u00f3n se reescribe de la forma:<\/p>\n\n\n y[n+2] = y[n+1] - 0.24y[n] + x[n+2] - 2x[n+1] <\/span>\n\n\n\n
y se desplaza en el tiempo con retrasos, para adaptarla al algoritmo presentado en el ejemplo anterior.<\/p>\n\n\n y[n] = y[n-1] - 0.24y[n-2] + x[n] - 2x[n-1] <\/span>\n\n\n\n
Que corresponde a la ecuaci\u00f3n a usar en el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
Las condiciones iniciales ordenadas son inicial= [1,2]<\/p>\n\n\n\n
se emplea el mismo algoritmo, adaptando la f\u00f3rmula par x[n] y y[n],teniendo los resultados siguientes:<\/p>\n\n\n\n
muestras:  10\n[[  n,  xi,  yi]]\n[[ -2.     0.     1.  ]\n [ -1.     0.     2.  ]\n [  0.     0.     1.76]\n [  1.     1.     2.28]\n [  2.     2.     1.86]\n [  3.     3.     0.31]\n [  4.     4.    -2.14]\n [  5.     5.    -5.21]\n [  6.     6.    -8.7 ]\n [  7.     7.   -12.45]\n [  8.     8.   -16.36]\n [  9.     9.   -20.37]]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
la gr\u00e1fica resultante es:<\/p>\n\n\n\n
\"LTI_DT_Sol_iterativaEj02\"<\/figure>\n\n\n\n
2.2 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Sistema LTID. Soluci\u00f3n iterativa\n# Ejercicio Lathi ejemplo 3.12 p267\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# condiciones iniciales ascendente ...,y[-2],y[-1]\ny0  = [1,2]\n\n# para la gr\u00e1fica\nmuestras = 10\netiqueta = 'y[n]=yi[k-1]-0.24*yi[k-2]+xi[k]-2*xi[k-1]'\n\n# PROCEDIMIENTO\nm0 = len(y0)\nm  = muestras + m0\n# vectores\nn  = np.arange(-m0,muestras,1)\nxi = np.zeros(m, dtype=float)\nyi = np.zeros(m, dtype=float)\n\n# a\u00f1ade condiciones iniciales\nxi[0:m0] = 0\nyi[0:m0] = y0\n\n# calcula los siguientes valores\nfor k in range(m0,m,1):\n    xi[k] = n[k]\n    yi[k] = yi[k-1]-0.24*yi[k-2]+xi[k]-2*xi[k-1]\n\n# tabla de valores\ntabla = np.concatenate([[n],[xi],[yi]], axis=0)\ntabla = np.transpose(tabla)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision=2)\nprint('muestras: ', muestras)\nprint('[[  n,  xi,  yi]]')\nprint(tabla)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.subplot(211)\nplt.stem(n,xi,label='x[n]=n')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('x[n]')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.legend()\nplt.grid()\n\nplt.subplot(212)\nplt.stem(n,yi,label=etiqueta,\n         markerfmt='go',\n         linefmt='green')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('y[n]')\nplt.axvline(0,color='gray')\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio 1<\/a><\/p>\n\n\n\n
anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
bloques xcos<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio 2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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