{"id":11489,"date":"2017-08-09T06:52:57","date_gmt":"2017-08-09T11:52:57","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=11489"},"modified":"2026-01-20T04:07:38","modified_gmt":"2026-01-20T09:07:38","slug":"diferenciacion-numerica-errado-intervalo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u05\/diferenciacion-numerica-errado-intervalo\/","title":{"rendered":"5.7.1 Diferenciaci\u00f3n num\u00e9rica - Error con df\/dx en intervalo"},"content":{"rendered":"\n
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compara<\/a><\/p>\n\n\n\n

resultados<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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1. Compara derivadas num\u00e9ricas con anal\u00edticas<\/h2>\n\n\n\n

Para observar el efecto de disminuir h<\/strong> al aumentar los tramos, se realiza la gr\u00e1fica de la derivada df\/dx anal\u00edtica<\/strong> versus las derivadas num\u00e9ricas<\/strong> hacia atr\u00e1s, hacia centrada y hacia adelante.<\/p>\n\n\n\n

\"diferenciaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

Se observa en la animaci\u00f3n la reducci\u00f3n del error en cada diferencia dividida.<\/p>\n\n\n\n

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compara<\/a><\/p>\n\n\n\n

resultados<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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2. Resultados del algoritmo<\/h2>\n\n\n\n
   tramos: 4<\/strong> \t, h: 0.5<\/strong>\n|errado_atras|:    0.3981193548993356\n|errado_centro|:   0.04939087954655119\n|errado_adelante|: 0.41231110309099034\n|errado_max|:      0.4<\/strong>1231110309099034\n[  dfx,        df1_atras, df1_centro, df1_adelante]\n[[ 0.9610378          nan         nan  0.76041177]\n [ 0.49386065  0.76041177  0.44446977  0.12852777]\n [-0.26703531  0.12852777 -0.27540932 -0.67934641]\n [-1.07746577 -0.67934641 -1.04151373 -1.40368104]\n [-1.67397947 -1.40368104         nan         nan]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   tramos: 8<\/strong> \t, h: 0.25<\/strong>\n|errado_atras|:    0.20757887012431775\n|errado_centro|:   0.016528173718511008\n|errado_adelante|: 0.20828851979214785\n|errado_max|:      0.20<\/strong>828851979214785<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   tramos: 32<\/strong> \t, h: 0.062<\/strong>5\n|errado_atras|:    0.05218398011852454\n|errado_centro|:   0.0011877802167017393\n|errado_adelante|: 0.052183627077393824\n|errado_max|:      0.052<\/strong>18398011852454<\/code><\/pre>\n\n\n\n
   tramos: 64<\/strong> \t, h: 0.031<\/strong>25\n|errado_atras|:    0.026094601614190305\n|errado_centro|:   0.000302562296112141\n|errado_adelante|: 0.026094780174240162\n|errado_max|:      094780174240162<\/code><\/pre>\n\n\n\n
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compara<\/a><\/p>\n\n\n\n
resultados<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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3. Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n
Las instrucciones en Python usadas para la gr\u00e1fica son:<\/p>\n\n\n
\n# Diferenciacion Numerica - 1ra Derivada\n# Compara resultados en un intervalo\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\ndfx = lambda x: np.sin(x)\/(2*np.sqrt(x))+ np.sqrt(x)*np.cos(x)\na = 1  # intervalo de integracion\nb = 3\ntramos = 64 # >=2, al menos 2 tramos\n\n# PROCEDIMIENTO\nmuestras = tramos + 1\nh = (b-a)\/tramos\n# puntos de muestras\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\n\n# tabla para comparar derivada y diferencias divididas\ntabla = np.zeros(shape=(muestras,4),dtype=float)\nfor i in range(0,muestras,1): # muestras en intervalo\n    df1_atras = np.nan ; df1_centro = np.nan; df1_adelante = np.nan\n    \n    dfxi = dfx(xi[i]) # derivada analitica, como referencia\n    if i>0 and i<muestras: # hacia Atras, diferencias divididas\n        df1_atras = (fi[i]-fi[i-1])\/h\n    if i>0 and i<(muestras-1): # Centro, diferencias divididas\n        df1_centro = (fi[i+1]-fi[i-1])\/(2*h)\n    if i>=0 and i<(muestras -1): # hacia Adelante, diferencias divididas\n        df1_adelante = (fi[i+1]-fi[i])\/h\n    tabla[i]=[dfxi,df1_atras,df1_centro,df1_adelante]\n\n# errado desde dfxi\nerrado_atras = np.max(np.abs(tabla[1:,0]-tabla[1:,1]))\nerrado_centro = np.max(np.abs(tabla[1:muestras-1,0]-tabla[1:muestras-1,2]))\nerrado_adelante = np.max(np.abs(tabla[:muestras-1,0]-tabla[:muestras-1,3]))\nerrado_max = np.max([errado_atras,errado_centro,errado_adelante])\n\n# SALIDA\nprint('   tramos:', tramos,'\\t, h:',h,)\nprint('|errado_atras|:   ',errado_atras)\nprint('|errado_centro|:  ',errado_centro)\nprint('|errado_adelante|:',errado_adelante)\nprint('|errado_max|:     ',errado_max)\nprint('[  dfx,        df1_atras, df1_centro, df1_adelante]')\nprint(tabla)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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compara<\/a><\/p>\n\n\n\n
resultados<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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4. Gr\u00e1fica con Python<\/h2>\n\n\n\n
Instrucciones complementarias al algoritmo anterior.<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# fx suave aumentando muestras\nmuestrasfxSuave = tramos*10 + 1\nxk = np.linspace(a,b,muestrasfxSuave)\ndfk = dfx(xk)\n\n# Graficar f(x), puntos\nplt.plot(xk,dfk, label ='df(x)',linestyle='dotted')\nif tramos<64:\n    plt.plot(xi,tabla[:,0], 'o') # muestras\n\nplt.plot(xi,tabla[:,1],label='df1_atras')\nplt.plot(xi,tabla[:,2],label='df1_centrada')\nplt.plot(xi,tabla[:,3],label='df1_adelante')\n\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('df(xi)')\ntxt = 'Diferenciaci n Num rica'\ntxt = txt + ', tramos:'+str(tramos)\ntxt = txt + ', h:'+str(h)\ntxt = txt + ', |errado_max|'+str(round(errado_max,4))\nplt.title(txt)\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
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compara<\/a><\/p>\n\n\n\n
resultados<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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