gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Ra\u00edces complejas<\/h2>\n\n\n\n
Pueden darse el caso en forma de pares de conjugadas, si los coeficientes en la ecuaci\u00f3n del sistema con n\u00fameros reales.<\/p>\n\n\n\n
Una alternativa es usar la forma real de la soluci\u00f3n, tal como se hace en sistemas cont\u00ednuos.<\/p>\n\n\n\n
Se expresan las ra\u00edces conjugadas complejas en su forma polar. Si la magnitud es |\u03b3| y el \u00e1ngulo es \u03b2, se tiene,<\/p>\n\n\n \\gamma = |\\gamma | e^{j \\beta} <\/span>\n\n\n \\gamma^* = |\\gamma | e^{-j \\beta}<\/span>\n\n\n y_0[n] = c_1 \\gamma ^{n} + c_2 (\\gamma^*)^n <\/span>\n\n\n =c_1 |\\gamma| ^{n} e^{j \\beta n} + c_2 | \\gamma |^n e^{-j \\beta n} <\/span>\n\n\n c_1 = \\frac{c}{2} e^{j \\theta}<\/span>\n\n\n c_2 = \\frac{c}{2} e^{-j \\theta} <\/span>\n\n\n y_0[n] = \\frac{c}{2} |\\gamma| ^{n} \\Big[ e^{j (\\beta n + \\theta)}+ e^{-j (\\beta n + \\theta)} \\Big] <\/span>\n\n\n y_0[n] = c |\\gamma| ^{n} \\cos (\\beta n + \\theta) <\/span>\n\n\n\ndonde c y \u03b8 son constantes determinadas con las condiciones iniciales. Esta soluci\u00f3n es num\u00e9rica real, evitando trabajar con n\u00fameros complejos<\/p>\n\n\n\n
4.1. Ejercicio. Ra\u00edces con n\u00fameros complejos<\/h3>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 3.16 p275<\/p>\n\n\n\nPara el caso de tener ra\u00edces con n\u00fameros complejos se muestra el siguiente ejemplo:<\/p>\n\n\n y[n+2] - 1.56 y[n+1] + 0.81 y[n] = x[n+1] + 3x[n] <\/span>\n\n\n\ncon condiciones iniciales y0<\/sub>[-1]=2 y y0<\/sub>[-2]=1<\/p>\n\n\n\nPara realizar el diagrama de bloques, se desplaza ambos lados de la ecuaci\u00f3n en 2 unidades. Luego se despeja y[n]<\/p>\n\n\n y[n] - 1.56 y[n-1] + 0.81 y[n-2] = x[n-1] + 3x[n-2] <\/span>\n\n\n y[n] = 1.56 y[n-1] - 0.81 y[n-2] + x[n-1] + 3x[n-2] <\/span>\n\n\n\n![\"ZIR](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/RespuestaEstadoCeroEj02.png\")
<\/figure>\n\n\n\n4.2 Desarrollo anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n y[n+2] - 1.56 y[n+1] + 0.81 y[n] = x[n+1] + 3x[n] <\/span>\n\n\n\nLa expresi\u00f3n usando operador E:<\/p>\n\n\n E^2 y[n] - 1.56 E y[n] + 0.81 y[n] = E x[n] + 3x[n] <\/span>\n\n\n (E^2 - 1.56 E + 0.81) y[n] = (E+ 3)x[n] <\/span>\n\n\n\npara entrada cero se hace x[n] = 0<\/p>\n\n\n (E^2 - 1.56 E + 0.81) y[n] = (E+ 3)(0) <\/span>\n\n\n\npor lo que, el polinomio caracter\u00edstico es,}<\/p>\n\n\n (\\gamma^2 - 1.56 \\gamma + 0.81) = 0 <\/span>\n\n\n\ncon ra\u00edces de n\u00fameros complejos<\/p>\n\n\n (\\gamma - (0.78 + j 0.45))(\\gamma - (0.78-j 0.45)) = 0 <\/span>\n\n\n\nla ra\u00edz tambi\u00e9n se puede escribir como:<\/p>\n\n\n \\gamma = 0.9 e^{\\pm j\\frac{\\pi}{6}} <\/span>\n\n\n\nobtenida mediante:<\/p>\n\n\n\n
raices:\n[0.78+0.44899889j 0.78-0.44899889j]\nmagnitud: [0.9 0.9]\nangulo: [ 0.52231482 -0.52231482]\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\nSe puede escribir la soluci\u00f3n como:<\/p>\n\n\n y_0[n] = c(0.9)n e^{j\\frac{\\pi}{6} } + c^{*} (0.9)n e^{-j\\frac{\\pi}{6}} <\/span>\n\n\n\nLuego aplicando las condiciones iniciales se encuentra que<\/p>\n\n\n c = 2.34 e^{-j0.17} <\/span>\n\n\n c^{*} = 2.34 e^{j0.17} <\/span>\n\n\n\nOtra manera de desarrollo<\/strong><\/em> permite encontrar la soluci\u00f3n usando la forma real de la soluci\u00f3n, conociendo que la soluci\u00f3n esta dada por la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n y_0[n] = c(0.9)^n \\cos \\Big( \\frac{\\pi}{6}n + \\theta \\Big) <\/span>\n\n\n\ncon lo que se puede crear el sistema de ecuaciones aplicando las condiciones iniciales, ademas de considerar que:<\/p>\n\n\n \\cos(a \\pm b) = \\cos(a) \\cos(b) \\mp \\sin(a) \\sin(b) <\/span>\n\n\n\nPara y0<\/sub>[-2] = 1<\/p>\n\n\n 1 = c(0.9)^{-2} \\cos \\Big( \\frac{\\pi}{6}(-2) + \\theta \\Big) <\/span>\n\n\n 1 = c\\frac{1}{(0.9)^2} \\Big[ \\cos \\big(-2\\frac{\\pi}{6} \\big) \\cos ( \\theta ) - \\sin \\big(-2\\frac{\\pi}{6}\\big) \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n 1 = c\\frac{1}{0.81} \\Big[ \\frac{1}{2} \\cos ( \\theta ) - \\frac{-\\sqrt{3}}{2} \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n 1 = c \\Big[ \\frac{1}{1.62} \\cos ( \\theta ) + \\frac{\\sqrt{3}}{1.62} \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n\nPara y0<\/sub>[-1] = 2<\/p>\n\n\n 2 = c(0.9)^{-1} \\cos \\Big( \\frac{\\pi}{6}(-1) + \\theta \\Big) <\/span>\n\n\n 2 = c\\frac{1}{0.9} \\Big[ \\cos \\big(-\\frac{\\pi}{6} \\big) \\cos ( \\theta ) - \\sin \\big(-\\frac{\\pi}{6}\\big) \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n 2 = c\\frac{1}{0.9} \\Big[ \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos ( \\theta ) - \\frac{-1}{2} \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n 2 = c\\Big[ \\frac{\\sqrt{3}}{1.8} \\cos ( \\theta ) + \\frac{1}{1.8} \\sin (\\theta) \\Big] <\/span>\n\n\n\ncon lo que se puede determinar los valores para <\/p>\n\n\n\n
y <\/p>\n\n\n\n
usando una matriz A y vector B a partir de las ecuaciones<\/p>\n\n\n c \\cos ( \\theta ) = 2.31 <\/span>\n\n\n c \\sin ( \\theta ) = -0.4049 <\/span>\n\n\n\nal dividir \/ = tan (\u03b8), con lo que se obtiene el \u00e1ngulo en radianes.<\/p>\n\n\n \\frac{ c \\sin ( \\theta )} {c \\cos ( \\theta )} = \\frac{-0.4049}{2.31} = -0.17528 <\/span>\n\n\n \\theta = \\tan ^{-1} (-0.17528) = -0.1735 <\/span>\n\n\n\nal sustituir el valor en c cos(\u03b8) = 2.31 se tiene,<\/p>\n\n\n c = \\frac{2.31}{ \\cos (-0.1735)} = 2.3452 <\/span>\n\n\n\ncon lo que la soluci\u00f3n se puede escribir mediante:<\/p>\n\n\n y_0[n] = 2.3452 (0.9)^n \\cos \\Big( \\frac{\\pi}{6}n - 0.1735 \\Big) <\/span>\n\n\n\npara n\u22650<\/p>\n\n\n\n
![\"sistema](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/SistemaDiscreto01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Sistema](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/SistemaDiscretoZIR01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"LTID](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/LTID_RespuestaEntradaCeroEj01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"ZIR](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/RespuestaEstadoCeroEj03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"Respuesta](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/RespuestaEstadoCeroEj02graf.png\")
<\/figure>\n\n\n\n