Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra 21.5 p643, Burden 4.9 p174<\/p>\n\n\n\n Un ejemplo sencillo de integral doble es una funci\u00f3n sobre un \u00e1rea rectangular. Las t\u00e9cnicas revisadas en las secciones anteriores de pueden reutilizar para la aproximaci\u00f3n de integrales m\u00faltiples. <\/p>\n\n\n\n Considere la integral doble<\/p>\n\n\n\n \\int_R \\int f(x,y) \\delta A <\/span>\n\n\n\n siendo<\/p>\n\n\n\n que es una regi\u00f3n rectangular en el plano.<\/p>\n\n\n\n \\int_{x_o}^{x_n}\\int_{y_o}^{y_n} f(x,y) \\delta y \\delta x <\/span>\n\n\n\n \\int_{y_o}^{y_n} \\int_{x_o}^{x_n} f(x,y) \\delta x \\delta y <\/span>\n\n\n\n Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: 3Eva2018TII_T1 Integral doble f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n Aproxime el resultado de la integral doble (en \u00e1rea rectangular)<\/p>\n\n\n\n \\displaystyle \\int_{0}^{\\pi\/4} \\displaystyle\\int_{0}^{\\pi\/4} \\Big( 2y \\sin(x) + \\cos ^2 (x) \\Big) \\delta y \\delta x <\/span>\n\n\n\n Considere los Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Use las f\u00f3rmulas compuestas de Simpson, haciendo primero constante un valor en y, luego propagando el proceso. Al obtener los integrales en un sentido, repetir el proceso con los resultados en el otro eje.<\/p>\n\n\n\n Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El punto de partida es usar las F\u00f3rmulas compuestas<\/a> con \u0394x segmentos desiguales, donde el algoritmo selecciona aplicar Simpson 3\/8, Simpson 1\/3 y trapecios seg\u00fan se cumplan los requisitos.<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Permite observar la superficie de f(x,y) sobre la que se calcular\u00e1 el volumen respecto al plano x,y en cero.<\/p>\n\n\n\n Instrucciones adicionales al algoritmo<\/p>\n\n\n Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Realizado para observar las barras con lados de segmentos dx=hx, dy=hy.<\/p>\n\n\n\n Instrucciones complementarias a la gr\u00e1fica anterior.<\/p>\n\n\n Integral doble<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(x,y)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica:<\/p>\n\n\n\n malla<\/a><\/p>\n\n\n\n barras<\/a><\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo f(xi<\/sub>,yj<\/sub>)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Cuando se integra sobre muestras dadas por los vectores xi, yj, se recurre a usar formulas compuestas. Se adapta el algoritmo anterior para usar las muestras de la matriz de alturas de terreno en la isla.<\/p>\n\n\n\n Las gr\u00e1ficas son las mismas que en el algoritmo anterior.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Integrales Dobles sobre \u00e1rea rectangular<\/h2>\n\n\n\n
![\"integral](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/integramultiple_wireframe_bar01.png\")
<\/figure>\n\n\n\nR = {(x,y) | \n x0<\/sub> \u2264 x \u2264 xn<\/sub>, \n y0<\/sub> \u2264 y \u2264 yn<\/sub> }<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
tramosx = 5<\/code> como tama\u00f1os de paso en eje x , tramosy = 4<\/code> como tama\u00f1os de paso en eje y.<\/p>\n\n\n\n<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
j: 0 , yj[0]: 0.0\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 5\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]\n Simpson 3\/8 : 0.4378989163640264\n Simpson 1\/3 : 0.20482799857900125\n Integral: 0.6427269149430277\nj: 1 , yj[1]: 0.19634954084936207\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 5\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]\n Simpson 3\/8 : 0.4807008818748735\n Simpson 1\/3 : 0.2770455037573468\n Integral: 0.7577463856322203\nj: 2 , yj[2]: 0.39269908169872414\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 5\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]\n Simpson 3\/8 : 0.5235028473857204\n Simpson 1\/3 : 0.34926300893569256\n Integral: 0.8727658563214129\nj: 3 , yj[3]: 0.5890486225480862\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 5\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]\n Simpson 3\/8 : 0.5663048128965673\n Simpson 1\/3 : 0.42148051411403814\n Integral: 0.9877853270106054\nj: 4 , yj[4]: 0.7853981633974483\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 5\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]\n Simpson 3\/8 : 0.6091067784074142\n Simpson 1\/3 : 0.4936980192923838\n Integral: 1.1028047976997981\n\nyj: [0. 0.19634954 0.39269908 0.58904862 0.78539816]\nArea por fila: [0.6427269149430277, 0.7577463856322203, 0.8727658563214129, 0.9877853270106054, 1.1028047976997981]\nF\u00f3rmulas compuestas, tramos: 4\nm\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado\ntramos iguales en xi: [3 0 0 1 0]\n Simpson 3\/8 : 0.4802254950852897\n trapecio : 0.20524320554554915\n Integral: 0.6854687006308389\n\nIntegral doble f(x,y)\nxi [0. 0.1571 0.3142 0.4712 0.6283 0.7854]\nyj [0. 0.1963 0.3927 0.589 0.7854]\nd1x : [0.1571 0.1571 0.1571 0.1571 0.1571]\nd2x : [0. 0. 0. 0.]\nd1y : [0.1963 0.1963 0.1963 0.1963]\nd2y : [0. 0. 0.]\nf(x,y)\n[[1. 0.9755 0.9045 0.7939 0.6545 0.5 ]\n [1. 1.037 1.0259 0.9722 0.8853 0.7777]\n [1. 1.0984 1.1472 1.1505 1.1162 1.0554]\n [1. 1.1598 1.2686 1.3287 1.347 1.333 ]\n [1. 1.2213 1.3899 1.507 1.5778 1.6107]]\nIntegral Volumen: 0.6854687006308389<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
\n# Integral doble f(x,y) o de volumen\n# Formulas compuestas, tramos no iguales\n# Integraci\u00f3n Simpson 3\/8, Simpson 1\/3 y trapecio\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfxy = lambda x,y: 2*y*np.sin(x)+(np.cos(x))**2 \nx0 = 0 # intervalo x\nxn = np.pi\/4\ny0 = 0 # intervalo y\nyn = np.pi\/4\ntramosx = 5 # tramos por eje\ntramosy = 4\ntitulo = 'f(x,y)'\nprecision = 4 # decimales a mostrar\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = np.linspace(x0,xn,tramosx+1)\nyj = np.linspace(y0,yn,tramosy+1)\nn = len(xi)\nm = len(yj)\nhx = (xn-x0)\/tramosx # tama\u00f1os de paso\nhy = (yn-y0)\/tramosy\n\n# Matriz F[xi,yj] para f(x,y)\nXi,Yj = np.meshgrid(xi,yj)\nF = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)\nF = fxy(Xi,Yj)\n\ndef simpson_compuesto(xi,fi,vertabla=False,casicero=1e-7):\n '''M\u00e9todo compuesto Simpson 3\/8, Simpson 1\/3 y trapecio\n salida: integral,cuenta_h\n '''\n # vectores como arreglo, numeros reales\n xi = np.array(xi,dtype=float)\n fi = np.array(fi,dtype=float)\n n = len(xi)\n\n # M\u00e9todo compuesto Simpson 3\/8, Simpson 1\/3 y trapecio\n cuenta_h = (-1)*np.ones(n,dtype=int) # sin usar\n suma = 0 # integral total\n suma_parcial =[] # integral por cada m\u00e9todo\n i = 0\n while i<(n-1): # i<tramos, al menos un tramo\n tramo_usado = False\n h = xi[i+1]-xi[i] # tama\u00f1o de paso, supone constante\n \n # tres tramos iguales\n if (tramo_usado==False) and (i+3)<n:\n d2x = np.diff(xi[i:i+4],2) # diferencias entre tramos\n errado = np.max(np.abs(d2x))\n if errado<casicero: # Simpson 3\/8\n S38 = (3\/8)*h*(fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3])\n suma = suma + S38\n cuenta_h[i:i+3] = [3,0,0] # Simpson 3\/8\n suma_parcial.append(['Simpson 3\/8',S38])\n i = i+3\n tramo_usado = True\n\n # dos tramos iguales\n if (tramo_usado==False) and (i+2)<n:\n d2x = np.diff(xi[i:i+3],2) # diferencias entre tramos\n errado = np.max(np.abs(d2x))\n if errado<casicero: # Simpson 1\/3\n S13 = (h\/3)*(fi[i]+4*fi[i+1]+fi[i+2])\n suma = suma + S13\n cuenta_h[i:i+2] = [2,0]\n suma_parcial.append(['Simpson 1\/3',S13])\n i = i+2\n tramo_usado = True\n \n # un tramo igual\n if (tramo_usado == False) and (i+1)<n:\n trapecio = (h\/2)*(fi[i]+fi[i+1])\n suma = suma + trapecio\n cuenta_h[i:i+1] = [1] # usar trapecio\n suma_parcial.append(['trapecio',trapecio])\n i = i+1\n tramo_usado = True\n \n cuenta_h[n-1] = 0 # ultima casilla\n \n if vertabla==True: #mostrar datos parciales\n print('F\u00f3rmulas compuestas, tramos:',n-1)\n print('m\u00e9todos 3:Simpson3\/8, 2:Simpson1\/3, 1:Trapecio, 0:usado')\n print('tramos iguales en xi:',cuenta_h)\n for unparcial in suma_parcial:\n print('',unparcial[0],':',unparcial[1])\n print('','Integral:',suma)\n\n return([suma,cuenta_h])\n\n# PROGRAMA --------------\nareaj = np.array([])\ncuenta_hj = np.array([])\nj = 0 # y[0] constante\nfor j in range(0,tramosy+1,1): # cada yj\n print('j:',j,', yj['+str(j)+']:',yj[j])\n fj = F[j]\n area,cuenta_h=simpson_compuesto(xi,fj,\n vertabla=True,\n casicero=1e-7)\n areaj = np.concatenate((areaj,[area]))\n cuenta_hj = np.concatenate((cuenta_hj,cuenta_h))\nprint('\\nyj:',yj)\nprint('Area por fila:',areaj)\n[area,cuenta_h] = simpson_compuesto(yj,areaj,\n vertabla=True,\n casicero=1e-7)\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision)\nprint('\\nIntegral doble f(x,y)')\nprint('xi',xi)\nprint('yj',yj)\nprint('d1x :',np.diff(xi,1))\nprint('d2x :',np.diff(xi,2))\nprint('d1y :',np.diff(yj,1))\nprint('d2y :',np.diff(yj,2))\nprint(titulo)\nprint(F)\nprint('Integral Volumen:', area)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Gr\u00e1fica de malla<\/h2>\n\n\n\n
![\"integral](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/integramultiple_wireframe.png\")
<\/figure>\n\n\n\n\n# GRAFICA 3D de malla ------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# Matriz F[xi,yj] para f(x,y)\nXi,Yj = np.meshgrid(xi,yj)\n\n# Malla para cada eje X,Y\nfig3D = plt.figure()\ngraf3D = fig3D.add_subplot(111, projection='3d')\n\ngraf3D.plot_wireframe(Xi,Yj,F,label='f(x,y)')\ngraf3D.plot(0,0,0,'ro',label='[0,0,0]')\n\n#entorno de gr\u00e1fica\ngraf3D.set_xlabel('x')\ngraf3D.set_ylabel('y')\ngraf3D.set_zlabel('z')\ngraf3D.set_title(titulo)\ngraf3D.legend()\ngraf3D.view_init(35, -45)\nplt.tight_layout()\n#plt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Gr\u00e1fica de barras<\/h2>\n\n\n\n
![\"integral](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/integramultiple_bar.png\")
<\/figure>\n\n\n\n\n# Grafica barras 3D ------\nfactor = 0.95 # barra proporcion dx, dy\nhx = np.min(np.diff(xi,1))\nhy = np.min(np.diff(yj,1))\n\nfig_3D = plt.figure()\ngraf_3D = fig_3D.add_subplot(111,projection='3d')\n\nF_min = np.min([np.min(F),0])\nF_max = np.max([np.max(F)])\ncolor_F = F[:m-1,:n-1].ravel()\/F_max\ncolor_ij = plt.cm.rainbow(color_F)\n\ngraf_3D.bar3d(Xi[:m-1,:n-1].ravel(),\n Yj[:m-1,:n-1].ravel(),\n np.zeros((n-1)*(m-1)),\n hx*factor,hy*factor,\n F[:m-1,:n-1].ravel(),\n color=color_ij)\ngraf_3D.plot(0,0,0,'ro',label='[0,0,0]')\n\n# escala eje z\ngraf_3D.set_zlim(F_min,F_max)\n\n# entorno de gr\u00e1fica\ngraf_3D.set_xlabel('xi')\ngraf_3D.set_ylabel('yj')\ngraf_3D.set_zlabel('z')\ngraf_3D.set_title(titulo)\ngraf_3D.legend()\n\n# Barra de color\ncolor_escala = plt.Normalize(F_min,F_max)\ncolor_barra = plt.cm.ScalarMappable(norm=color_escala,\n cmap=plt.colormaps["rainbow"])\nfig_3D.colorbar(color_barra,ax=graf_3D,label="F[xi,yj]")\n\ngraf_3D.view_init(35, -45)\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n6. Algoritmo para F(xi,yj) como muestras en Python <\/h2>\n\n\n\n
![\"Volumen](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2015\/07\/2evaiit2017t2_islavolumen.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n