{"id":1212,"date":"2017-06-04T09:10:08","date_gmt":"2017-06-04T14:10:08","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1212"},"modified":"2026-02-15T05:49:43","modified_gmt":"2026-02-15T10:49:43","slug":"metodo-gauss","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u03\/metodo-gauss\/","title":{"rendered":"3.3 M\u00e9todo de Gauss con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Elimina adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

Sustituci\u00f3n atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. M\u00e9todo de Gauss<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Chapra 9.2 p254, Burden 6.1 p273, Rodr\u00edguez 4.3 p119<\/p>\n\n\n\n

El m\u00e9todo de Gauss opera sobre la matriz aumentada<\/em> y pivoteada por filas<\/a><\/em>, a\u00f1adiendo los procesos:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} a_{0,0} x_0+a_{0,1}x_1+a_{0,2} x_2 = b_{0} \\\\ a_{1,0} x_0+a_{1,1}x_1+a_{1,2} x_2 = b_{1} \\\\ a_{2,0} x_0+a_{2,1}x_1+a_{2,2} x_2 = b_{2} \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

1.1 Eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/h3>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n

<\/strong>Desde la primera fila<\/em> i<\/strong> ,
sobre las filas inferiores<\/p>\n\n\n\n

k = i+1<\/strong>, i+2, ...<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\na_{k} = a_{k} -a_{i}\\frac{a_{ki}}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n

 1.2 Sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/p>\n\n\n\n

Desde la \u00faltima fila, <\/em>para<\/p>\n\n\n\n

i = n-1<\/strong>, n-2, ...<\/p>\n\n\n\n x_i = \\Bigg( b_i-\\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_{j} \\Bigg) \\frac{1}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n

y las columnas j<\/strong> luego de la diagonal.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Elimina adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n

Sustituci\u00f3n atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Rodr\u00edguez 4.0 p105,  1Eva2010TI_T3_MN Precio art\u00edculos<\/a><\/p>\n\n\n\n

Para el sistema de ecuaciones mostrado, desarrolle usando el m\u00e9todo de Gauss.<\/p>\n\n\n \\begin{cases} 4x_1+2x_2+5x_3 = 60.70 \\\\ 2x_1+5x_2+8x_3 = 92.90 \\\\ 5x_1+4x_2+3x_3 = 56.30 \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

Se aplica el pivoteo parcial por filas<\/a>, <\/p>\n\n\n\n

\"elimina<\/figure>\n\n\n\n

que tiene como resultado:<\/p>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 5 & 4 & 3 & 56.3 \\\\ 2 & 5 & 8 & 92.9 \\\\ 4 & 2 & 5 & 60.7 \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n

[[ 5.   4.   3.  56.3]\n [ 2.   5.   8.  92.9]\n [ 4.   2.   5.  60.7]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Elimina adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
Sustituci\u00f3n atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Eliminaci\u00f3n hacia adelante o eliminaci\u00f3n Gaussiana<\/h2>\n\n\n\n
\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n
Consiste en simplificar la matriz a una triangular superior<\/strong>, con ceros debajo de la diagonal, usando operaciones entre filas, para obtener:<\/p>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 5 & 4 & 3 & 56.3 \\\\ 0 & 3.4 & 6.8 & 70.38 \\\\ 0 & 0 & 5 & 40.5 \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n
Elimina hacia adelante\n[[ 5.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.<\/span>    3.4   6.8  70.38]\n [ 0.<\/span>    0.<\/span>    5.   40.5 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Los \u00edndices de fila y columna en la matriz A[i,j] se usan de forma semejante a la nomenclatura de los textos de \u00c1lgebra Lineal. <\/p>\n\n\n\n
Progresivamente para cada fila, se toma como referencia o pivote el elemento de la diagonal (i=j).<\/p>\n\n\n\n
Luego, se realizan operaciones con las filas inferiores para convertir los elementos por debajo de la diagonal en cero.<\/p>\n\n\n\n
Las operaciones ya incluyen el vector B debido a que se trabaja sobre la matriz aumentada AB.<\/p>\n\n\n\n
AB Matriz aumentada y pivoteada por filas:\n[[ 5<\/span>.   4.   3.  56.3]\n [ 2<\/span>.   5.   8.  92.9]\n [ 4.   2.   5.  60.7]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n fila 1, operaci\u00f3n fila 1 y 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Para la fila 1, con posici\u00f3n i=0, se usa el elemento ai,i<\/sub> como pivote<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
pivote = AB[i,i] = AB[0,0] = 5<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para las filas que est\u00e1n despu\u00e9s de la diagonal se referencian como k<\/strong>. Se obtiene el factor<\/strong> escalar de la operaci\u00f3n entre filas de la f\u00f3rmula.<\/p>\n\n\n\n
k = i+1 = 0+1 = 1\nfactor = AB[1,0]\/pivote = 2<\/span>\/5<\/span><\/code><\/pre>\n\n\na_{k} = a_{k} -a_{i}\\frac{a_{k,i}}{pivote}<\/span>\n\n\n\n
\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n
y se realiza la operaci\u00f3n entre fila k<\/strong><\/em> y la fila i<\/em> para actualizar la fila k<\/strong><\/em>,<\/p>\n\n\n\n
       [ 2<\/span>. 5.  8.  92.9]\n-(2<\/span>\/5<\/span>)*[ 5. 4.  3.  56.3]\n__________________________\n     = [ 0. 3.4 6.8 70.38]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que la matriz aumentada AB se actualiza a:<\/p>\n\n\n\n
AB =\n[[ 5<\/span>.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.    3.4   6.8  70.38]\n [ 4.<\/span>    2.    5.   60.7 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n fila 1, operaci\u00f3n fila 1 y 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Se contin\u00faa con la siguiente fila, quedando la matriz aumentada con la columna debajo de la primera diagonal en cero:<\/p>\n\n\n\n
k = k+1 = 2\nfactor = 4<\/span>\/5<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
        [ 4<\/span>.  2.  5.   60.7] \n- (4<\/span>\/5<\/span>)*[ 5.  4.  3.   56.3]\n_____________________________\n      = [ 0. -1.2 2.6  15.66]\n\nAB =\n[[ 5.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.    3.4<\/span>   6.8  70.38]\n [ 0.   -1.2<\/span>   2.6  15.66]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Como ya se terminaron las operaciones con la primera posici\u00f3n de la diagonal, el siguiente paso es usar la segunda posici\u00f3n, i =1.<\/p>\n\n\n\n
\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n fila 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Para la fila 2, con posici\u00f3n i=1, se toma el elemento de la diagonal ai,i<\/sub> como pivote<\/strong>, la variable adelante indica la referencia de la tercera fila<\/p>\n\n\n\n
pivote = A[i,i] = AB[1,1] = 3.4<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para las filas ubicadas adelante<\/strong> de la diagonal se referencian como k<\/strong>. Para aplicar la f\u00f3rmula por filas, se obtiene el factor<\/strong> .<\/p>\n\n\n\n
k = i+1 = 1+1 = 2\nfactor = AB[2,1]\/pivote  = -1.2<\/span>\/3.4<\/span> = - 0,3529\n\n            [ 0. -1.2<\/span> 2.6 15.66]\n-(-1.2<\/span>\/3.4<\/span>)*[ 0.  3.4 6.8 70.38]\n________________________________\n         =  [ 0.  0.  5.  40.5 ]\n\nAB =\n[[ 5.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.<\/span>    3.4   6.8  70.38]\n [ 0.<\/span>    0.<\/span>    5.   40.5 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n
Con lo que se completa el objetivo de tener ceros debajo de la diagonal. <\/p>\n\n\n\n
Observe que no es necesario realizar operaciones para la \u00faltima fila, por lo que k<\/strong> debe llegar solamente hasta la fila pen\u00faltima<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
El resultado de la eliminaci\u00f3n hacia adelante, a ser usado en el pr\u00f3ximo paso es:<\/p>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 5 & 4 & 3 & 56.3 \\\\ 0 & 3.4 & 6.8 & 70.38 \\\\ 0 & 0 & 5 & 40.5 \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Elimina adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
Sustituci\u00f3n atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/h2>\n\n\n\n
La f\u00f3rmula se interpreta para facilitar el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
Desde la \u00faltima fila, <\/em>para i = n-1<\/strong>, n-2, ...<\/p>\n\n\n\n
Y las columnas j<\/strong> luego de la diagonal<\/p>\n\n\n x_i = \\Bigg( b_i-\\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_{j} \\Bigg) \\frac{1}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n
Para una fila i<\/strong>, el vector B[i] representa el valor de la constante en la fila i<\/strong> de la matriz aumentada, A[i,j] se refiere los valores de los coeficientes de la ecuaci\u00f3n, de los que se encuentran a la derecha de la diagonal.<\/p>\n\n\n\n
Las operaciones se realizan de abajo hacia arriba desde la \u00faltima fila. Para el ejercicio presentado se tiene que:<\/p>\n\n\n\n
ultfila<\/strong> = n-1 = 3-1 = 2
ultcolumna<\/strong> = m-1 = 4-1 = 3<\/p>\n\n\n\n
la matriz a procesar es la resultante de eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/em>:<\/p>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 5 & 4 & 3 & 56.3 \\\\ 0 & 3.4 & 6.8 & 70.38 \\\\ 0 & 0 & 5 & 40.5 \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n
Elimina hacia adelante\n[[ 5.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.<\/span>    3.4   6.8  70.38]\n [ 0.<\/span>    0.<\/span>    5.   40.5 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 1, fila 3, i=2<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Empieza desde la \u00faltima fila de la matriz,<\/p>\n\n\n\n
[ 0. 0. 5. 40.5 ]<\/code><\/pre>\n\n\n0 x_1 + 0 x_2 + 5 x_3 = 40.5<\/span>\n\n\n\n
El valor de la constante es B[i] = 40.5 y no existen elementos hacia la derecha de la diagonal. No se usa la ultima columna que es de las constantes:<\/p>\n\n\n5 x_3 = 40.5<\/span>\n\n\nx_3 = \\frac{40.5}{5} = 8.1<\/span>\n\n\n\n
la respuesta se interpreta en el vector X como:<\/p>\n\n\n X= [ x_1 , x_2 , x_3] = [ 0 , 0 , 8.1 ] <\/span>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 2, fila 2,  i = 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n
De la pen\u00faltima fila se obtiene la ecuaci\u00f3n para encontrar x2<\/sub><\/p>\n\n\n\n
[ 0. 3.4 6.8 70.38]<\/code><\/pre>\n\n\n0x_1 + 3.4 x_2 +6.8 x_3 = 70.38<\/span>\n\n\n\n
se observa que B[i] = 70.38 y  a la derecha de a diagonal se tiene un solo valor de 6.8.<\/p>\n\n\n3.4 x_2 = 70.38 -6.8 x_3 <\/span>\n\n\n3.4 x_2 = 70.38 -6.8 (8.1)<\/span>\n\n\n\n
Usa el valor de x3<\/sub> encontrado en la iteraci\u00f3n anterior. Muestra la ecuaci\u00f3n para la segunda fila.<\/p>\n\n\nx_2 = \\frac{70.38 -6.8 (8.1)}{3.4} = 4.5<\/span>\n\n\n\n
la respuesta se interpreta en el vector X como:<\/p>\n\n\n X= [ 0 , 4.5 , 8.1 ] <\/span>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 3 fila 1, i=0<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Se sigue el mismo proceso para la siguiente inc\u00f3gnita x1<\/sub> que se interpreta como<\/p>\n\n\n\n
[ 5. 4. 3. 56.3 ]<\/code><\/pre>\n\n\n5x_1 + 4 x_2 + 3x_3 = 56.3<\/span>\n\n\n5x_1 = 56.3 - ( 4 x_2 + 3x_3) <\/span>\n\n\nx_1 = \\frac{56.3 - ( 4 (4.5) + 3(8.1))}{5} = 2.8<\/span>\n\n\n\n
Se encuentra que la soluci\u00f3n al sistema de ecuaciones es:<\/p>\n\n\n X= [ 2.8, 4.5 , 8.1 ] <\/span>\n\n\n\n
M\u00e9todo de Gauss\nsoluci\u00f3n X: \n[2.8 4.5 8.1]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Verificar respuesta<\/h3>\n\n\n\n
Para verificar que el resultado es correcto, se usa el producto punto entre la matriz a y el vector resultado X. La operaci\u00f3n A.X = B debe dar el vector B.<\/p>\n\n\n\n
>>> A\narray([[4., 2., 5.],\n       [2., 5., 8.],\n       [5., 4., 3.]])\n>>> X\narray([2.8, 4.5, 8.1])\n>>> np.dot(A,X)\narray([60.7, 92.9, 56.3])<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Elimina adelante<\/a><\/p>\n\n\n\n
Sustituci\u00f3n atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n
El algoritmo para el M\u00e9todo de Gauss, reutiliza las instrucciones para matriz aumentada y pivoteo parcial por filas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
\n