Pivoteo<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Matriz Aumentada<\/a> <\/p>\n\n\n\n Pivoteo filas<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra 9.4.2 p268. Burden 6.2 p279. Rodr\u00edguez 4.0 p105<\/p>\n\n\n\n Los m\u00e9todos de soluci\u00f3n a sistemas de ecuaciones en los primeros pasos usan la matriz aumentada<\/strong> y pivoteada por filas<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Como es un procedimiento usado en todos los m\u00e9todos de la unidad, para simplificar se presenta como uno de los primeros algoritmos.<\/p>\n\n\n\n El objetivo del pivoteo es ordenar la matriz para que en lo posible sea diagonal dominante.<\/p>\n\n\n |a_{i,i}| \\geq \\sum_{j=0 ; i\\neq j}^n |a_{i,j}| <\/span>\n\n\n\n Pivoteo<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Matriz Aumentada<\/a> <\/p>\n\n\n\n Pivoteo filas<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: 1Eva2011TII_T2 Sistema de Ecuaciones, diagonal dominante<\/a><\/p>\n\n\n\n Considere el siguiente sistema de ecuaciones AX=B dado por:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\\\7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Realice el pivoteo parcial por filas<\/strong>, de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante.<\/p>\n\n\n\n Pivoteo<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Matriz Aumentada<\/a> <\/p>\n\n\n\n Pivoteo filas<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El sistema de ecuaciones se escribe en la forma algebraica como matrices y vectores de la forma Ax=B<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} -2 & 5 & 9 \\\\ 7 & 1 & 1 \\\\-3 & 7 & -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x_0 \\\\ x_1 \\\\ x_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 6 \\\\ -26 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n Para el algoritmo, las ecuaciones se escriben en forma de matriz A y vector B.<\/p>\n\n\n\n Las matrices y vectores se procesan como arreglos El vector B para la matriz aumentada se usa en forma de columna. Se aumenta una dimensi\u00f3n La matriz aumentada AB se forma al concatenar por columnas<\/strong> la matriz A con el vector B_columna, usando el par\u00e1metro el resultado AB se muestra como:<\/p>\n\n\n\n En varios algoritmos se usa la matriz aumentada<\/strong> AB, para mantener el orden entre filas de A y B al aplicar cambios de fila.<\/p>\n\n\n\n Pivoteo<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Matriz Aumentada<\/a> <\/p>\n\n\n\n Pivoteo filas<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio2<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para el pivoteo por filas<\/em><\/strong> de la matriz aumentada AB<\/strong>, tiene como primer paso revisar la primera columna<\/strong>, desde la posici\u00f3n diagonal hacia todas las filas por debajo, usando solo la magnitud de los coeficientes |A|.<\/p>\n\n\n\n La representaci\u00f3n gr\u00e1fica de la matriz A, permite visualizar los intercambios de fila.<\/p>\n\n\n\n Las instrucciones para seleccionar la columna<\/strong>, usar el valor abs<\/strong>oluto y d\u00f3nde<\/strong> se encuentra el m\u00e1x<\/strong>imo son:<\/p>\n\n\n Los valores de la columna se reducen a:<\/p>\n\n\n\n Si la magnitud de mayor valor no est\u00e1 en la diagonal (dondemax\u22600<\/em>), se realiza el intercambio entre la fila dondemax<\/strong> y la fila de la diagonal i<\/strong> en AB.<\/p>\n\n\n\n En \u00e9ste paso se asegura que en la casilla AB[0,0] se encuentre el mayor valor de la columna 1.<\/p>\n\n\n\n El intercambio de filas requiere tres pasos: realizar una copia de la fila que se esta analizando en un vector Se repite el proceso anterior para la siguiente columna (j=1), pero siempre formada desde la diagonal (i=j).<\/p>\n\n\n\n La columna en \u00e9ste paso se reduce el tama\u00f1o en una posici\u00f3n. Se consideran solo las magnitudes para la selecci\u00f3n de dondemax<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Los valores de la columna se reducen a:<\/p>\n\n\n\n En el ejercicio se encuentra que: la magnitud de mayor valor est\u00e1 en la fila=1, no en la diagonal. Se realiza el intercambio entre la fila 'i' y la fila (dondemax+i) de AB.<\/p>\n\n\n\n Se repite el proceso para la tercera columna desde la diagonal, que resulta tener solo una casilla (columna =[9]) y no ser requiere continuar.<\/p>\n\n\n\n En la gr\u00e1fica se destaca el resultado del pivoteo por filas, acercando en lo posible a una matriz diagonal dominante.<\/p>\n\n\n\n Tarea<\/strong>: Revisar cuando en una columna se tiene dos valores mayores de igual valor. Ampliar el algoritmo. Considere como ejemplo del caso planteado: 1Eva2011TI_T2_MN Alimentos para animales<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Pivoteo - Concepto<\/h2>\n\n\n\n
![\"pivoteo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/pivoteofilas_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"montana](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2025\/11\/montana-huayna-picchu.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Matriz Aumentada<\/h2>\n\n\n\n
A = [[-2, 5, 9],\n [ 7, 1, 1],\n [-3, 7,-1]]\n\nB = [1,6,-26]<\/code><\/pre>\n\n\n\nnp.array()<\/code> de n\u00fameros reales. No se usan listas.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\nA = np.array(A,dtype=float)\nB = np.array(B,dtype=float)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
[B]<\/code> y se aplica la transpuesta.<\/p>\n\n\n\nB_columna = np.transpose([B])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
>>> B_columna\narray([[ 1],\n [ 6],\n [-26]])<\/code><\/pre>\n\n\n\naxis=1<\/code>.<\/p>\n\n\n\nAB = np.concatenate((A,B_columna),axis=1)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
>>> AB\narray([[ -2. , 5. , 9. , 1.],\n [ 7. , 1. , 1. , 6.],\n [ -3. , 7. , -1. , -26.]])<\/code><\/pre>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} -2 & 5 & 9 & 1 \\\\ 7 & 1 & 1 & 6 \\\\ -3 & 7 & -1 & -26 \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Pivoteo parcial por filas<\/h2>\n\n\n\n
![\"pivoteo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/pivoteofilas00.png\")
<\/figure>\n\n\n\n>>> AB\narray([[ -2.<\/span><\/strong> , 5. , 9. , 1.],\n [ 7.<\/span> , 1. , 1. , 6.]<\/strong>,\n [ -3.<\/span><\/strong> , 7. , -1. , -26.]])<\/code><\/pre>\n\n\n\n\ncolumna = abs(AB[i:,i])\ndondemax = np.argmax(columna)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
columna = [ | -2.|, fila=0<\/em>\n | 7.<\/span><\/strong>|, fila=1<\/em>\n | -3.| ] fila=2<\/em>\ndondemax = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\nAB = [[ 7.<\/span> , 1. , 1. , 6.]<\/strong>,\n [ -2. , 5. , 9. , 1.],\n [ -3. , 7. , -1. , -26.]]<\/code><\/pre>\n\n\n\ntemporal<\/code>. Luego se copian los valores en la fila AB[dondemax+i] en la fila AB[i]. Finalmente actualizando la fila AB[dondemax+i] con los valores de temporal<\/code>.<\/p>\n\n\n\n if (dondemax !=0): # NO en diagonal\n # intercambia filas\n temporal = np.copy(AB[i,:])\n AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n AB[dondemax+i,:] = temporal\n<\/pre><\/div>\n\n\n
![\"pivoteo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/pivoteofilas01.png\")
<\/figure>\n\n\n\nAB = [[ 7. , 1. , 1. , 6.],\n [ -2. , 5.<\/span><\/strong> , 9. , 1.],\n [ -3. , 7.<\/span><\/strong> , -1. , -26.]]<\/code><\/pre>\n\n\n\ncolumna = [ |5|, fila=0<\/em>\n |7| ] fila=1<\/em>\ndondemax = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\nAB = ([[ 7. , 1. , 1. , 6.],\n [ -3. , 7.<\/span> , -1. , -26.]<\/strong>,\n [ -2. , 5. , 9. , 1.]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"pivoteo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/pivoteofilas03.png\")
<\/figure>\n\n\n\nPivoteo parcial por filas AB:\n[[ 7. , 1. , 1. , 6.],\n [ -3. , 7. , -1. , -26.],\n [ -2. , 5. , 9. , 1.]]\nA:\n[[ 7. , 1. , 1.],\n[ -3. , 7. , -1.],\n[ -2. , 5. , 9.]]\nB:\n[6. , -26. , 1.]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n