Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra 10.1 p284. Burden 6.5 p298<\/p>\n\n\n\n Una matriz A<\/strong> puede separarse en dos matrices triangulares que entre ellas tienen la propiedad: A<\/strong> = L<\/strong>.U<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n La matriz U<\/strong> se obtiene despu\u00e9s de aplicar el proceso de eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/a> del m\u00e9todo de Gauss.<\/p>\n\n\n\n La matriz L<\/strong> contiene los factor<\/strong>es usados en el proceso de eliminaci\u00f3n hacia adelante del m\u00e9todo de Gauss, escritos sobre una matriz identidad en las posiciones donde se calcularon.<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Chapra Ejemplo 10.1 p285<\/p>\n\n\n\n Presente las matrices LU<\/strong> de la matriz A<\/strong> siguiente:<\/p>\n\n\n A= \\begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\\\ 0.1 & 7 & -0.3 \\\\0.3 & -0.2 & 10 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n El resultado del \"pivoteo por filas<\/a>\" y \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" se tiene:<\/p>\n\n\n\n de donde la \u00faltima columna es el nuevo vector B<\/p>\n\n\n\n Y guardando los factores del procedimiento de \"eliminaci\u00f3n hacia adelante \" en una matriz L<\/strong> que empieza con la matriz identidad se obtiene:<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Realizado a partir del algoritmo de la secci\u00f3n m\u00e9todo de Gauss<\/a> y modificando las partes necesarias para el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n Para \u00e9ste algoritmo, se procede desde el bloque de pivoteo por filas, continuando con el algoritmo de \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" del m\u00e9todo de Gauss.\u00a0 Procedimientos que dan como resultado la matriz U<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n La matriz L<\/strong> requiere iniciar con una matriz identidad, y el procedimiento requiere que al ejecutar \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" se almacene cada factor con el que se multiplica la fila para hacer cero. El factor se lo almacena en la matriz L<\/strong>, en la posici\u00f3n de d\u00f3nde se determin\u00f3 el factor.<\/p>\n\n\n\n El resultado obtenido con el algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n Donde se puede verificar que L.U = A usando la instrucci\u00f3n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n Si se requiere una respuesta unificada en una variable, se puede convertir en una arreglo de matrices [L<\/strong>,U<\/strong>].<\/p>\n\n\n\n Las matrices L<\/strong> y U<\/strong> se pueden leer como L<\/strong>=LU[0] y U<\/strong>=LU[1]<\/p>\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El resultado a obtener es:<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Luego del resultado o definida la matriz a, la instrucci\u00f3n en la librer\u00eda Scipy es:<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Matrices triangulares A=L.U<\/h2>\n\n\n\n
\n
![\"matriz](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/matrizlu01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
A = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]<\/code><\/pre>\n\n\n\nPivoteo parcial por filas\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\neliminaci\u00f3n hacia adelante\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 ]\n [ 0. 7.00333333 -0.29333333]\n [ 0. 0. 10.01204188]]<\/code><\/pre>\n\n\n\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.03333333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.02712994 1. ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo LU en Python<\/h2>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]\nPivoteo parcial:\n Pivoteo por filas NO requerido\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.0333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.0271 1. ]]\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933]\n [ 0. 0. 10.012 ]]\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\nnp.dot(L.U)<\/code>:<\/p>\n\n\n\n>>> np.dot(L,U)\narray([[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]])\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Matrices L y U\n# Modificando el m\u00e9todo de Gauss\nimport numpy as np\n\n# PROGRAMA ------------\n# INGRESO\nA = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]\n\n# PROCEDIMIENTO\nnp.set_printoptions(precision=4) # 4 decimales en print\ncasicero = 1e-15 # redondear a cero\n\ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n '''\n Pivotea parcial por filas\n Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n '''\n A = np.array(A,dtype=float)\n B = np.array(B,dtype=float)\n # Matriz aumentada\n nB = len(np.shape(B))\n if nB == 1:\n B = np.transpose([B])\n AB = np.concatenate((A,B),axis=1)\n \n if vertabla==True:\n print('Matriz aumentada')\n print(AB)\n print('Pivoteo parcial:')\n \n # Pivoteo por filas AB\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n \n # Para cada fila en AB\n pivoteado = 0\n for i in range(0,n-1,1):\n # columna desde diagonal i en adelante\n columna = np.abs(AB[i:,i])\n dondemax = np.argmax(columna)\n \n # dondemax no es en diagonal\n if (dondemax != 0):\n # intercambia filas\n temporal = np.copy(AB[i,:])\n AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n AB[dondemax+i,:] = temporal\n\n pivoteado = pivoteado + 1\n if vertabla==True:\n print(' ',pivoteado,\n 'intercambiar filas: ',i,\n 'con', dondemax+i)\n if vertabla==True:\n if pivoteado==0:\n print(' Pivoteo por filas NO requerido')\n else:\n print(AB)\n return(AB)\n\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\n\ntamano = np.shape(AB)\nn = tamano[0]\nm = tamano[1]\n\nAB0 = np.copy(AB)\n\nL = np.identity(n,dtype=float) # Inicializa L\n\n# eliminacion hacia adelante\nfor i in range(0,n-1,1):\n pivote = AB[i,i]\n adelante = i+1\n for k in range(adelante,n,1):\n factor = AB[k,i]\/pivote\n AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor\n \n L[k,i] = factor # llena L\n\nU = np.copy(AB[:,:n])\n\n# SALIDA\nprint('matriz L: ')\nprint(L)\nprint('Matriz U: ')\nprint(U)\n<\/pre><\/div>\n\n\n\nLU = np.array([L,U])\n\n# SALIDA\nprint('triangular inferior L')\nprint(LU[0])\nprint('triangular superior U')\nprint(LU[1])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo como Funci\u00f3n de Python<\/h2>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]\nPivoteo parcial:\n Pivoteo por filas NO requerido\nElimina hacia adelante:\n fila 0 pivote: 3.0\n factor: 0.03333333333333333 para fila: 1\n factor: 0.09999999999999999 para fila: 2\n fila 1 pivote: 7.003333333333333\n factor: -0.027129938124702525 para fila: 2\n fila 2 pivote: 10.012041884816753\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933 -19.5617]\n [ 0. 0. 10.012 70.0843]]\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.0333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.0271 1. ]]\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933 -19.5617]\n [ 0. 0. 10.012 70.0843]]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Matrices L y U\n# Modificando el m\u00e9todo de Gauss\nimport numpy as np\n\ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n '''\n Pivoteo parcial por filas, entrega matriz aumentada AB\n Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n '''\n A = np.array(A,dtype=float)\n B = np.array(B,dtype=float)\n # Matriz aumentada\n nB = len(np.shape(B))\n if nB == 1:\n B = np.transpose([B])\n AB = np.concatenate((A,B),axis=1)\n \n if vertabla==True:\n print('Matriz aumentada')\n print(AB)\n print('Pivoteo parcial:')\n \n # Pivoteo por filas AB\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n \n # Para cada fila en AB\n pivoteado = 0\n for i in range(0,n-1,1):\n # columna desde diagonal i en adelante\n columna = np.abs(AB[i:,i])\n dondemax = np.argmax(columna)\n \n # dondemax no es en diagonal\n if (dondemax != 0):\n # intercambia filas\n temporal = np.copy(AB[i,:])\n AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n AB[dondemax+i,:] = temporal\n\n pivoteado = pivoteado + 1\n if vertabla==True:\n print(' ',pivoteado,\n 'intercambiar filas: ',i,\n 'con', dondemax+i)\n if vertabla==True:\n if pivoteado==0:\n print(' Pivoteo por filas NO requerido')\n else:\n print(AB)\n return(AB)\n\ndef gauss_eliminaAdelante(AB, vertabla=False,lu=False,casicero = 1e-15):\n ''' Gauss elimina hacia adelante, a partir de,\n matriz aumentada y pivoteada.\n Para respuesta en forma A=L.U usar lu=True entrega[AB,L,U]\n '''\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n L = np.identity(n,dtype=float) # Inicializa L\n if vertabla==True:\n print('Elimina hacia adelante:')\n for i in range(0,n,1):\n pivote = AB[i,i]\n adelante = i+1\n if vertabla==True:\n print(' fila',i,'pivote: ', pivote)\n for k in range(adelante,n,1):\n if (np.abs(pivote)>=casicero):\n factor = AB[k,i]\/pivote\n AB[k,:] = AB[k,:] - factor*AB[i,:]\n for j in range(0,m,1): # casicero revisa\n if abs(AB[k,j])<casicero:\n AB[k,j]=0\n\n L[k,i] = factor # llena L\n \n if vertabla==True:\n print(' factor: ',factor,' para fila: ',k)\n else:\n print(' pivote:', pivote,'en fila:',i,\n 'genera division para cero')\n respuesta = AB\n if vertabla==True:\n print(AB)\n if lu==True:\n U = AB[:,:n-1]\n respuesta = [AB,L,U]\n return(respuesta)\n\n# PROGRAMA ------------------------\n# INGRESO\nA = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]\n\n# PROCEDIMIENTO\nnp.set_printoptions(precision=4) # 4 decimales en print\ncasicero = 1e-15 # redondear a cero\n\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\n\nAB = gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=True, lu=True)\nL = AB[1]\nU = AB[0]\n\n# SALIDA\nprint('matriz L: ')\nprint(L)\nprint('Matriz U: ')\nprint(U)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Funci\u00f3n en librer\u00eda Scipy.linalg.lu<\/h2>\n\n\n\n
>>> import scipy as sp\n>>> [L,U] =sp.linalg.lu(A,permute_l=True)\n>>> L\narray([[ 1. , 0. , 0. ],\n [ 0.03333333, 1. , 0. ],\n [ 0.1 , -0.02712994, 1. ]])\n>>> U\narray([[ 3. , -0.1 , -0.2 ],\n [ 0. , 7.00333333, -0.29333333],\n [ 0. , 0. , 10.01204188]])\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n