Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Chapra 10.1 p284. Burden 6.5 p298<\/p>\n\n\n\n Una matriz A<\/strong> puede separarse en dos matrices triangulares que entre ellas tienen la propiedad: A<\/strong> = L<\/strong>.U<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n La matriz U<\/strong> se obtiene despu\u00e9s de aplicar el proceso de eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/a> del m\u00e9todo de Gauss.<\/p>\n\n\n\n La matriz L<\/strong> contiene los factor<\/strong>es usados en el proceso de eliminaci\u00f3n hacia adelante del m\u00e9todo de Gauss, escritos sobre una matriz identidad en las posiciones donde se calcularon.<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Chapra Ejemplo 10.1 p285<\/p>\n\n\n\n Presente las matrices LU<\/strong> de la matriz A<\/strong> siguiente:<\/p>\n\n\n A= \\begin{pmatrix} 3 & -0.1 & -0.2 \\\\ 0.1 & 7 & -0.3 \\\\0.3 & -0.2 & 10 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n El resultado del \"pivoteo por filas<\/a>\" y \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" se tiene:<\/p>\n\n\n\n de donde la \u00faltima columna es el nuevo vector B<\/p>\n\n\n\n Y guardando los factores del procedimiento de \"eliminaci\u00f3n hacia adelante \" en una matriz L<\/strong> que empieza con la matriz identidad se obtiene:<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Realizado a partir del algoritmo de la secci\u00f3n m\u00e9todo de Gauss<\/a> y modificando las partes necesarias para el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n Para \u00e9ste algoritmo, se procede desde el bloque de pivoteo por filas<\/a>, continuando con el algoritmo de \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" del m\u00e9todo de Gauss. Procedimientos que dan como resultado la matriz U<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n La matriz L<\/strong> requiere iniciar con una matriz identidad, y el procedimiento requiere que al ejecutar \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\" se almacene cada factor con el que se multiplica la fila para hacer cero. El factor se lo almacena en la matriz L<\/strong>, en la posici\u00f3n de d\u00f3nde se determin\u00f3 el factor.<\/p>\n\n\n\n El resultado obtenido con el algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n Donde se puede verificar que L.U = A usando la instrucci\u00f3n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n Si se requiere una respuesta unificada en una variable, se puede convertir en una arreglo de matrices [L<\/strong>,U<\/strong>].<\/p>\n\n\n\n Las matrices L<\/strong> y U<\/strong> se pueden leer como L<\/strong>=LU[0] y U<\/strong>=LU[1]<\/p>\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El resultado a obtener es:<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n LY=B<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Luego del resultado o definida la matriz a, la instrucci\u00f3n en la librer\u00eda Scipy es:<\/p>\n\n\n\n Matriz A=L.U<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n librer\u00eda<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Matrices triangulares A=L.U<\/h2>\n\n\n\n
\n
![\"matriz](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/matrizlu01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
A = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]<\/code><\/pre>\n\n\n\nPivoteo parcial por filas\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\neliminaci\u00f3n hacia adelante\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 ]\n [ 0. 7.00333333 -0.29333333]\n [ 0. 0. 10.01204188]]<\/code><\/pre>\n\n\n\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.03333333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.02712994 1. ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo LU en Python<\/h2>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]\nPivoteo parcial:\n Pivoteo por filas NO requerido\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.0333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.0271 1. ]]\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933]\n [ 0. 0. 10.012 ]]\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\nnp.dot(L.U)<\/code>:<\/p>\n\n\n\n>>> np.dot(L,U)\narray([[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]])\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Matrices L y U\n# Modificando el m\u00e9todo de Gauss\nimport numpy as np\n\n# PROGRAMA ------------\n# INGRESO\nA = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]\n\n# PROCEDIMIENTO\nnp.set_printoptions(precision=4) # 4 decimales en print\ncasicero = 1e-15 # redondear a cero\n\ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n '''\n Pivotea parcial por filas\n Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n '''\n A = np.array(A,dtype=float)\n B = np.array(B,dtype=float)\n # Matriz aumentada\n nB = len(np.shape(B))\n if nB == 1:\n B = np.transpose([B])\n AB = np.concatenate((A,B),axis=1)\n \n if vertabla==True:\n print('Matriz aumentada')\n print(AB)\n print('Pivoteo parcial:')\n \n # Pivoteo por filas AB\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n \n # Para cada fila en AB\n pivoteado = 0\n for i in range(0,n-1,1):\n # columna desde diagonal i en adelante\n columna = np.abs(AB[i:,i])\n dondemax = np.argmax(columna)\n \n # dondemax no es en diagonal\n if (dondemax != 0):\n # intercambia filas\n temporal = np.copy(AB[i,:])\n AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n AB[dondemax+i,:] = temporal\n\n pivoteado = pivoteado + 1\n if vertabla==True:\n print(' ',pivoteado,\n 'intercambiar filas: ',i,\n 'con', dondemax+i)\n if vertabla==True:\n if pivoteado==0:\n print(' Pivoteo por filas NO requerido')\n else:\n print(AB)\n return(AB)\n\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\n\ntamano = np.shape(AB)\nn = tamano[0]\nm = tamano[1]\n\nAB0 = np.copy(AB)\n\nL = np.identity(n,dtype=float) # Inicializa L\n\n# eliminacion hacia adelante\nfor i in range(0,n-1,1):\n pivote = AB[i,i]\n adelante = i+1\n for k in range(adelante,n,1):\n factor = AB[k,i]\/pivote\n AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor\n \n L[k,i] = factor # llena L\n\nU = np.copy(AB[:,:n])\n\n# SALIDA\nprint('matriz L: ')\nprint(L)\nprint('Matriz U: ')\nprint(U)\n<\/pre><\/div>\n\n\n\nLU = np.array([L,U])\n\n# SALIDA\nprint('triangular inferior L')\nprint(LU[0])\nprint('triangular superior U')\nprint(LU[1])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo como Funci\u00f3n de Python<\/h2>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85]\n [ 0.1 7. -0.3 -19.3 ]\n [ 0.3 -0.2 10. 71.4 ]]\nPivoteo parcial:\n Pivoteo por filas NO requerido\nElimina hacia adelante:\n fila 0 pivote: 3.0\n factor: 0.03333333333333333 para fila: 1\n factor: 0.09999999999999999 para fila: 2\n fila 1 pivote: 7.003333333333333\n factor: -0.027129938124702525 para fila: 2\n fila 2 pivote: 10.012041884816753\n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933 -19.5617]\n [ 0. 0. 10.012 70.0843]]\nmatriz L: \n[[ 1. 0. 0. ]\n [ 0.0333 1. 0. ]\n [ 0.1 -0.0271 1. ]]\nMatriz U: \n[[ 3. -0.1 -0.2 7.85 ]\n [ 0. 7.0033 -0.2933 -19.5617]\n [ 0. 0. 10.012 70.0843]]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Matrices L y U\n# Modificando el m\u00e9todo de Gauss\nimport numpy as np\n\ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n '''\n Pivoteo parcial por filas, entrega matriz aumentada AB\n Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n '''\n A = np.array(A,dtype=float)\n B = np.array(B,dtype=float)\n # Matriz aumentada\n nB = len(np.shape(B))\n if nB == 1:\n B = np.transpose([B])\n AB = np.concatenate((A,B),axis=1)\n \n if vertabla==True:\n print('Matriz aumentada')\n print(AB)\n print('Pivoteo parcial:')\n \n # Pivoteo por filas AB\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n \n # Para cada fila en AB\n pivoteado = 0\n for i in range(0,n-1,1):\n # columna desde diagonal i en adelante\n columna = np.abs(AB[i:,i])\n dondemax = np.argmax(columna)\n \n # dondemax no es en diagonal\n if (dondemax != 0):\n # intercambia filas\n temporal = np.copy(AB[i,:])\n AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n AB[dondemax+i,:] = temporal\n\n pivoteado = pivoteado + 1\n if vertabla==True:\n print(' ',pivoteado,\n 'intercambiar filas: ',i,\n 'con', dondemax+i)\n if vertabla==True:\n if pivoteado==0:\n print(' Pivoteo por filas NO requerido')\n else:\n print(AB)\n return(AB)\n\ndef gauss_eliminaAdelante(AB, vertabla=False,lu=False,casicero = 1e-15):\n ''' Gauss elimina hacia adelante, a partir de,\n matriz aumentada y pivoteada.\n Para respuesta en forma A=L.U usar lu=True entrega[AB,L,U]\n '''\n tamano = np.shape(AB)\n n = tamano[0]\n m = tamano[1]\n L = np.identity(n,dtype=float) # Inicializa L\n if vertabla==True:\n print('Elimina hacia adelante:')\n for i in range(0,n,1):\n pivote = AB[i,i]\n adelante = i+1\n if vertabla==True:\n print(' fila',i,'pivote: ', pivote)\n for k in range(adelante,n,1):\n if (np.abs(pivote)>=casicero):\n factor = AB[k,i]\/pivote\n AB[k,:] = AB[k,:] - factor*AB[i,:]\n for j in range(0,m,1): # casicero revisa\n if abs(AB[k,j])<casicero:\n AB[k,j]=0\n\n L[k,i] = factor # llena L\n \n if vertabla==True:\n print(' factor: ',factor,' para fila: ',k)\n else:\n print(' pivote:', pivote,'en fila:',i,\n 'genera division para cero')\n respuesta = AB\n if vertabla==True:\n print(AB)\n if lu==True:\n U = AB[:,:n-1]\n respuesta = [AB,L,U]\n return(respuesta)\n\n# PROGRAMA ------------------------\n# INGRESO\nA = [[ 3. , -0.1, -0.2],\n [ 0.1, 7. , -0.3],\n [ 0.3, -0.2, 10. ]]\n\nB = [7.85,-19.3,71.4]\n\n# PROCEDIMIENTO\nnp.set_printoptions(precision=4) # 4 decimales en print\ncasicero = 1e-15 # redondear a cero\n\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\n\nAB = gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=True, lu=True)\nL = AB[1]\nU = AB[0]\n\n# SALIDA\nprint('matriz L: ')\nprint(L)\nprint('Matriz U: ')\nprint(U)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Funci\u00f3n en librer\u00eda Scipy.linalg.lu<\/h2>\n\n\n\n
>>> import scipy as sp\n>>> [L,U] =sp.linalg.lu(A,permute_l=True)\n>>> L\narray([[ 1. , 0. , 0. ],\n [ 0.03333333, 1. , 0. ],\n [ 0.1 , -0.02712994, 1. ]])\n>>> U\narray([[ 3. , -0.1 , -0.2 ],\n [ 0. , 7.00333333, -0.29333333],\n [ 0. , 0. , 10.01204188]])\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n