{"id":124,"date":"2016-11-17T22:51:13","date_gmt":"2016-11-18T03:51:13","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=124"},"modified":"2026-04-04T10:49:43","modified_gmt":"2026-04-04T15:49:43","slug":"pmf-geometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/pmf-geometrica\/","title":{"rendered":"pmf - Geom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"\n

Referencia<\/strong>: Gubner p.74, Le\u00f3n-Garc\u00eda p.102<\/p>\n\n\n\n

Variable aleatoria Geom\u00e9trica<\/h3>\n\n\n\n

Para 0 \u2264 p < 1, se define como una variable aleatoria geom\u00e9trica1<\/sub> que inicia en 1 o estandarizada como:<\/p>\n\n\n P(X=k) = (1-p)^{k-1}p <\/span>\n\n\n k= 1,2,... <\/span>\n\n\n\n

Este tipo de variable se usa cuando se pregunta cu\u00e1ntos intentos se requieren de un experimento hasta que se obtenga un resultado espec\u00edfico.<\/p>\n\n\n\n

ejemplo de una distribuci\u00f3n geom\u00e9trica1<\/sub>(p), p=0.3<\/p>\n\n\n

\n# Distribuci\u00f3n geom\u00e9trica con valor p\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport scipy.stats as stats\n\n# INGRESO\nn = 9 \np = 0.3\nmedia = 0\n\n# PROCEDIMIENTO\nk  = np.arange(media-1, n+1)\npx = stats.geom.pmf(k,p,media)\n\n# SALIDA\nprint('k: ', k)\nprint('p(k):', px)\n\n# grafica\nplt.title('Uniforme rango hasta n='+str(n))\nplt.stem(k,px)\nplt.xlabel('k')\nplt.margins(0.1)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
k:    [-1  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9]\np(k): [ 0.         0.          0.3       0.21\n        0.147      0.1029      0.07203   0.050421\n        0.0352947  0.02470629  0.0172944 ]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n
Ejemplo - Reenv\u00edo de mensaje<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Le\u00f3n-Garc\u00eda 3.9 p.102<\/p>\n\n\n\n
Sea X el n\u00famero de veces que un mensaje tienen que ser transmitido hasta que sea recibido correctamente en el receptor. Encuentre la pmf de X y la probabilidad que X sea un n\u00famero par.<\/p>\n\n\n\n
X es un variable aleatoria discreta, que toma valores de Sx<\/sub> ={1,2,3,...}. El Evento {X=k} sucede si el experimento principal encuentra las K-1 transmisiones consecutivas con error o fallas seguidas de una sin error o \u00e9xito.<\/p>\n\n\n p_x(k)= P[X=k] = P[00...01] <\/span>\n\n\n = (1-p)^{k-1}p = q^{k-1}p <\/span>\n\n\n \\text{para k=1,2,...} <\/span>\n\n\n\n
Se puede indicar que X tiene una distribuci\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n\n\n\n
En la ecuaci\u00f3n podemos ver que la suma es 1.<\/p>\n\n\n P[\\text{X es par}] = \\sum\\limits_{k=1}^{\\infty} p_x(2k) <\/span>\n\n\n = p\\sum\\limits_{k=1}^{\\infty} q^{2k-1} <\/span>\n\n\n =p\\frac{1}{1-1^2} = \\frac{1}{1+q} <\/span>\n\n\n\n
\"memoria<\/figure>\n\n\n\n
Ejemplo - Memoria RAM intermedia<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Gubner E2.12 p.74.<\/p>\n\n\n\n
Cuando una computadora lee un dato , lo hace primero en la memoria intermedia o cach\u00e9, en caso de no encontrarla, procede a la memoria RAM.<\/p>\n\n\n\n
El dato se encuentra en el cache con probabilidad p.<\/p>\n\n\n\n
Encuentre la probabilidad que la primera vez que no se encuentra el dato en la memoria intermedia o cach\u00e9 ocurre en la k-\u00e9sisma lectura.<\/p>\n\n\n\n
Suponga que la presencia del dato en el cach\u00e9 es independiente en cada lectura.<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n<\/strong>: Sea T=k si la primera vez que no esta un dato en el cache ocurre en la k-\u00e9sima lectura.<\/p>\n\n\n\n
Para i=1,2,...,<\/p>\n\n\n\n
    \n
  • sea Xi<\/sub> =1 si la en la i-\u00e9sima lectura el dato est\u00e1 en cach\u00e9<\/li>\n\n\n\n
  • Xi<\/sub>=0 en otro caso<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
    Entonces P( Xi<\/sub>=1) = p y p( Xi<\/sub>=0)=1-p.<\/p>\n\n\n\n
    La buscado es la primera lectura en que el cache no contiene el dato, es decir la k-\u00e9sima lectura, las primeras k-1 ten\u00edan el dato en cache.<\/p>\n\n\n\n
    En t\u00e9rminos de eventos:<\/p>\n\n\n \\{T=k\\} = <\/span>\n\n\n = \\{X_1=1\\}\\cap ...\\cap \\{ X_{k-1}=1\\} \\cap \\{X_k=0\\} <\/span>\n\n\n\n
    dado que Xi<\/sub> es independiente, y tomando las probabilidades en ambos lados de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n P(T=k) = <\/span>\n\n\n = P(\\{X_1=1\\}\\cap ...\\cap \\{ X_{k-1}=1\\} \\cap \\{X_k=0\\} )<\/span>\n\n\n = P(X_1=1) ...P(X_{k-1}=1).P(X_k=0) <\/span>\n\n\n = p^{k-1}(1-p)<\/span>\n\n\n\n
    Ejemplo - Memoria RAM intermedia, lectura fallida<\/h2>\n\n\n\n
    Referencia<\/strong>: Gubner E2.13 p.75<\/p>\n\n\n\n
    Continuando con el ejercicio anterior, \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad que la primera lectura fallida en cach\u00e9 sea despu\u00e9s de la tercera lectura de memoria?<\/p>\n\n\n\n
    Soluci\u00f3n<\/strong>: Se requiere encontrar:<\/p>\n\n\n P(T>3) = \\sum\\limits_{k=4}^{\\infty} P(T=k) <\/span>\n\n\n\n
    Sin embargo dado que P(T=k) =0 para k\u22640, se puede reescribir en una serie finita:<\/p>\n\n\n P(T>3) = 1-P(T \\leq 3) <\/span>\n\n\n = \\sum\\limits_{k=1}^{3} P(T=k) <\/span>\n\n\n = 1-(1-p)[1+p+p^2] <\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
    Referencia: Gubner p.74, Le\u00f3n-Garc\u00eda p.102 Variable aleatoria Geom\u00e9trica Para 0 \u2264 p < 1, se define como una variable aleatoria geom\u00e9trica1 que inicia en 1 o estandarizada como: Este tipo de variable se usa cuando se pregunta cu\u00e1ntos intentos se requieren de un experimento hasta que se obtenga un resultado espec\u00edfico. ejemplo de una distribuci\u00f3n […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-stp-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[213],"tags":[],"class_list":["post-124","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-stp-u01eva"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=124"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23249,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124\/revisions\/23249"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=124"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=124"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=124"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}