{"id":1247,"date":"2016-12-11T07:12:15","date_gmt":"2016-12-11T12:12:15","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=1247"},"modified":"2026-04-04T10:53:30","modified_gmt":"2026-04-04T15:53:30","slug":"procesos-estocasticos-suma-retraso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u02eva\/procesos-estocasticos-suma-retraso\/","title":{"rendered":"Procesos Estoc\u00e1sticos - Suma y Retraso"},"content":{"rendered":"<p><em><strong> Referencia<\/strong>: Le\u00f3n Garc\u00eda ejemplos 10.4 y 10.5 p58, Gubner Ejemplo 10.18 p396<\/em><\/p>\n<h2>Suma de dos procesos<\/h2>\n<p>Encuentre la densidad espectral de potencia de Z(t) = X(t) + Y(t), donde X(t) y Y(t) son procesos conjuntamente estacionarios en el sentido amplio WSS.<\/p>\n<p><em>Soluci\u00f3n<\/em><\/p>\n<p>Autocorelaci\u00f3n de Z(t) es<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> R_Z(\\tau) = E[Z(t + \\tau )Z(t)] = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = E[(X(t+ \\tau)+ Y(t + \\tau ))(X(t) + Y(t))] <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> R_Z(\\tau) = R_X(\\tau) + R_{XY}(\\tau) +R_{YX}(\\tau) + R_Y(\\tau) <\/span>\n<p>La densidad espectral de potencia se calcula como:<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> S_Z(f) = Fourier\\{ R_X(\\tau) + R_{XY}(\\tau) +R_{YX}(\\tau) + R_Y(\\tau) \\} <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> S_Z(f) = S_X(f) + S_{XY}(f) +S_{YX}(f) + S_Y(f) <\/span>\n<hr \/>\n<p><strong><em>Referencia<\/em><\/strong>: Le\u00f3n Garc\u00eda Ejemplo 10.5 p.582, Gubner Ejemplo 10.18 p396<\/p>\n<h3>Retraso<\/h3>\n<p>Sea Y(t) = X(t- d), donde d es una constante de retraso y donde X(t) es estacionario en el sentido amplio WSS.<br \/>\nEncuentre R<sub>YX<\/sub>(\u03c4), S<sub>YX<\/sub>(f), R<sub>Y<\/sub>(\u03c4) y S<sub>Y<\/sub>(f)<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n<\/strong><\/p>\n<p>Usando las definiciones se tiene que:<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> R_{YX}(\\tau) = E[Y(t + \\tau )X(t)] = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = E[X(t + \\tau - d)X(t)] = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> R_{YX}(\\tau) = R_X (\\tau - d) <\/span>\n<p>que usando la propiedad de desplazamiento en tiempo de la transformada de Fourier:<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> S_{YX}(f) = Fourier\\{ R_X(\\tau - d) \\} = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = S_X(f) e^{-j2 \\pi fd} = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = S_X(f) \\cos (2\\pi fd) - jS_x(f) sin (2 \\pi fd) <\/span>\n<p>Finalmente.<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> R_Y(\\tau) = E[Y(t + \\tau)Y(t)] = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = E[X(t + \\tau - d)X(t - d)] = R_X(\\tau) <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> S_Y(f) = Fourier\\{ R_Y(\\tau) \\} = Fourier\\{ R_X(\\tau) \\} = <\/span>\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> S_Y(f) = S_X(f) <\/span>\n<p>Note que la densidad espectral de potencia crusada es compleka, y que S<sub>X<\/sub>(f) = S<sub>Y<\/sub> (f) sin importar el hecho que X(t) \u2260 Y(t). Entonces S<sub>X<\/sub>(f) = S<sub>Y<\/sub>(f) lo que no implica que X(t) = Y(t)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Referencia: Le\u00f3n Garc\u00eda ejemplos 10.4 y 10.5 p58, Gubner Ejemplo 10.18 p396 Suma de dos procesos Encuentre la densidad espectral de potencia de Z(t) = X(t) + Y(t), donde X(t) y Y(t) son procesos conjuntamente estacionarios en el sentido amplio WSS. 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