{"id":13500,"date":"2025-11-19T06:55:00","date_gmt":"2025-11-19T11:55:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=13500"},"modified":"2026-04-05T19:55:13","modified_gmt":"2026-04-06T00:55:13","slug":"s1eva2025paoii_t1-trayectoria-cometa-planeta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2025paoii_t1-trayectoria-cometa-planeta\/","title":{"rendered":"s1Eva2025PAOII_T1 Trayectoria cometa y planeta"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2025PAOII_T1 Trayectoria cometa y planeta<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a <\/h2>\n\n\n\n

Plantear el ejercicio para la intersecci\u00f3n de trayectorias. <\/p>\n\n\n\n

\"3I\/Atlas<\/figure>\n\n\n\n

Trayectoria hip\u00e9rbola<\/em><\/strong> \/ cometa<\/p>\n\n\n\n \\dfrac{(x-x_h )^2}{a_h^2}-\\dfrac{(y-y_h )^2}{b_h^2}=1 <\/span>\n\n\n\n

xh<\/sub> = 2, yh<\/sub> = 1, ah<\/sub> = 1, bh<\/sub> = 1<\/p>\n\n\n\n

sustituyendo los valores conocidos,<\/p>\n\n\n\n \\dfrac{(x-2 )^2}{1^2} -\\dfrac{(y-1)^2}{1^2} =1<\/span>\n\n\n\n(x-2 )^2 - (y-1)^2 =1<\/span>\n\n\n\n

despejar la variable y,<\/p>\n\n\n\n(x-2 )^2 - 1 =(y-1)^2 <\/span>\n\n\n\n\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} =\\sqrt{(y-1)^2} <\/span>\n\n\n\n\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} =y-1<\/span>\n\n\n\n y = \\pm \\sqrt{(x-2 )^2 - 1} +1 <\/span>\n\n\n\n

Trayectoria del c\u00edrculo<\/strong> \/ planeta<\/p>\n\n\n\n (x-x_c )^2+(y-y_c )^2=1 <\/span>\n\n\n\n

xc<\/sub> = 0, yc<\/sub> = 0<\/p>\n\n\n\n

sustituye valores conocidos<\/p>\n\n\n\n (x-0 )^2+(y-0 )^2=1 <\/span>\n\n\n\n x^2+y^2=1 <\/span>\n\n\n\n y^2 = 1 - x^2 <\/span>\n\n\n\n \\sqrt{y^2} =\\sqrt{ 1 - x^2} <\/span>\n\n\n\n y =\\pm \\sqrt{ 1 - x^2} <\/span>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n tiene una parte positiva y otra negativa en ambos casos.<\/p>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Indique y verifique el intervalo [a,b] de la intersecci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Seg\u00fan la gr\u00e1fica presentada en el enunciado, para la hip\u00e9rbola se toma la parte inferior:<\/p>\n\n\n\n y = -\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} +1 <\/span>\n\n\n\n

\"3I\/Atlas<\/figure>\n\n\n\n

En el caso del c\u00edrculo si es la parte superior, el intervalo x<\/strong> estar\u00eda entre [0,1]<\/p>\n\n\n\n y =\\sqrt{ 1 - x^2} <\/span>\n\n\n\n

En el caso del c\u00edrculo si es la parte inferior, el intervalo x<\/strong> estar\u00eda entre [-1,0]<\/p>\n\n\n\n y =- \\sqrt{ 1 - x^2} <\/span>\n\n\n\n

tomando la parte superior del c\u00edrculo, se igualan y<\/strong> de cada ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n -\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} +1 = + \\sqrt{ 1 - x^2}<\/span>\n\n\n\n \\sqrt{ 1 - x^2}+\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} -1 = 0 <\/span>\n\n\n\n f(x) = \\sqrt{ 1 - x^2}+\\sqrt{(x-2 )^2 - 1} -1 <\/span>\n\n\n\n

literal c y d<\/h2>\n\n\n\n

Desarrolle con el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

itera = 0, a = 0, b=1<\/p>\n\n\n\n f(0) = \\sqrt{ 1 - 0^2}+\\sqrt{(0-2 )^2 - 1} -1 = 1.7321 <\/span>\n\n\n\n f(1) = \\sqrt{ 1 - 1^2}+\\sqrt{(1-2 )^2 - 1} -1 =-1<\/span>\n\n\n\n

hay cambio de signo, el intervalo es v\u00e1lido<\/p>\n\n\n\n c=\\frac{a+b}{2}=\\frac{0+1}{2} = 0.5 <\/span>\n\n\n\n f(0.5) = \\sqrt{ 1 - 0.5^2}+\\sqrt{(0.5-2 )^2 - 1} -1 = 0.9841 <\/span>\n\n\n\n

Hay cambio de signo del lado derecho,<\/p>\n\n\n\n

a= 0.5, b=1<\/p>\n\n\n\n

errado = |b-a| =|1-0.5| =0.5<\/p>\n\n\n\n

itera = 1<\/p>\n\n\n\n c=\\frac{0.5+1}{2}=0.75 <\/span>\n\n\n\n f(0.75) = \\sqrt{ 1 - 0.75^2}+\\sqrt{(0.75-2 )^2 - 1} -1 = 0.4114 <\/span>\n\n\n\n

Hay cambio de signo del lado derecho,<\/p>\n\n\n\n

a= 0.75, b=1<\/p>\n\n\n\n

errado = |b-a| =|1-0.75| =0.25<\/p>\n\n\n\n

itera = 2<\/p>\n\n\n\n c=\\frac{0.75+1}{2}=0.875 <\/span>\n\n\n\n f(0.875) = \\sqrt{ 1 - 0.875^2}+\\sqrt{(0.875-2 )^2 - 1} -1 = -0.0004888 <\/span>\n\n\n\n

Hay cambio de signo del lado izquierdo,<\/p>\n\n\n\n

a= 0.75, b=0.875<\/p>\n\n\n\n

errado = |b-a| =|0.875-0.75| =0.125<\/p>\n\n\n\n

literal e<\/h2>\n\n\n\n

El error disminuye en cada iteraci\u00f3n, por lo que se estima que el m\u00e9todo converge. Se comprueba con los resultados del algoritmo.<\/p>\n\n\n\n

literal f<\/h2>\n\n\n\n
m\u00e9todo de Bisecci\u00f3n\ni ['a', 'c', 'b'] ['f(a)', 'f(c)', 'f(b)']\n   tramo\n0 [0.  0.5 1. ] [ 1.7321  0.9841 -1.    ]\n   0.5\n1 [0.5  0.75 1.  ] [ 0.9841  0.4114 -1.    ]\n   0.25\n2 [0.75  0.875 1.   ] [ 4.1144e-01 -4.8888e-04 -1.0000e+00]\n   0.125\n3 [0.75   0.8125 0.875 ] [ 0.4114  0.2234 -0.0005]\n   0.0625\n4 [0.8125 0.8438 0.875 ] [ 0.2234  0.1172 -0.0005]\n   0.03125\n5 [0.8438 0.8594 0.875 ] [ 0.1172  0.06   -0.0005]\n   0.015625\n6 [0.8594 0.8672 0.875 ] [ 0.06    0.0302 -0.0005]\n   0.0078125\n7 [0.8672 0.8711 0.875 ] [ 0.0302  0.015  -0.0005]\n   0.00390625\n8 [0.8711 0.873  0.875 ] [ 0.015   0.0073 -0.0005]\n   0.001953125\n9 [0.873 0.874 0.875] [ 0.0073  0.0034 -0.0005]\n   0.0009765625\nra\u00edz en:  0.8740234375<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"3I_Atlas<\/figure>\n\n\n\n
instrucciones en Python<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva2025PAOII_T1 Trayectoria cometa y planeta\n# Algoritmo de Bisecci\u00f3n\n# [a,b] se escogen de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n\n# error = tolera\nimport numpy as np\n \ndef biseccion(fx,a,b,tolera,iteramax = 50, vertabla=False, precision=4):\n    '''\n    Algoritmo de Bisecci\u00f3n\n    Los valores de [a,b] son seleccionados\n    desde la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n\n    error = tolera\n    '''\n    fa = fx(a)\n    fb = fx(b)\n    tramo = np.abs(b-a)\n    itera = 0\n    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fb)\n    if cambia<0: # existe cambio de signo f(a) vs f(b)\n        if vertabla==True:\n            print('m\u00e9todo de Bisecci\u00f3n')\n            print('i', ['a','c','b'],[ 'f(a)', 'f(c)','f(b)'])\n            print('  ','tramo')\n            np.set_printoptions(precision)\n \n        while (tramo>=tolera and itera<=iteramax):\n            c = (a+b)\/2\n            fc = fx(c)\n            cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)\n            if vertabla==True:\n                print(itera,np.array([a,c,b]),\n                      np.array([fa,fc,fb]))\n            if (cambia<0):\n                b = c\n                fb = fc\n            else:\n                a = c\n                fa = fc\n            tramo = np.abs(b-a)\n            if vertabla==True:\n                print('  ',tramo)\n            itera = itera + 1\n        respuesta = c\n        # Valida respuesta\n        if (itera>=iteramax):\n            respuesta = np.nan\n \n    else: \n        print(' No existe cambio de signo entre f(a) y f(b)')\n        print(' f(a) =',fa,',  f(b) =',fb) \n        respuesta=np.nan\n    return(respuesta)\n \n# PROGRAMA ----------------------\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(1-x**2)+np.sqrt((x-2)**2-1)- 1\na = 0\nb = 1\ntolera = 0.001\n \n# PROCEDIMIENTO\nrespuesta = biseccion(fx,a,b,tolera,vertabla=True)\n# SALIDA\nprint('ra\u00edz en: ', respuesta)\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\nmuestras = 21\n \nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\nplt.plot(xi,fi, label='f(x)')\nplt.axhline(0)\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.title('Biseccion')\nplt.grid()\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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