{"id":13507,"date":"2025-11-19T07:55:00","date_gmt":"2025-11-19T12:55:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/?p=13507"},"modified":"2026-04-05T19:53:54","modified_gmt":"2026-04-06T00:53:54","slug":"s1eva2025paoii_t2-publicidad-provincia-medio-comunicacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2025paoii_t2-publicidad-provincia-medio-comunicacion\/","title":{"rendered":"s1Eva2025PAOII_T2 publicidad por provincia y medio de comunicaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2025PAOII_T2 publicidad por provincia y medio de comunicaci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Planteamiento del sistema de ecuaciones<\/p>\n\n\n\n \\begin{cases} 0.35x + 0.45y+ 0.2z+0.15w =540 \\\\ 1.2x+0.41y+0.35z+0.19w = 1250 \\\\ 0.1x+0.3y+0.7z+0.12w=1200 \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

siendo la variable libre con valor por ejemplo cinco, w =5<\/p>\n\n\n\n \\begin{cases} 0.35x + 0.45y+ 0.2z =540-0.15(5) \\\\ 1.2x+0.41y+0.35z = 1250 -0.19(5)\\\\ 0.1x+0.3y+0.7z=1200 - 0.12(5)\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

la forma matricial del sistema es:<\/p>\n\n\n\n \\begin{pmatrix} -0.35 & 0.45 & 0.2 \\\\ 1.2 & 0.41 & 0.35 \\\\ 0.1 & 0.3 & 0.7 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ y \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 540-0.15(5) \\\\ 1250-0.19(5) \\\\ 1200-0.12(5) \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 0.35 & 0.45 & 0.2 & 540-0.15(5) \\\\ 1.2 & 0.41 & 0.35 & 1250-0.19(5) \\\\ 0.1 & 0.3 & 0.7 & 1200-0.12(5) \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n

Para el pivoteo parcial por filas, se usa la columna 0, el mayor valor est\u00e1 en la fila 1, por lo que se intercambia la fila 0 y 1.<\/p>\n\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} 1.2 & 0.41 & 0.35 & 1250-0.19(5) \\\\ 0.35 & 0.45 & 0.2 & 540-0.15(5) \\\\ 0.1 & 0.3 & 0.7 & 1200-0.12(5) \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n

Luego al observar la columna 1 desde la diagonal hacia abajo, se encuentra que el valor del pivote ya es el mayor, por lo que no ser requieren cambios de fila<\/p>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Las expresiones para el m\u00e9todo de Gauss-Seidel son:<\/p>\n\n\n\n 1.2x+0.41y+0.35z = 1250-0.19(5)<\/span>\n\n\n\n 0.35x+0.45y+0.2z = 540-0.15(5)<\/span>\n\n\n\n 0.1x+0.3y+0.7z = 1200-0.12(5)<\/span>\n\n\n\n

despejando la variable de la diagonal:<\/p>\n\n\n\n x = \\dfrac{1250-0.19(5)-0.41y-0.35z}{1.2}<\/span>\n\n\n\n y = \\dfrac{540-0.15(5)-0.35x-0.2z}{0.45}<\/span>\n\n\n\n z = \\dfrac{1200-0.12(5)-0.1x-0.3y}{0.7}<\/span>\n\n\n\n

el vector inicial se puede estimar considerando por ejemplo todas las variables independiente en cero<\/p>\n\n\n\n

X0<\/sub> =[ (1250-0.19(5))\/1.2, (540-0.15(5))\/0.45, (1200-0.12(5))\/0.7]<\/p>\n\n\n\n

X0<\/sub> = [1040.87, 1198.33, 1713.42]<\/p>\n\n\n\n

con lo que si las otra variables no son cero, se podr\u00eda empezar con un n\u00famero aproximadamente la mitad de lo calculado<\/p>\n\n\n\n

X0<\/sub> = [500, 550, 850]<\/p>\n\n\n\n

la tolerancia ser\u00e1 de 0.1, dado que el n\u00famero de espacios publicitarios son de tipo entero<\/p>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n = 0 , X0 =X0<\/sub> = [500, 550, 850]<\/p>\n\n\n\n x_1= \\dfrac{1250-0.19(5)-0.41(550)-0.35(850)}{1.2} =619.62<\/span>\n\n\n\n y_1 = \\dfrac{540-0.15(5)-0.35(619.62)-0.2(850)}{0.45} =356.95<\/span>\n\n\n\n z_1 = \\dfrac{1200-0.12(5)-0.1(619.62)-0.3(356.95)}{0.7}=1471.92<\/span>\n\n\n\n

X1<\/sub>=[619.62, 356.95, 1471.92]<\/p>\n\n\n\n

errado = max | [X1<\/sub>-X0<\/sub>] |<\/p>\n\n\n\n

=max |[619.62, 356.95, 1471.92]-[500, 550, 850] | <\/p>\n\n\n\n

= max | [119.62, 193.04, 671.92] | = 671.92<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

iteraci\u00f3n = 1 , X1<\/sub>=[619.62, 356.95, 1471.92]<\/p>\n\n\n\n x_2 = \\dfrac{1250-0.19(5)-0.41(356.95)-0.35(1471.92)}{1.2} = 489.60 <\/span>\n\n\n\n y_2 = \\dfrac{540-0.15(5)-0.35(489.60)-0.2(1471.92)}{0.45}= 159.45<\/span>\n\n\n\n z _2= \\dfrac{1200-0.12(5)-0.1(489.60)-0.3(159.45)}{0.7} = 1575.14 <\/span>\n\n\n\n

X2<\/sub> = [ 489.60, 159.45, 1575.14 ]<\/p>\n\n\n\n

errado=max | [489.60, 159.45, 1575.14 ]-[619.62, 356.95, 1471.92] |<\/p>\n\n\n\n

= max | [130.02, 197.50, 103.22] | = 197.50<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

iteraci\u00f3n = 2 , X2<\/sub> = [ 489.60, 159.45, 1575.14 ]<\/p>\n\n\n\n x_3 = \\dfrac{1250-0.19(5)-0.41(159.45)-0.35(1575.14)}{1.2} = 526.97<\/span>\n\n\n\n y_3 = \\dfrac{540-0.15(5)-0.35(526.97)-0.2(1575.14)}{0.45}= 84.50 <\/span>\n\n\n\n z_3 = \\dfrac{1200-0.12(5)-0.1(526.97)-0.3(84.50)}{0.7} =1601.92<\/span>\n\n\n\n

X2<\/sub> = [ 526.97, 84.50, 1601.92 ]<\/p>\n\n\n\n

errado = max | [526.97, 84.50, 1601.92 ] -[489.60, 159.45, 1575.14 ]|<\/p>\n\n\n\n

= max |[37.37, 74.94, 26.78]| = 74.94<\/p>\n\n\n\n

literal d<\/h2>\n\n\n\n

El error disminuye en cada iteraci\u00f3n , por lo que se estima que el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n

Usando el algoritmo, el resultado luego de 10 iteraciones es:<\/p>\n\n\n\n

Matriz aumentada
[[3.50000e-01 4.50000e-01 2.00000e-01 5.37500e+02]
[1.20000e+00 4.10000e-01 3.50000e-01 1.24905e+03]
[1.00000e-01 3.00000e-01 7.00000e-01 1.19940e+03]]
Pivoteo parcial:
1 intercambiar filas: 0 y 1
AB
[[1.20000e+00 4.10000e-01 3.50000e-01 1.24905e+03]
[3.50000e-01 4.50000e-01 2.00000e-01 5.37500e+02]
[1.00000e-01 3.00000e-01 7.00000e-01 1.19940e+03]]
Iteraciones Gauss-Seidel
itera,[X]
errado,[diferencia]
0 [500. 550. 800.]
nan
1 [ 619.625 356.9583 1471.9286]
671.9285714285713 [119.625 193.0417 671.9286]
2 [ 489.6017 159.4526 1575.1486]
197.50571538800702 [130.0233 197.5057 103.2201]
3 [ 526.977 84.5074 1601.9287]
74.94523526150007 [37.3753 74.9452 26.7801]
4 [ 544.7724 58.7642 1610.4193]
25.74314554013919 [17.7954 25.7431 8.4906]
5 [ 551.0916 50.0757 1613.2402]
8.688487997115615 [6.3192 8.6885 2.8209]
6 [ 553.2374 47.1531 1614.1862]
2.9226923643758127 [2.1458 2.9227 0.946 ]
7 [ 553.9601 46.1705 1614.5041]
0.9825295158950382 [0.7227 0.9825 0.3178]
8 [ 554.2031 45.8403 1614.6109]
0.33025930633446166 [0.243 0.3303 0.1068]
9 [ 554.2847 45.7293 1614.6468]
0.1110080156455382 [0.0817 0.111 0.0359]
10 [ 554.3122 45.6919 1614.6589]
0.03731226893541617 [0.0275 0.0373 0.0121]
Metodo de Jacobi
numero de condici\u00f3n: 6.0782105438630545
X: [ 554.3122 45.6919 1614.6589]
errado: 0.03731226893541617
iteraciones: 10<\/code><\/pre>\n\n\n\n
literal e<\/h2>\n\n\n\n
el n\u00famero de condici\u00f3n es 6.07 que es relativamente bajo, \"cercano a 1\" por lo que el sistema no tiene grandes variaciones en el resultado antes peque\u00f1os cambios en los valores de entrada.<\/p>\n\n\n\n
literal f<\/h2>\n\n\n\n
EL resultado del algoritmo se ha mostrado en el literal e<\/p>\n\n\n\n
Las instrucciones en Python usadas son:<\/p>\n\n\n
\nimport numpy as np\n\ndef gauss_seidel(A,B,X0,tolera, iteramax=100, vertabla=False, precision=4):\n    ''' M\u00e9todo de Gauss Seidel, tolerancia, vector inicial X0\n        para mostrar iteraciones: vertabla=True\n    '''\n    # Matrices como arreglo, numeros reales\n    A = np.array(A, dtype=float)\n    B = np.array(B, dtype=float)\n    X0 = np.array(X0, dtype=float)\n    tamano = np.shape(A)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n \n    # valores iniciales\n    diferencia = 2*tolera*np.ones(n, dtype=float)\n    errado = 2*tolera # np.max(diferencia)\n \n    tabla = [np.copy(X0)] # tabla de iteraciones\n    tabla = np.concatenate((tabla,[[np.nan]]),\n                            axis=1) # a\u00f1ade errado\n \n    if vertabla==True:\n        print('Iteraciones Gauss-Seidel')\n        print('itera,[X]')\n        print('   errado,[diferencia]')\n        print(0,X0)\n        print(' ',np.nan)\n        np.set_printoptions(precision)\n \n    itera = 0 # Gauss-Sediel\n    X = np.copy(X0)\n    while (errado>tolera and itera<iteramax):\n \n        for i in range(0,n,1): # una ecuacion\n            suma = B[i]\n            for j in range(0,m,1):\n                if (i!=j):\n                    suma = suma-A[i,j]*X[j]\n            nuevo = suma\/A[i,i]\n            diferencia[i] = np.abs(nuevo-X[i])\n            X[i] = nuevo\n        errado = np.max(diferencia)\n \n        Xfila= np.concatenate((X,[errado]),axis=0)\n        tabla = np.concatenate((tabla,[Xfila]),axis = 0)\n        itera = itera + 1\n        if vertabla==True:\n            print(itera, X)\n            print(' ', errado,diferencia)\n \n    # No converge\n    if (itera>iteramax):\n        X = np.nan\n        print('No converge,iteramax superado')\n    return(X,tabla)\n \ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n    '''\n    Pivotea parcial por filas, entrega matriz aumentada AB\n    Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n    Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n    '''\n    A = np.array(A,dtype=float)\n    B = np.array(B,dtype=float)\n    # Matriz aumentada\n    nB = len(np.shape(B))\n    if nB == 1:\n        B = np.transpose([B])\n    AB  = np.concatenate((A,B),axis=1)\n     \n    if vertabla==True:\n        print('Matriz aumentada')\n        print(AB)\n        print('Pivoteo parcial:')\n     \n    # Pivoteo por filas AB\n    tamano = np.shape(AB)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n     \n    # Para cada fila en AB\n    pivoteado = 0\n    for i in range(0,n-1,1):\n        # columna desde diagonal i en adelante\n        columna = np.abs(AB[i:,i])\n        dondemax = np.argmax(columna)\n         \n        # dondemax no es en diagonal\n        if (dondemax != 0):\n            # intercambia filas\n            temporal = np.copy(AB[i,:])\n            AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n            AB[dondemax+i,:] = temporal\n \n            pivoteado = pivoteado + 1\n            if vertabla==True:\n                print(' ',pivoteado, 'intercambiar filas: ',i,'y', dondemax+i)\n    if vertabla==True:\n        if pivoteado==0:\n            print('  Pivoteo por filas NO requerido')\n        else:\n            print('AB')\n            print(AB)\n    return(AB)\n \n# PROGRAMA B\u00fasqueda de solucion  --------\n# INGRESO\n\nA = [[0.35,0.45,0.2],\n     [1.2,0.41,0.35],\n     [0.1,0.3,0.7]]\n\nB = [540-0.5*5,1250-0.19*5,1200-0.12*5]\n \nX0 = [500,550,800]\ntolera = 0.1\niteramax = 100\nverdecimal = 4\n \n# PROCEDIMIENTO\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\nn,m = np.shape(AB)\nA = AB[:,:n] # separa en A y B\nB = AB[:,n]\n \n[X, tabla] = gauss_seidel(A,B,X0,tolera,\n                          iteramax=100,\n                          vertabla=True,\n                          precision=verdecimal)\nn_itera = len(tabla)-1\nerrado = tabla[-1,-1]\n \n# numero de condicion\nncond = np.linalg.cond(A)\n \n# SALIDA\nprint('Metodo de Jacobi')\nprint('numero de condici\u00f3n:', ncond)\nprint('X: ',X)\nprint('errado:',errado)\nprint('iteraciones:', n_itera)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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