{"id":1367,"date":"2017-05-09T10:00:23","date_gmt":"2017-05-09T15:00:23","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1367"},"modified":"2026-04-05T23:27:18","modified_gmt":"2026-04-06T04:27:18","slug":"laplace-respuestays-entrada-estado-cero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u04\/laplace-respuestays-entrada-estado-cero\/","title":{"rendered":"4.4 Respuesta entrada cero ZIR y estado cero ZSR con Sympy-Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n

ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n

total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Lathi Ejemplo 4.12 p361<\/p>\n\n\n\n

Resuelva la ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden usando respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.<\/p>\n\n\n (D^2 + 5D + 6) y(t) = (D+1) x(t) <\/span>\n\n\n\n

para las condiciones iniciales y(0-)=2 y y'(0-)=1, ante la entrada<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-4t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

El ejercicio muestra nuevamente el concepto sobre la respuesta total del sistema tiene dos componentes:<\/p>\n\n\n\n

Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n

ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n

total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. ZIR Respuesta a entrada cero y condiciones iniciales<\/h2>\n\n\n\n

Si el sistema bajo observaci\u00f3n se no tiene se\u00f1al de entrada X(s) = 0, la parte de estado cero no aporta componente de salida.<\/p>\n\n\n\n

Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/s><\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Sin embargo, si existen valores iniciales en los componentes del sistema (circuito con capacitores), se producir\u00e1 una respuesta a entrada cero<\/strong><\/em> que b\u00e1sicamente responde a las condiciones iniciales al sistema.<\/p>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Lathi Ejemplo 4.12 p361<\/p>\n\n\n\n

Un sistema LTI tiene la ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden expresada con operadores D:<\/p>\n\n\n (D^2 + 5D + 6) y(t) = (D+1) x(t) <\/span>\n\n\n\n

El sistema tiene las condiciones iniciales y(0-)=2 y y'(0-)=1.<\/p>\n\n\n\n

2.1 Desarrollo Anal\u00edtico para Respuesta a entrada cero y condiciones iniciales<\/h3>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n se escribe usando la transformada de Laplace:<\/p>\n\n\n (s^2 + 5s + 6) Y(s) = (s+1) X(s) <\/span>\n\n\n\n

El diagrama b\u00e1sico de la expresi\u00f3n LTI, sin simplificar, se muestra en la figura. La secci\u00f3n de color naranja representa Q(s)  y la secci\u00f3n en verde representa P(s)<\/p>\n\n\n\n

\"LTIC<\/figure>\n\n\n\n

Para el an\u00e1lisis de entrada cero X(s)=0, la ecuaci\u00f3n se simplifica a<\/p>\n\n\n (s^2 + 5s + 6) Y(s) = 0 <\/span>\n\n\n\n

Las condiciones iniciales se aplican usando la tabla de propiedades de Laplace<\/a>, donde se muestra que los valores iniciales se a\u00f1aden a los componentes de primera y segunda derivada:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) \\Longleftrightarrow sY(s) - y(0^{-}) = sY(s) -2<\/span>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2} y(t) \\Longleftrightarrow s^2 Y(s) - sy(0^{-}) - y'(0^{-}) = s^2 Y(s) -2s - 1<\/span>\n\n\n\n

Se recuerda que para la entrada x(t) = 0, no se crean t\u00e9rminos en el lado derecho de la expresi\u00f3n<\/p>\n\n\n [s^2 Y(s) -2s - 1] + 5[sY(s) -2] + 6Y(s) = 0 <\/span>\n\n\n\n

Agrupando los t\u00e9rminos Y(s), se tienen los componentes que no dependen de Y(s) que son los resultantes de las condiciones iniciales.<\/p>\n\n\n [s^2 + 5s + 6]Y(s) - (2s+11) = 0 <\/span>\n\n\n [s^2 + 5s + 6]Y(s) = (2s+11) <\/span>\n\n\n Y(s)= \\frac{2s+11}{s^2 + 5s + 6} <\/span>\n\n\n\n

El resultado Y(s) corresponde al t\u00e9rmino de entrada cero con condiciones iniciales aplicadas<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Aplicando un algoritmo en Python para a\u00f1adir los componentes de condiciones iniciales, el resultado es:<\/p>\n\n\n\n

Respuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales\n\n term_cero :\n2*s + 11\n\n ZIR :\n    5       7  \n- ----- + -----\n  s + 3   s + 2\n\n yt_ZIR :\n\/   -2*t      -3*t\\             \n\\7*e     - 5*e    \/*Heaviside(t)\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2.2 Algoritmo ZIR con Sympy-Python<\/h2>\n\n\n\n
Se inicia con los resultados de algoritmos anteriores, donde se ingresan las expresiones de Q(s) y P(s) correspondientes a H(s). Las condiciones iniciales  se ingresan en un arreglo en orden de derivada descendente, por ejemplo para  el ejercicio <\/p>\n\n\n\n
[y'(0), y(0)]=[1., 2.]<\/p>\n\n\n\n
Par generar las expresiones de condici\u00f3n inicial, se genera el t\u00e9rmino de condici\u00f3n cero o term_cero<\/em><\/strong>, compuesto de los t\u00e9rminos de orden tomados del vector inicial<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n
\n# Y_ZIR(s) Respuesta entrada cero con Transformada de Laplace\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# Ejemplo Lathi 4.12 p361\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad4\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\n\n# H(s) respuesta impulso\nPs = s + 1\nQs = s**2 + 5*s + 6\nHs = Ps\/Qs\n#Hs = 6*sym.exp(-2*s)\/s**2\n\n# X(s) Se\u00f1al de entrada\nXs = 0*s\n\n# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente\nt0 = 0\ncond_inicio = [1, 2]\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio):\n    '''respuesta a entrada cero ZIR con H(s) y condiciones de inicio\n       Si ZIR es sym.nan existen insuficientes condiciones\n    '''\n    polosceros = ss.busca_polosceros(Hs)\n    Q_polos = polosceros['Q_polos']\n    \n    # coeficientes y grado de Q\n    Q = 1+0*s\n    for raiz in Q_polos:\n        veces = Q_polos[raiz]\n        Q = Q*((s-raiz)**veces)\n    Q = sym.poly(Q,s)\n    \n    Q_coef  = Q.all_coeffs() # coeficientes Q\n    Q_grado = Q.degree()  # grado polinomio Q\n    \n    term_cero = 0*s \n    if len(cond_inicio) == Q_grado:\n        for j in range(0,Q_grado,1):\n            term_orden = 0\n            for i in range(j,Q_grado,1):\n                term_orden = term_orden + cond_inicio[i]*(s**(i-j))\n            term_cero = term_cero + term_orden*Q_coef[j]\n        ZIR = term_cero\/Q\n        ZIR = ss.apart_s(ZIR)\n        ZIR_Qs2 = ss.Q_cuad_s_parametros(ZIR)\n    else:\n        ZIR = sym.nan # insuficientes condiciones iniciales\n\n    if not(ZIR==sym.nan):\n        # entrada_cero en t\n        yt_ZIR = sym.inverse_laplace_transform(ZIR,s,t)\n        # simplifica log(exp()) ej: e**(-2t)\/(s**2)\n        if yt_ZIR.has(sym.log):\n            yt_ZIR = sym.simplify(yt_ZIR,inverse=True)\n        lista_escalon = yt_ZIR.atoms(sym.Heaviside)\n        yt_ZIR = sym.expand(yt_ZIR,t) # terminos suma\n        yt_ZIR = sym.collect(yt_ZIR,lista_escalon)\n        \n        sol_ZIR ={'term_cero' : term_cero}\n        if len(ZIR_Qs2)>0: # a\u00f1ade si Q es cuadratico\n            sol_ZIR['ZIR_Qs2'] = ZIR_Qs2\n        sol_ZIR = sol_ZIR | {'ZIR'   : ZIR,\n                             'yt_ZIR': yt_ZIR}\n    else:\n        sol_ZIR = sym.nan\n    \n    return(sol_ZIR)\n\n# respuesta a entrada_cero ZIR en s\nsol_ZIR = respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)\n\n# SALIDA - polinomio\nprint('\\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')\nif not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado\n    for k in sol_ZIR:\n        print('\\n',k,':')\n        sym.pprint(sol_ZIR[k])\nelse:\n    print(' insuficientes condiciones iniciales')\n    print(' para el grado de Q,')\n    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')\n<\/pre><\/div>\n\n\n
El siguiente caso ser\u00eda realizar el mismo sistema LTI CT, con respuesta Y(s) ante una entrada X(s), conocido tambi\u00e9n como estado cero<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Para mantenerlo simple, se considerar\u00eda condiciones iniciales en cero.<\/p>\n\n\n\n
Finalmente se sumar\u00edan la entrada cero<\/strong> y estado cero<\/strong> para obtener la respuesta total.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Respuesta a estado cero con x(t) de Sistema con ecuaci\u00f3n diferencial de 2do orden<\/h2>\n\n\n\n
El ejercicio continua  el desarrollo del concepto sobre la respuesta total del sistema tiene dos componentes:<\/p>\n\n\n\n
Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/s><\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/mark><\/td><\/tr>
<\/td><\/td><\/td><\/td>ZSR = h(t)<\/span><\/strong> \u2297 x(t)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Lathi Ejemplo 4.12 p361<\/p>\n\n\n\n
Un sistema LTI tiene la ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden expresada con operadores D:<\/p>\n\n\n (D^2 + 5D + 6) y(t) = (D+1) x(t) <\/span>\n\n\n\n
(viene de la secci\u00f3n anterior...) si se somete a la entrada,<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-4t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
3.1. Desarrollo Anal\u00edtico para estado cero<\/h3>\n\n\n\n
Ahora, todos los componentes tienen condici\u00f3n inicial cero y una se\u00f1al de entrada x(t). El diagrama de bloques del sistema se obtuvo en la secci\u00f3n anterior de \"entrada cero\":<\/p>\n\n\n\n
\"LTIC<\/figure>\n\n\n\n
En este caso se considera que ning\u00fan componente del sistema tiene valor inicial [0., 0.], interpretado por ejemplo como que todos los capacitores est\u00e1n descargados, la salida corresponde solo a la parte conformada por x(t) y la respuesta al impulso h(t).<\/p>\n\n\n\n
para la entrada x(t),<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-4t} \\mu(t) \\Longleftrightarrow X(s) = \\frac{1}{s+4}<\/span>\n\n\n\n
Usando transformadas de Laplace, la ecuaci\u00f3n del sistema se convierte en:<\/p>\n\n\n [s^2 Y(s)] + 5[sY(s)] + 6Y(s) = (s+1)X(s) <\/span>\n\n\n\n
que al aplicar la parte de X(s),<\/p>\n\n\n [s^2 Y(s)] + 5[sY(s)] + 6Y(s) = (s+1)\\frac{1}{s+4} <\/span>\n\n\n (s^2 + 5s + 6) Y(s) = \\frac{s+1}{s+4} <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{s+1}{(s+4)(s^2 + 5s + 6)} <\/span>\n\n\n\n
que es equivalente a y(t) = h(t)\u2297x(t) como convoluci\u00f3n en dominio de tiempo o Y(s)=H(s)X(s) en el dominio de s<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Para simplificar la respuesta de la inversa de transformada de Laplace, se separa en fracciones parciales. Al usar el algoritmo en Python se obtiene:<\/p>\n\n\n Y(s) = -\\frac{1}{2}\\frac{1}{s+2} +2\\frac{1}{s+3} - \\frac{3}{2} \\frac{1}{s+4} <\/span>\n\n\n\n
Tomando la referencia de la tabla de transformadas de Laplace<\/a>, fila 5, se tiene:<\/p>\n\n\n y(t) = -\\frac{1}{2} e^{-2t} \\mu(t) + 2 e^{-3t} \\mu(t) -\\frac{3}{2} e^{-4t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3.2. Algoritmo ZSR en Sympy-Python<\/h2>\n\n\n\n
Para este caso se a\u00f1ade la transformada de Laplace X(s) de x(t). La expresi\u00f3n \u03bc(t) se representa como Heaviside en Sympy.<\/p>\n\n\n\n
Las instrucciones son semejantes a las usadas en algoritmos anteriores, tal como Hs = Ps\/Qs<\/code>, considerando que respuesta a estado cero es ZSR = Hs*Xs<\/code><\/p>\n\n\n\n
Se refleja el resultado obtenido en el desarrollo anal\u00edtico,<\/p>\n\n\n\n
 ZSR respuesta estado cero:\n\n ZSR :\n      3         2         1    \n- --------- + ----- - ---------\n  2*(s + 4)   s + 3   2*(s + 2)\n\n yt_ZSR :\n\/   -2*t                -4*t\\             \n|  e          -3*t   3*e    |             \n|- ----- + 2*e     - -------|*Heaviside(t)\n\\    2                  2   \/             \n>>> \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
las instrucciones usadas son:<\/p>\n\n\n
\n# Y_ZSR(s) Respuesta estado cero con Transformada Laplace\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# Ejemplo Lathi 4.12 p361\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad4\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\n\n# H(s) respuesta impulso\nPs = s + 1\nQs = s**2 + 5*s + 6\nHs = Ps\/Qs\n\n# X(s) Se\u00f1al de entrada\nXs = 1\/(s+4)\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef respuesta_ZSR_s(Hs,Xs):\n    '''respuesta a estado cero ZSR con H(s) y X(s)\n    '''\n    ZSR = Hs*Xs\n    ZSR = ss.apart_s(ZSR)\n    ZSR_Qs2 = ss.Q_cuad_s_parametros(ZSR)\n\n    # ZSR respuesta estado cero(t)\n    yt_ZSR = sym.inverse_laplace_transform(ZSR,s,t)\n\n    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2t)\/(s**2)\n    if yt_ZSR.has(sym.log):\n        yt_ZSR = sym.simplify(yt_ZSR,inverse=True)\n    lista_escalon = yt_ZSR.atoms(sym.Heaviside)\n    yt_ZSR = sym.expand(yt_ZSR,t) # terminos suma\n    yt_ZSR = sym.collect(yt_ZSR,lista_escalon)\n\n    sol_ZSR = {'ZSR' : ZSR}\n    if len(ZSR_Qs2)>0:\n        sol_ZSR['ZSR_Qs2'] = ZSR_Qs2\n    sol_ZSR = sol_ZSR | {'yt_ZSR' : yt_ZSR}\n    return(sol_ZSR)\n\nsol_ZSR = respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)\n\n# SALIDA - polinomio\nprint('\\n ZSR respuesta estado cero:')\nfor k in sol_ZSR:\n    print('\\n',k,':')\n    sym.pprint(sol_ZSR[k])\n\n<\/pre><\/div>\n\n\n
El siguiente bloque consiste en hacer el ejercicio completo del sistema LTIC, considerando condiciones iniciales y una entrada x(t), que da la respuesta total del sistema<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Y(s) respuesta total con condiciones iniciales y entrada x(t)<\/h2>\n\n\n\n
Finalmente se obtiene el resultado sumando los dos componentes desarrollados en  los numerales anteriores<\/p>\n\n\n\n
Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/mark><\/td><\/tr>
<\/td><\/td><\/td><\/td>ZSR = h(t)<\/span><\/strong> \u2297 x(t)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
4.1 Desarrollo Anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n
Se incluye para mostrar que la respuesta total Y(s) = entrada_cero+estado_cero<\/p>\n\n\n\n
Para resolver con transformadas de Laplace, la ecuaci\u00f3n se expresa como :<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta ^2}{\\delta t^2} y(t) + 5 \\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) + 6 y(t) = \\frac{\\delta}{\\delta t}x(t) +x(t) <\/span>\n\n\n\n
haciendo y(t) \u21d4Y(s) y usando la tabla de propiedades<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) \\Longleftrightarrow sY(s) - y(0^{-}) = sY(s) -2<\/span>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2} y(t) \\Longleftrightarrow s^2 Y(s) - sy(0^{-}) - y'(0^{-}) = s^2 Y(s) -2s - 1<\/span>\n\n\n\n
para la entrada x(t),<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-4t} \\mu(t) \\Longleftrightarrow X(s) = \\frac{1}{s+4}<\/span>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t}x(t) \\Longleftrightarrow sX(s) - x(0^{-}) = s\\frac{1}{s+4} -0 = \\frac{s}{s+4} <\/span>\n\n\n\n
con lo que la ecuaci\u00f3n diferencial en transformada de Laplace se escribe,<\/p>\n\n\n [s^2 Y(s) -2s - 1] + 5[sY(s) -2] + 6Y(s) = \\frac{s}{s+4}+\\frac{1}{s+4} <\/span>\n\n\n\n
Agrupando los t\u00e9rminos Y(s) y los t\u00e9rminos de la derecha,<\/p>\n\n\n [s^2 + 5s + 6]Y(s) - (2s+11) = \\frac{s+1}{s+4} <\/span>\n\n\n [s^2 + 5s + 6]Y(s) = (2s+11) + \\frac{s+1}{s+4} <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{2s+11}{s^2 + 5s + 6} + \\frac{s+1}{(s+4)(s^2 + 5s + 6)} <\/span>\n\n\n\n
despejando Y(s) se puede observar que la expresi\u00f3n es la suma de,<\/p>\n\n\n Y(s) = \\text{entrada cero} + \\text{estado cero} <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{(s+4)(2s+11)+s+1}{(s+4)(s^2 + 5s + 6)} <\/span>\n\n\n Y(s)= \\frac{2s^2+20s+45}{(s^2 + 5s + 6)(s+4)} <\/span>\n\n\n Y(s)= \\frac{2s^2+20s+45}{(s+2)(s+3)(s+4)} <\/span>\n\n\n\n
expandiendo en fracciones parciales:<\/p>\n\n\n Y(s)= \\Big(\\frac{13}{2}\\Big)\\frac{1}{s+2} - 3\\frac{1}{s+3} - \\Big(\\frac{3}{2}\\Big)\\frac{1}{s+4}<\/span>\n\n\n\n
Finalmente, usando la transformada inversa de Laplace obtener la expresi\u00f3n en el dominio de t,<\/p>\n\n\n Y(t)= \\Big[ \\frac{13}{2}e^{-2t} - 3 e^{-3t} - \\frac{3}{2}e^{-4t} \\Big] \\mu(t)<\/span>\n\n\n\n
El ejercicio muestra la facilidad de resolver el sistema usando transformadas de Laplace.<\/p>\n\n\n\n
Respuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales\n\n term_cero :\n2*s + 11\n\n ZIR :\n    5       7  \n- ----- + -----\n  s + 3   s + 2\n\n yt_ZIR :\n\/   -2*t      -3*t\\             \n\\7*e     - 5*e    \/*Heaviside(t)\n\n ZSR respuesta estado cero:\n\n ZSR :\n      3         2         1    \n- --------- + ----- - ---------\n  2*(s + 4)   s + 3   2*(s + 2)\n\n yt_ZSR :\n\/   -2*t                -4*t\\             \n|  e          -3*t   3*e    |             \n|- ----- + 2*e     - -------|*Heaviside(t)\n\\    2                  2   \/             \n\n Y0(s) total = ZIR + ZSR:\n      3         3         13   \n- --------- - ----- + ---------\n  2*(s + 4)   s + 3   2*(s + 2)\n\n y(t) total = ZIR + ZSR:\n\/    -2*t                -4*t\\             \n|13*e          -3*t   3*e    |             \n|-------- - 3*e     - -------|*Heaviside(t)\n\\   2                    2   \/             \n>>> \n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4.2 Algoritmo Y(s) en Sympy-Python<\/h2>\n\n\n\n
Las instrucciones para respuesta a entrada cero ZIR y respuesta estado cero ZSR se integran en un algoritmo.<\/p>\n\n\n
\n# Y(s) Respuesta total con entrada cero y estado cero\n# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps\/Qs\n# Ejemplo Lathi 4.12 p361\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad4\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\n\n# H(s) respuesta impulso\nPs = s + 1\nQs = s**2 + 5*s + 6\nHs = Ps\/Qs\n#Hs = 6*sym.exp(-2*s)\/s**2\n\n# X(s) Se\u00f1al de entrada\nXs = 1\/(s+4)\n\n# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente\nt0 = 0\ncond_inicio = [1, 2]\n\n# PROCEDIMIENTO\n# ZIR_s respuesta entrada cero de s\nsol_ZIR = ss.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)\nZIR = sol_ZIR['ZIR']\nyt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']\n\n# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)\nsol_ZSR = ss.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)\nZSR = sol_ZSR['ZSR']\nyt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']\n\n# Respuesta total Y(s) y y(t)\nYs = ZIR + ZSR\nYs = ss.apart_s(Ys)\nyt = yt_ZIR + yt_ZSR\nlista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)\nyt = sym.collect(yt,lista_escalon) # agrupa expresiones escalon\n\n# SALIDA - polinomio\nprint('\\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')\nif not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado\n    for k in sol_ZIR:\n        print('\\n',k,':')\n        sym.pprint(sol_ZIR[k])\nelse:\n    print(' insuficientes condiciones iniciales')\n    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')\n\nprint('\\n ZSR respuesta estado cero:')\nfor k in sol_ZSR:\n    print('\\n',k,':')\n    sym.pprint(sol_ZSR[k])\n\nprint('\\n Y0(s) total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(Ys)\nprint('\\n y(t) total = ZIR + ZSR:')\nsym.pprint(yt)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZIR<\/a><\/p>\n\n\n\n
ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo ZSR<\/a><\/p>\n\n\n\n
total Y(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo Y(s)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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Ejercicio ZIR algoritmo ZIR ZSR algoritmo ZSR total Y(s) algoritmo Y(s) 1. Ejercicio Referencia: Lathi Ejemplo 4.12 p361 Resuelva la ecuaci\u00f3n diferencial de segundo orden usando respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero. para las condiciones iniciales y(0-)=2 y y'(0-)=1, ante la entrada El ejercicio muestra nuevamente el concepto sobre la respuesta total […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[174],"tags":[],"class_list":["post-1367","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u04"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1367","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1367"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1367\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":24017,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1367\/revisions\/24017"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1367"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1367"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1367"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}