producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Un modelo de se\u00f1al de gran utilidad es el producto de dos sinusoides, usada en difusi\u00f3n radial conocida como Modulaci\u00f3n de Amplitud (AM).<\/p>\n\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan ejemplo 3.2 p75<\/p>\n\n\n\n Realice el espectro de frecuencias para una se\u00f1al resultado del producto de dos sinusoides con frecuencias 1\/2 Hz y 5 Hz.<\/p>\n\n\n x(t) = \\cos (\\pi t) \\sin(10 \\pi t) <\/span>\n\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Lo primero es convertir x(t) usando la f\u00f3rmula de Euler:<\/p>\n\n\n x(t) = \\Big( \\frac{e^{j \\pi t} +e^{-j \\pi t}}{2} \\Big)\\Big( \\frac{e^{j 10 \\pi t} - e^{-j 10 \\pi t}}{2j} \\Big) <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{4}e^{-j \\pi \/2}e^{j 11 \\pi t} + \\frac{1}{4}e^{-j \\pi \/2}e^{j 9 \\pi t} + \\frac{1}{4}e^{j \\pi \/2}e^{-j 9 \\pi t} + \\frac{1}{4}e^{j \\pi \/2}e^{-j 11 \\pi t} <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{2}\\cos (11 \\pi t - pi\/2) +\\frac{1}{2}\\cos(9 \\pi t - \\pi\/2) <\/span>\n\n\n\n Se observa que para el espectro de frecuencias se tienen 4 componentes, que las frecuencias originales de 5 Hz y 1\/2 Hz ya no se muestran en el espectro<\/p>\n\n\n\n La gr\u00e1fica de domino en tiempo con los componentes individuales es:<\/p>\n\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El algoritmo para el ejercicio reutiliza las funciones descritas en la secci\u00f3n anterior para el espectro de frecuencias. Por lo que \u00e9ste caso es una aplicaci\u00f3n del concepto.<\/p>\n\n\n\n El resultado del algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python con telg1034.py<\/a>, en men\u00fa de recursos<\/a>.<\/p>\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Instrucciones adicionales para la gr\u00e1fica de espectro son las mismas que en la secci\u00f3n anterior<\/p>\n\n\n La gr\u00e1fica de tiempo, permite observar el efecto del producto se se\u00f1ales.<\/p>\n\n\n\n Se reutilizan las instrucciones de la secci\u00f3n 1.3, a\u00f1adiendo las variantes de estilo de l\u00ednea para destacar la se\u00f1al resultante del producto.<\/p>\n\n\n\n En este caso se est\u00e1 usando la lista de frecuencias del espectro de se\u00f1ales, lo que no incluye las frecuencias individuales de cada componente al desaparecer en el resultado las frecuencia originales. por lo que la \"envolvente\" de menor frecuencia no domina sobre las dem\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n Considerar el caso presentado para completar el algoritmo si se requiere mayor precisi\u00f3n.<\/p>\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n En comunicaci\u00f3n por radio difusi\u00f3n se conoce el t\u00e9rmino Modulaci\u00f3n de amplitud<\/strong> AM (amplitude modulation). AM es el proceso de multiplicar una se\u00f1al sinusoidal de alta frecuencia fc<\/sub> (portadora) con una se\u00f1al de baja frecuencia como la voz o m\u00fasica (envolvente)<\/p>\n\n\n\n x(t) = envolvente (portadora)<\/p>\n\n\n x(t) = v(t) \\cos ( 2 \\pi f_c t) <\/span>\n\n\n\n El concepto de ancho de banda se usa con la representaci\u00f3n del espectro de frecuencias de la se\u00f1al y destaca una de sus caracter\u00edsticas. Para el caso de AM cuyo espectro tiene como frecuencia mas alta (fc<\/sub> + f\u0394 ) y referenciada a la frecuencia de la portadora fc<\/sub> , se considera importante el grupo de frecuencias positivas en el intervalo entre la mas alta y las mas baja conocidas como ancho de banda o BW (Bandwitdth) de la se\u00f1al.<\/p>\n\n\n (f_c + f_{\\Delta})-(f_c - f_{\\Delta}) = 2f_{\\Delta} <\/span>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan ejemplo 3.4 p78 y ejercicio 3.3 p80<\/p>\n\n\n\n Realice el espectro de frecuencias para una se\u00f1al AM con portadora cos(400\u03c0t) y envolvente (5+4cos(40 \u03c0t)).<\/p>\n\n\n\n La se\u00f1al envolvente tiene un t\u00e9rmino DC suficientemente grande que la mantiene en la parte superior (positiva) para todo 't'. El t\u00e9rmino DC de la envolvente permite simplificar la implementaci\u00f3n de un circuito detector de envolvente en el radio-receptor, la envolvente es la voz o m\u00fasica que se quiere escuchar.<\/p>\n\n\n\n Observe que la se\u00f1al de la portadora es de 200Hz y la envolvente es 20Hz, con una relaci\u00f3n 1\/10. En el espectro de frecuencia, la mas alta es 220 Hz y la mas baja es 180 Hz, la frecuencia central o portadora es 200 Hz. El ancho de banda es (220-180) = 40 Hz. que es la frecuencia de la envolvente.<\/p>\n\n\n\n producto cos<\/a><\/p>\n\n\n\n ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n AM y BW<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n A partir del algoritmo del producto de se\u00f1ales, se a\u00f1ade el c\u00e1lculo de las frecuencia m\u00e1xima y m\u00ednima de x(t).<\/p>\n\n\n\n con lo que se obtiene como resultado<\/p>\n\n\n\n con gr\u00e1ficas de espectro de frecuencia y x(t)<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Producto de Se\u00f1ales<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejemplo \u2013 Espectro de Producto de sinusoides<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectroSenalesProductoCos01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectroSenalesProductoCos_t02.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
x(t): cos(pi*t)*cos(10*pi*t)\nx_senales: \nsenal: cos(pi*t)*cos(10*pi*t)\n euler: exp(11*I*pi*t)\/4 + exp(9*I*pi*t)\/4 + exp(-9*I*pi*t)\/4 + exp(-11*I*pi*t)\/4\nx_expand: \n cos(9*pi*t)\/2 + cos(11*pi*t)\/2\nx_espectro:\nfreq : [-5.5 -4.5 4.5 5.5]\nampl : [1\/4 1\/4 1\/4 1\/4]\nfase : [0 0 0 0]\netiq : ['1\/4' '1\/4' '1\/4' '1\/4']\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# ejemplo 3.2 p75 Espectro de dos lados\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/dsp-senales\/\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\nimport telg1034 as dsp\n\n# variables\nfrom telg1034 import t,A,w,f,p,pi,DosPi,I,equivalentes\n\n# INGRESO\nx0 = 0\nx1 = sym.cos(pi*t)\nx2 = sym.cos(10*pi*t)\nx = x1*x2\n\n# PROCEDIMIENTO\nx_senales = dsp.x_list_term_Add(x)\nx_conteo = len(x_senales)\nXe_senales = dsp.cos_to_euler_one_term(x_senales)\nXe_espectro = dsp.cos_spectrum_list(x_senales)\n\nx_senales en t\u00e9rminos cos simplificados\nXe_conteo = len(Xe_senales)\nx_senales_simple = []\nx_expand = sym.S.Zero\nfor i in range(Xe_conteo):\n unaSenal = Xe_senales[i]\n Xe_to_cos = unaSenal.rewrite(sym.cos)\n x_expand = x_expand + Xe_to_cos\n\n# SALIDA\nprint('x(t):',x)\nprint('x_senales: ')\nfor i in range(x_conteo):\n print('senal: ',x_senales[i])\n print(' euler:',Xe_senales[i])\nprint('x_expand: ')\nprint(' ',x_expand)\nprint('x_espectro:')\nfor unparam in Xe_espectro:\n print(unparam,':',Xe_espectro[unparam])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Gr\u00e1fica de espectro de frecuencias<\/h2>\n\n\n\n
<\/figure>\n\n\n\n\n# GRAFICAS de espectro de frecuencias ---------\nfreq = Xe_espectro['freq']\nmagnitud = Xe_espectro['ampl']\netiqueta = Xe_espectro['etiq']\nmag_max = float(max(magnitud))\nfreq_max = float(max(freq))\n\n# grafica \ngraf_dx = 0.12\nfig_espectro = plt.figure()\ngraf_fasor = fig_espectro.add_subplot()\n# grafica magnitud\ngraf_fasor.set_xlim([-freq_max*(1+graf_dx),freq_max*(1+graf_dx)])\ngraf_fasor.set_ylim([0,mag_max*(1+graf_dx*2)])\ngraf_fasor.axhline(0,color='black')\ngraf_fasor.axvline(0,linestyle='dotted',color='grey')\ngraf_fasor.stem(freq,magnitud)\n# etiquetas de fasor\nfor k in range(0,len(freq),1):\n texto = etiqueta[k]\n x_text = freq[k]\n y_text = magnitud[k]\n plt.annotate(texto,xy=(x_text,y_text), xytext=(0,5),\n textcoords='offset points',ha='center')\ngraf_fasor.grid()\ngraf_fasor.set_xlabel('freq Hz')\ngraf_fasor.set_ylabel('amplitud')\ngraf_fasor.set_title('Espectro: x_senales')\n\n#plt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<\/a><\/figure>\n\n\n\n\n# GRAFICAR x(t) ---------------------------\n# INGRESO\nx_senales_graf = [x1,x2,x] # para graficar\nx_etiqueta = ['x1(t)','x2(t)','x1(t)x2(t)']\nx_tipolinea = ['dashed','dotted','solid']\n\ntramos_T = 20 # tramos por periodo\nperiodos_graf = 2 # periodos en una grafica\n\n# PROCEDIMIENTO GRAFICA\nx_conteo_graf = len(x_senales_graf)\n# etiquetas si est\u00e1n vacias\nif len(x_etiqueta)==0: \n if x_conteo_graf > 1:\n for i in range(0,x_conteo_graf-1,1):\n x_etiqueta.append('x'+str(i)+'(t)')\n x_tipolinea.append('dotted')\n x_etiqueta.append('x(t)')\n x_tipolinea.append('solid')\n \n[T_min,T_max] = dsp.periodo_minmax(freq)\nx_conteo = len(x_senales_graf)\n\nmuestras_T = tramos_T + 1\n# intervalo de t entre [a,b] en pasos dt\na = 0\nb = T_max*periodos_graf\ndt = T_min\/tramos_T # tama\u00f1o de paso,tramo, muestreo\nti = np.arange(a,b+dt,dt)\n\nxi_k = [] # muestras de cada se\u00f1al x\nfor unasenal in x_senales_graf:\n # x(t) a forma num\u00e9rica lambda t:\n if unasenal.has(t):\n xk = sym.lambdify(t,unasenal)\n else: # es constante\n xk = lambda t: unasenal + 0*t\n xki = xk(ti) # eval\u00faa en intervalo\n xi_k.append(np.copy(xki))\n\n# graficar\nfig_x = plt.figure()\ngraf_x = fig_x.add_subplot()\nfor i in range(0,x_conteo_graf,1):\n color_i = dsp._graf_lineacolor_i(i)\n graf_x.plot(ti,xi_k[i], color=color_i,\n linestyle=x_tipolinea[i],\n label=x_etiqueta[i])\n graf_x.axhline(0,color='black')\ngraf_x.set_title('Se\u00f1ales xk(t)')\ngraf_x.set_xlabel('t (segundos)')\ngraf_x.set_ylabel('x_senales')\ngraf_x.grid()\ngraf_x.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n6. Modulaci\u00f3n de Amplitud y Ancho de Banda<\/h2>\n\n\n\n
6.1 Ejercicio<\/h3>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n6.2 Algoritmo con Python<\/h3>\n\n\n\n
# ancho de banda<\/span>\nfreq = Xe_espectro['freq'<\/span>]\nfreq_max = float(max(freq))\nfreq_min = float(min(freq[freq>0])) # freq positivas [freq>0]<\/span>\nfreq_centro = (freq_max+freq_min)\/2\nBW = freq_max-freq_min<\/code><\/pre>\n\n\n\nx(t): (4*cos(40*pi*t) + 5)*cos(400*pi*t)\nx_senales: \nsenal: 5*cos(400*pi*t)\n euler: 5*exp(400*I*pi*t)\/2 + 5*exp(-400*I*pi*t)\/2\nsenal: 4*cos(40*pi*t)*cos(400*pi*t)\n euler: exp(440*I*pi*t) + exp(360*I*pi*t) + exp(-360*I*pi*t) + exp(-440*I*pi*t)\nx_expand: \n 2*cos(360*pi*t) + 5*cos(400*pi*t) + 2*cos(440*pi*t)\n freq_min: 180.0\nfreq_centro: 200.0\n freq_max: 220.0\nancho de banda BW: 40.0\nx_espectro:\nfreq : [-220. -200. -180. 180. 200. 220.]\nampl : [1 5\/2 1 1 5\/2 1]\nfase : [0 0 0 0 0 0]\netiq : ['1' '5\/2' '1' '1' '5\/2' '1']<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"espectro](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectroSenalesProductoAM01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n
![\"Senales](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/espectroSenalesProductoAM02.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n