{"id":139,"date":"2016-11-19T23:39:34","date_gmt":"2016-11-20T04:39:34","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=139"},"modified":"2026-04-04T10:49:56","modified_gmt":"2026-04-04T15:49:56","slug":"valor-esperado-pmf","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u01eva\/valor-esperado-pmf\/","title":{"rendered":"Valor Esperado E[x] a partir de pmf"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Le\u00f3n-Garc\u00eda p.104, Gubner p.80,<\/p>\n\n\n\n<p>Para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta a partir de su&nbsp; funciones de distribuci\u00f3n de probabilidad (pmf, probability mass function), para simplificar en un solo valor, se usa el valor esperado o media.<\/p>\n\n\n\n<p>El valor esperado o media de una variable aleatoria discreta X se define como:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> m_x = E[X] = \\sum\\limits_{x \\in S_x} x p_x(x) =<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\sum\\limits_{k} x_k p_x(x_k) <\/span>\n\n\n\n<p>El valor esperado E[X] est\u00e1 definido si la suma anterior absolutamente converge , es decir:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> E[|X|] = \\sum\\limits_{k} |x_k| p_x(x_k) &lt; \\infty <\/span>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo<\/h3>\n\n\n\n<p>De repetir un experimento 150 veces, se obtienen dos variables aleatorias.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La variable Y tiene valores alrededor de 0,<\/li>\n\n\n\n<li>mientras que la variable X tiene valores alrededor de 6 .<\/li>\n\n\n\n<li>Tambi\u00e9n observe que X tiene mayor variaci\u00f3n que Y.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/files\/2017\/04\/ValorEsperado01.png\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/files\/2017\/04\/ValorEsperado01.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2119\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p>Siendo p<sub>x<\/sub>(x) la funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de probabilidad de los puntos x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>, ... , entonces E[x] representa el centro de masa de la distribuci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo: Media de una variable aleatoria tipo Bernoulli<\/h3>\n\n\n\n<p>(Ejemplo 3.11) Encuentre el valor de la variable aleatoria I<sub>A<\/sub>:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> E[I_A] = 0p_i(0) + 1p_1(1) = p <\/span>\n\n\n\n<p>donde p es la probabilidad de \u00e9xito de una prueba Bernoulli.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo: Tres lanzamientos de una moneda y la variable aleatoria Binomial<\/h2>\n\n\n\n<p>(Ejemplo 3.12)Sea X el n\u00famero de caras en tres lanzamientos de una moneda, Encuentre E[X]<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> E[X] = \\sum \\limits_{k=0}^{3} k p_x(k) <\/span>\n\n\n\n<p>las probabilidades de que salgan 0 caras es 1\/8, 1 cara es 3\/8, 2 caras 3\/8 y 3 caras 1\/8, resultados obtenidos en el ejemplo 3.5 del libro<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = 0 \\big( \\frac{1}{8} \\big) + 1 \\big(\\frac{3}{8} \\big) + 2\\big(\\frac{3}{8} \\big) + 3\\big(\\frac{1}{8} \\big) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\frac{12}{8} =1.5 <\/span>\n\n\n\n<p><strong>Ejemplo<\/strong>: Media de una variable aleatoria uniforme<\/p>\n\n\n\n<p>Se conoce que p<sub>x<\/sub>(j) = 1\/M, para j=0, ... , M-1, entonces:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> E[X] = \\sum \\limits_{k=0}^{M-1} k \\frac{1}{M} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> =\\frac{1}{M}[ { 0 + 1 + 2 + ... + M-1}] <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\frac{(M-1)M}{2M} = \\frac{M-1}{2} <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>El t\u00e9rmino de \"valor esperado\" no quiere decir que esperamos observar E[X] cuando se ejecuta un experimento que genera X.<\/p>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, el valor esperado de un intento Bernoulli es p, pero sus resultados siempre son 0 \u00f3 1.<\/p>\n\n\n\n<p>E[X] corresponde al \"promedio de X\" en un gran n\u00famero de observaciones de X.<\/p>\n\n\n\n<p>El promedio aritm\u00e9tico o media muestral de las observaciones cuando el n\u00famero de muestras <strong>n<\/strong> tiende a ser grande converge al valor esperado:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\langle X\\rangle_n = \\sum\\limits_{k} x_k f_k(n) \\rightarrow <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\rightarrow \\sum\\limits_{k} x_k p_x (x_k) = E[x] <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n<p>Para generar valores aleatorios con media y escala conocida se puede usar la funci\u00f3n stats.norm.rvs(media, escala, muestras, obteniendo algunos valores como:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code alignwide\"><code>px: \n&#091;-1  0 -1 -2  3  0 -1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  1 -1  0  0 -1  0  0\n  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0\n...]\npy: \n&#091; 8  4  6  6  2  5  2  3  6  6  7  6  4  5  2  6  4  4  6  7  7  4  4  5\n  5  4  4  3  2  9  5  8  5  6  7  2  4  1  1  6  5  7  6  7  4  7  9  5\n...]<\/code><\/pre>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code alignwide\"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# Valor Esperado E&#x5B;x] a partir de pmf\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport scipy.stats as stats\n\n# INGRESO\nn = 150\n\nmedia_x = 0\nescala_x = 1\n\nmedia_y = 6\nescala_y = 2\n\n# PROCEDIMIENTO\npx = stats.norm.rvs(media_x,escala_x,size=n)\npx = np.array(px,dtype=int)\npy = stats.norm.rvs(media_y,escala_y,size=n)\npy = np.array(py,dtype=int)\n\n# SALIDA\nprint('px: ')\nprint(px)\nprint('py: ')\nprint(py)\n# grafica\nplt.title(' aleatorios X y Y')\nplt.plot(px, 'o-', label='x')\nplt.plot(py, '*-', label='y')\nplt.xlabel('intentos')\nplt.axhline(media_x)\nplt.axhline(media_y)\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Referencia: Le\u00f3n-Garc\u00eda p.104, Gubner p.80, Para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta a partir de su&nbsp; 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