{"id":1424,"date":"2017-12-02T07:19:04","date_gmt":"2017-12-02T12:19:04","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1424"},"modified":"2026-02-18T11:13:47","modified_gmt":"2026-02-18T16:13:47","slug":"s1eva2017ti_t2-tanque-esferico-volumen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2017ti_t2-tanque-esferico-volumen\/","title":{"rendered":"s1Eva2017TI_T2 Tanque esf\u00e9rico-volumen"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2017TI_T2 Tanque esf\u00e9rico-volumen<\/a><\/p>\n\n\n\n

a. Planteamiento del problema<\/h2>\n\n\n V = \\frac{\\pi h^{2} (3r-h)}{3} <\/span>\n\n\n\n

Si r<\/strong>=1 m y V<\/strong>=0.75 m3<\/sup>,<\/p>\n\n\n 0.75 = \\frac{\\pi h^{2} (3(1)-h)}{3} <\/span>\n\n\n 0.75 -\\frac{\\pi h^{2} (3(1)-h)}{3} = 0 <\/span>\n\n\n f(h) = 0.75 -\\frac{\\pi h^{2} (3-h)}{3} <\/span>\n\n\n = 0.75 -\\frac{\\pi}{3}(h^{2} (3)-h^{2}h) <\/span>\n\n\n = 0.75 -\\frac{\\pi}{3}(3 h^{2} - h^{3})<\/span>\n\n\n f(h) = 0.75 -\\pi h^{2} + \\frac{\\pi}{3}h^{3}<\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\"tanque<\/figure>\n\n\n\n

b. Intervalo de b\u00fasqueda de ra\u00edz<\/h2>\n\n\n\n

El tanque vaci\u00f3 tiene h=0 y completamente lleno h= 2r = 2(1) = 2, por lo que el intervalo tiene como extremos:<\/p>\n\n\n\n

[0,2]<\/p>\n\n\n\n

Verificando que exista cambio de signo en la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n f(0) = 0.75 -\\pi (0)^{2} + \\frac{\\pi}{3}(0)^{3} = 0.75<\/span>\n\n\n f(2) = 0.75 -\\pi (2)^{2} + \\frac{\\pi}{3}(2)^{3}= -3.4387<\/span>\n\n\n\n

\"1Eva2017TI_T2<\/figure>\n\n\n\n

y verificando al usar la gr\u00e1fica dentro del intervalo:<\/p>\n\n\n\n

Tolerancia<\/p>\n\n\n\n

\"cintametrica01\"<\/figure>\n\n\n\n

Se indica en el enunciado como 0.01 que es la medici\u00f3n m\u00ednima a observar con un flex\u00f3metro.<\/p>\n\n\n\n

tolera = 0.01<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

c. M\u00e9todo de Newton-Raphson
d. M\u00e9todo de Punto Fijo<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

c. M\u00e9todo de Newton-Raphson<\/h2>\n\n\n\n

El m\u00e9todo de Newton-Raphson requiere la derivada de la funci\u00f3n:<\/p>\n\n\n x_{i+1} = x_i -\\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} <\/span>\n\n\n f(h) = 0.75 -\\pi h^{2} + \\frac{\\pi}{3}h^{3}<\/span>\n\n\n f'(h) = -2\\pi h + \\pi h^{2}<\/span>\n\n\n\n

Tomando como punto inicial de b\u00fasqueda el extremo izquierdo del intervalo, genera una divisi\u00f3n para cero. Por lo que se mueve un poco a la derecha, algo m\u00e1s cercano a la raiz, viendo la gr\u00e1fica por ejemplo 0.1<\/p>\n\n\n\n

x0<\/sub> = 0.1<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 1<\/h4>\n\n\n\n

i =0<\/p>\n\n\n f(0.1) = 0.75 -\\pi (0.1)^{2} + \\frac{\\pi}{3}(0.1)^{3} =0.7196 <\/span>\n\n\n f'(0.1) = -2\\pi (0.1) + \\pi (0.1)^{2} = -0.5969 <\/span>\n\n\n x_{1} = x_0 -\\frac{0.7496 }{-0.0625} = 1.3056 <\/span>\n\n\n tramo = |x_{1}-x_{0}| = |0.1-1.3056 | = 1.2056<\/span>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 2<\/h4>\n\n\n\n

i =1<\/p>\n\n\n f(1.3056) = 0.75 -\\pi (1.3056)^{2} + \\frac{\\pi}{3}(1.3056)^{3} = -2.2746 <\/span>\n\n\n f'(1.3056) = -2\\pi (1.3056) + \\pi (1.3056)^{2} =-2.8481 <\/span>\n\n\n x_{1} = x_0 -\\frac{-2.2746}{-2.8481} = 0.5069 <\/span>\n\n\n tramo = |x_{2}-x_{1}|=|0.5069-1.3056|=0.7987<\/span>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 3<\/h4>\n\n\n\n

i =2<\/p>\n\n\n f(0.5069) = 0.75 -\\pi (0.5069)^{2} + \\frac{\\pi}{3}(0.5069)^{3} = 0.0789 <\/span>\n\n\n f'(0.5069) = -2\\pi (0.5069) + \\pi (0.5069)^{2} =-2.3780 <\/span>\n\n\n x_{1} = x_0 -\\frac{0.0789}{-2.3780} = 0.5401 <\/span>\n\n\n tramo = |x_{3}-x_{2}| =|0.5401 - 0.5069| = 0.0332 <\/span>\n\n\n\n

Observe que el tramo disminuye en cada iteraci\u00f3n , por lo que el m\u00e9todo converge, si se siguen haciendo las operaciones se tiene que:<\/p>\n\n\n\n

m\u00e9todo de Newton-Raphson\ni ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo']\n0 [ 0.1     0.7196 -0.5969  1.3056  1.2056]\n1 [ 1.3056 -2.2746 -2.8482  0.507   0.7986]\n2 [ 0.507   0.079  -2.378   0.5402  0.0332]\n3 [ 5.4019e-01 -1.6689e-03 -2.4774e+00  5.3952e-01  6.7367e-04]\nra\u00edz en:  0.5395186666699257<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"1Eva2017TI_T2<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
para M\u00e9todo de Newton-Raphson<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva2017TI_T2 Tanque esf\u00e9rico-volumen\n# Ejemplo 1 (Burden ejemplo 1 p.51\/pdf.61)\nimport numpy as np\n \ndef newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, iteramax=100,\n                   vertabla=False, precision=4):\n    '''fx y dfx en forma num\u00e9rica lambda\n    xi es el punto inicial de b\u00fasqueda\n    si no converge hasta iteramax iteraciones\n    la respuesta es NaN (Not a Number)\n    '''\n    itera=0\n    xi = x0\n    tramo = abs(2*tolera)\n    if vertabla==True:\n        print('m\u00e9todo de Newton-Raphson')\n        print('i', ['xi','fi','dfi', 'xnuevo', 'tramo'])\n        np.set_printoptions(precision)\n    while (tramo>=tolera):\n        fi = fx(xi)\n        dfi = dfx(xi)\n        xnuevo = xi - fi\/dfi\n        tramo = abs(xnuevo-xi)\n        if vertabla==True:\n            print(itera,np.array([xi,fi,dfi,xnuevo,tramo]))\n        xi = xnuevo\n        itera = itera + 1\n \n    if itera>=iteramax:\n        xi = np.nan\n        print('itera: ',itera,\n              'No converge,se alcanz\u00f3 el m\u00e1ximo de iteraciones')\n \n    return(xi)\n \n# INGRESO\nfx = lambda h: 0.75 - np.pi*(h**2)+(np.pi\/3)*h**3\ndfx = lambda h: -2*np.pi*h+np.pi*(h**2)\n\n# Par\u00e1metros de m\u00e9todo\nx0 = 0.1\ntolera = 0.01\niteramax = 100\n \n# PROCEDIMIENTO\nxi= newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, vertabla=True)\n# SALIDA\nprint('ra\u00edz en: ', xi)\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\na = 0\nb = 2\nmuestras = 21\n \nxj = np.linspace(a,b,muestras)\nfj = fx(xj)\nplt.plot(xj,fj, label='f(x)')\nplt.plot(xi,0, 'o')\nplt.axhline(0)\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.grid()\nplt.legend()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
<\/a>Planteo con Punto Fijo<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
d. M\u00e9todo de Punto Fijo<\/h2>\n\n\n\n
\n