{"id":1432,"date":"2017-11-10T06:05:42","date_gmt":"2017-11-10T11:05:42","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1432"},"modified":"2026-04-05T19:46:28","modified_gmt":"2026-04-06T00:46:28","slug":"s1eva2010ti_t2_mn-uso-de-televisores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva10\/s1eva2010ti_t2_mn-uso-de-televisores\/","title":{"rendered":"s1Eva2010TI_T2_MN Uso de televisores"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2010TI_T2_MN Uso de televisores<\/a><\/p>\n\n\n\n

Para la funci\u00f3n dada:<\/p>\n\n\n p(x) =\\frac{1}{2.5} \\Big(-10 \\sin \\Big(\\frac{12x}{7} \\Big) e^{-\\frac{24x}{7}} + \\frac{48x}{7}e^{-\\frac{8x}{7}} + 0.8 \\Big)<\/span>\n\n\n\n

0\u2264x<\/strong>\u22644<\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n
\"Encendido<\/figure>\n\n\n\n

El enunciado indica encontrar el m\u00e1ximo y luego el m\u00ednimo, por lo que la curva bajo an\u00e1lisis es la derivada de la funci\u00f3n dp(x)\/dx. <\/p>\n\n\n\n

Adicionalmente, para encontrar los puntos se requiere usar el m\u00e9todo de Newton-Raphson que corresponden a las ra\u00edces de dp(x)\/dx. La funci\u00f3n bajo an\u00e1lisis ahora es la derivada y para el m\u00e9todo se usa la derivada: d2<\/sup>p(x)\/dx2<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n

Al usar el computador para las f\u00f3rmulas, se usa la forma simb\u00f3lica de la funci\u00f3n p(x), para obtener dpx y d2px.<\/p>\n\n\n\n

primera derivada: \n-3.13469387755102*x*exp(-8*x\/7)\n + 2.74285714285714*exp(-8*x\/7) \n+ 13.7142857142857*exp(-24*x\/7)*sin(12*x\/7) \n- 6.85714285714286*exp(-24*x\/7)*cos(12*x\/7)\nsegunda derivada: \n3.58250728862974*x*exp(-8*x\/7) \n- 6.26938775510204*exp(-8*x\/7) \n- 35.265306122449*exp(-24*x\/7)*sin(12*x\/7) \n+ 47.0204081632653*exp(-24*x\/7)*cos(12*x\/7)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica requiere la evaluaci\u00f3n las funciones, que por simplicidad de evaluaci\u00f3n, su formas simb\u00f3licas se convierten a su forma 'lambda'.<\/p>\n\n\n\n
\"s1eit2010t2<\/figure>\n\n\n\n
Con la gr\u00e1fica se verifica que la ra\u00edz de dp(x)\/dx (en naranja) pasa por el m\u00e1ximo y m\u00ednimo de p(x) (en azul).<\/p>\n\n\n\n
que se obtienen con las siguientes instrucciones en Python:<\/p>\n\n\n
\n# 1ra Evaluaci\u00f3n I T\u00e9rmino 2010\n# tema 2. encendido tv\n# Tarea: aplicar el m\u00e9todo de Newton-Raphson\n# solo se muestra la funci\u00f3n y sus derivadas 1 y 2\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# funci\u00f3n bajo an\u00e1lisis en forma simb\u00f3lica\nx = sym.Symbol('x')\npxs = (1\/2.5)*(-10*sym.sin(12*x\/7)*sym.exp(-24*x\/7) \\\n               + (48*x\/7)*sym.exp(-8*x\/7)+0.8)\n\n# derivadas\ndpxs = pxs.diff(x,1)\nd2pxs = pxs.diff(x,2)\nd2pxs = sym.expand(d2pxs)\n\n# SALIDA\nprint('primera derivada: ')\nprint(dpxs)\nprint('segunda derivada: ')\nprint(d2pxs)\n\n# conversion a lambda\npxn = sym.utilities.lambdify(x,pxs, 'numpy')\ndpxn = sym.utilities.lambdify(x,dpxs, 'numpy')\nd2pxn = sym.utilities.lambdify(x,d2pxs, 'numpy')\n\n# observar gr\u00e1fica\na = 0\nb = 4\nmuestras = 51\ntolera = 0.0001\n\nxi = np.linspace(a,b, muestras)\npxi = pxn(xi)\ndpxi = dpxn(xi)\nd2pxi = d2pxn(xi)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi,pxi, label = 'pxi')\nplt.plot(xi,dpxi, label = 'dpxi')\nplt.plot(xi,d2pxi, label = 'd2pxi')\nplt.axhline(0)\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal b<\/h2>\n\n\n\n
Usando el m\u00e9todo de Newton-Raphson a partir de la primera y segunda derivada seg\u00fan lo planteado, usando x0=0,se tiene:<\/p>\n\n\n f(x) = -3.13469387755102 x e^{(-8 x\/7)} <\/span>\n\n\n +2.74285714285714 e^{(-8 x\/7)} <\/span>\n\n\n + 13.7142857142857 e^{(-24 x\/7)} \\sin\\Big(\\frac{12x}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n- 6.85714285714286 e^{(-24x\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12x}{7}\\Big)<\/span>\n\n\n f'(x) = 3.58250728862974 x e^{(- 8 x\/7)} <\/span>\n\n\n- 6.26938775510204 e^{(- 8 x\/7)} <\/span>\n\n\n- 35.265306122449 e^{(-24x\/7)} \\sin \\Big(\\frac{12x}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n+ 47.0204081632653 e^{(-24x\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12x}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n\n
itera<\/strong> = 0, x0 = 0<\/p>\n\n\n f(0) = -3.13469387755102 (0) e^{(-8 (0)\/7)} <\/span>\n\n\n +2.74285714285714 e^{(-8 (0)\/7)} <\/span>\n\n\n + 13.7142857142857 e^{(-24 (0)\/7)} \\sin\\Big(\\frac{12(0)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n- 6.85714285714286 e^{(-24(0)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0)}{7}\\Big) = -4.1143 <\/span>\n\n\n f'(0) = 3.58250728862974 (0) e^{(- 8 (0)\/7)} <\/span>\n\n\n- 6.26938775510204 e^{(- 8(0)\/7)} <\/span>\n\n\n- 35.265306122449 e^{(-24(0)\/7)} \\sin \\Big(\\frac{12(0)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n+ 47.0204081632653 e^{(-24(0)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0)}{7}\\Big) = 40.751 <\/span>\n\n\n x_1 = 0 - \\frac{-4.1143}{40.751} =0.101 <\/span>\n\n\n error = | 0.101-0 |=0.101 <\/span>\n\n\n\n
itera<\/strong> = 1<\/p>\n\n\n f(0.101) = -3.13469387755102 (0.101) e^{(-8 (0.101)\/7)} <\/span>\n\n\n +2.74285714285714 e^{(-8 (0.101)\/7)} <\/span>\n\n\n + 13.7142857142857 e^{(-24 (0.101)\/7)} \\sin\\Big(\\frac{12(0.101)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n- 6.85714285714286 e^{(-24(0.101)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0.101)}{7}\\Big) = -0.9456 <\/span>\n\n\n f'(0.101) = 3.58250728862974 (0.101) e^{(- 8 (0.101)\/7)} <\/span>\n\n\n- 6.26938775510204 e^{(- 8 (0.101)\/7)} <\/span>\n\n\n- 35.265306122449 e^{(-24(0.101)\/7)} \\sin \\Big(\\frac{12(0.101)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n+ 47.0204081632653 e^{(-24(0.101)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0.101)}{7}\\Big) =23.2054<\/span>\n\n\n x_2 = 0.101 - \\frac{-0.9456}{23.2054} =0.1417 <\/span>\n\n\n error = | 0.1417-0.101 |=0.0407 <\/span>\n\n\n\n
itera<\/strong> = 2<\/p>\n\n\n f(0.1417) = -3.13469387755102 (0.1417) e^{(-8 (0.1417)\/7)} <\/span>\n\n\n +2.74285714285714 e^{(-8 (0.1417)\/7)} <\/span>\n\n\n + 13.7142857142857 e^{(-24 (0.1417)\/7)} \\sin\\Big(\\frac{12(0.1417)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n- 6.85714285714286 e^{(-24(0.1417)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0.1417)}{7}\\Big) = -0.11005<\/span>\n\n\n f'(0.1417) = 3.58250728862974 (0.1417) e^{(- 8 (0.1417)\/7)} <\/span>\n\n\n- 6.26938775510204 e^{(- 8 (0.1417)\/7)} <\/span>\n\n\n- 35.265306122449 e^{(-24(0.1417)\/7)} \\sin \\Big(\\frac{12(0.1417)}{7}\\Big) <\/span>\n\n\n+ 47.0204081632653 e^{(-24(0.1417)\/7)} \\cos\\Big(\\frac{12(0.1417)}{7}\\Big) = 0.17957 <\/span>\n\n\n x_3 = 0.1417 - \\frac{-0.11005}{0.17957} =0.14784 <\/span>\n\n\n error = | 0.14784- 0.1417 |=0.0061287 <\/span>\n\n\n\n
se observa que el error disminuye en cada iteraci\u00f3n, por lo que el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n
Se contin\u00faan las operaciones con el algoritmo obteniendo:<\/p>\n\n\n\n
i ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo']\n0 [ 0.     -4.1143 40.751   0.101   0.101 ]\n1 [ 0.101  -0.9456 23.2054  0.1417  0.0407]\n2 [ 1.4171e-01 -1.1005e-01  1.7957e+01  1.4784e-01  6.1287e-03]\n3 [ 1.4784e-01 -2.1916e-03  1.7245e+01  1.4797e-01  1.2708e-04]\n4 [ 1.4797e-01 -9.2531e-07  1.7231e+01  1.4797e-01  5.3701e-08]\nra\u00edz en:  0.1479664890264113<\/code><\/pre>\n\n\n\n
literal c<\/h2>\n\n\n\n
la otra ra\u00edz se encuentra con x0=1<\/p>\n\n\n\n
m\u00e9todo de Newton-Raphson\ni ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo']\n0 [ 0.5     1.7226 -1.7869  1.464   0.964 ]\n1 [ 1.464  -0.2564 -0.5807  1.0225  0.4415]\n2 [ 1.0225  0.2986 -2.1072  1.1642  0.1417]\n3 [ 1.1642  0.0434 -1.5064  1.193   0.0288]\n4 [ 1.1930e+00  1.6176e-03 -1.3948e+00  1.1941e+00  1.1597e-03]\n5 [ 1.1941e+00  2.5498e-06 -1.3904e+00  1.1942e+00  1.8338e-06]\nra\u00edz en:  1.1941511721543987<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 1Eva_IT2010_T2_MN Uso de televisores\nimport numpy as np\n\ndef newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, iteramax=100,\n                   vertabla=False, precision=4):\n    '''fx y dfx en forma num\u00e9rica lambda\n    xi es el punto inicial de b\u00fasqueda\n    si no converge hasta iteramax iteraciones\n    la respuesta es NaN (Not a Number)\n    '''\n    itera=0\n    xi = x0\n    tramo = abs(2*tolera)\n    if vertabla==True:\n        print('m\u00e9todo de Newton-Raphson')\n        print('i', ['xi','fi','dfi', 'xnuevo', 'tramo'])\n        np.set_printoptions(precision)\n    while (tramo>=tolera):\n        fi = fx(xi)\n        dfi = dfx(xi)\n        xnuevo = xi - fi\/dfi\n        tramo = abs(xnuevo-xi)\n        if vertabla==True:\n            print(itera,np.array([xi,fi,dfi,xnuevo,tramo]))\n        xi = xnuevo\n        itera = itera + 1\n \n    if itera>=iteramax:\n        xi = np.nan\n        print('itera: ',itera,\n              'No converge,se alcanz\u00f3 el m\u00e1ximo de iteraciones')\n \n    return(xi)\n\n\n# INGRESO\nfx  = lambda x: -3.13469387755102*x*np.exp(-8*x\/7) \\\n      + 2.74285714285714*np.exp(-8*x\/7) \\\n      + 13.7142857142857*np.exp(-24*x\/7)*np.sin(12*x\/7) \\\n      - 6.85714285714286*np.exp(-24*x\/7)*np.cos(12*x\/7)\ndfx = lambda x: (3.58250728862974*x - 6.26938775510204 \\\n                 - 35.265306122449*np.exp(-16*x\/7)*np.sin(12*x\/7) \\\n                 + 47.0204081632653*np.exp(-16*x\/7)*np.cos(12*x\/7))*np.exp(-8*x\/7)\n\nx0 = 0.5\ntolera = 0.0001\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi = newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, vertabla=True)\n# SALIDA\nprint('ra\u00edz en: ', xi)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2010TI_T2_MN Uso de televisores Para la funci\u00f3n dada: 0\u2264x\u22644 literal a El enunciado indica encontrar el m\u00e1ximo y luego el m\u00ednimo, por lo que la curva bajo an\u00e1lisis es la derivada de la funci\u00f3n dp(x)\/dx. Adicionalmente, para encontrar los puntos se requiere usar el m\u00e9todo de Newton-Raphson que corresponden a las ra\u00edces de dp(x)\/dx. […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[44],"tags":[58,54],"class_list":["post-1432","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva10","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1432","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1432"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1432\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23795,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1432\/revisions\/23795"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1432"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1432"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1432"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}