fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi 5.1-1 p495, Oppenheim 10.3 p757, Hsu 4.5.D p174<\/p>\n\n\n\n Muchas de las transformadas X(z) de inter\u00e9s en la pr\u00e1ctica son funciones racionales, que pueden ser expresadas como la suma de fracciones parciales, cuyas transformadas inversas pueden ser encontradas r\u00e1pidamente en la tabla de transformadas.<\/p>\n\n\n\n Se busca evitar realizar el integral en el plano complejo requerido para encontrar la transformada inversa de z.<\/p>\n\n\n\n El m\u00e9todo de las fracciones parciales es pr\u00e1ctico porque cada x[n] transformable se define para n\u22650, existe su correspondiente X[z] definida para |z|>r0<\/sub> y viceversa. (r0<\/sub> es constante)<\/p>\n\n\n\n Para desarrollar y probar el algoritmo con Sympy-Python, se usar\u00e1 el desarrollo de los tres ejercicios siguientes, con polos \u00fanicos, repetidos y complejos. El algoritmo final del literal c integra las soluciones anteriores.<\/p>\n\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi Ejercicio 5.3a p495. Hsu. ejercicio 4.29 p198<\/p>\n\n\n\n Realice la expansi\u00f3n en fracciones parciales de,<\/p>\n\n\n\n X[z] = \\frac{8z-19}{(z-2)(z-3)}<\/span>\n\n\n\n Se puede encontrar que,<\/p>\n\n\n\n X[z] = \\frac{3}{(z-2)}+\\frac{5}{(z-3)}<\/span>\n\n\n\n de la tabla de transformadas z<\/a> se tiene,<\/p>\n\n\n\n x[n] = [3(2)^{n-1} +5(3)^{n-1}] \\mu [n-1]<\/span>\n\n\n\n Que tiene una entrada con t\u00e9rminos multiplicadas por \u03bc[n-1], que es un inconveniente y no deseable. Se prefieren las transformadas respecto a \u03bc[n].<\/p>\n\n\n\n Observando la tabla de transformadas z<\/a> entre los \u00edtems 6a y 7, se tiene que si la se\u00f1al X[n] es multiplicada por u[n], el numerador tiene un factor z. Esto se consigue expandiendo en fracciones parciales X[z]\/z que son fracciones parciales modificadas<\/strong> cuando se tiene un factor z en el numerador y luego se restauran multiplicando el todo el resultado por z.<\/p>\n\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{8z-19}{z(z-2)(z-3)}<\/span>\n\n\n\n =\\frac{-19\/6}{z} + \\frac{3\/2}{z-2} + \\frac{5\/3}{z-3}<\/span>\n\n\n\n que al multiplicar ambos lados por z, se obtiene,<\/p>\n\n\n\n X[z] =\\frac{-19}{6} + \\frac{3}{2}\\frac{z}{z-2} + \\frac{5}{3}\\frac{z}{z-3}<\/span>\n\n\n\n y usando la tabla de transformadas z<\/a> se obtiene:<\/p>\n\n\n\n x[n] = \\frac{-19}{6} \\delta [n] + \\Big[ \\frac{3}{2}(2)^n + \\frac{5}{3}(3)^n \\Big] \\mu[n] <\/span>\n\n\n\n que es el resultado esperado y con respuesta equivalente al resolver con algoritmo iterativo para n=0,1,2,3,...<\/p>\n\n\n\n Por este motivo, es recomendable siempre expandir en fracciones parciales X[z]\/z en lugar de solo X[z], pues tiene un factor z en el numerador.<\/p>\n\n\n\n Para realizar el ejercicio, debemos considerar usar Sympy. Las operaciones se realizan al dividir X[x]\/z y simplificar la nueva expresi\u00f3n Xzz, luego una expansi\u00f3n Xzp. El resultado se multiplica t\u00e9rmino a t\u00e9rmino por z y de a\u00f1aden a la expresi\u00f3n total Xzfp.<\/p>\n\n\n\n El bloque de ingreso que se modifica para cada caso es:<\/p>\n\n\n\n El resultado obtenido es:<\/p>\n\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi Ejercicio 5.3b p495<\/p>\n\n\n\n Realice la expansi\u00f3n en fracciones parciales de,<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{z(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}}<\/span>\n\n\n\n Antes de realizar la expansi\u00f3n en fracciones parciales, se divide ambos lados de la expresi\u00f3n para z. Es decir se usa fracciones parciales modificadas<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{1}{z}\\frac{z(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}}<\/span>\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}}<\/span>\n\n\n\n donde el modelo de las fracciones parciales a aplicar es:<\/p>\n\n\n \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \\frac{k}{z-1} + \\frac{a_0}{(z-2)^3} + \\frac{a_1}{(z-2)^2} + \\frac{a_2}{(z-2)}<\/span>\n\n\n\n Para encontrar las constantes, se eval\u00faa la expresi\u00f3n de la izquierda con los valores de cada ra\u00edz del denominador, en cada caso se obvia el t\u00e9rmino de la ra\u00edz en el denominador,<\/p>\n\n\n k = \\frac{(2z^2-11z+12)}{\\cancel{z-1}(z-2)^{3}} \\Bigg|_{z=1} = \\frac{(2(1)^2-11(1)+12)}{((1)-2)^{3}} = -3 <\/span>\n\n\n a_0 = \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)\\cancel{(z-2)^{3}}}\\Bigg|_{z=2} = \\frac{(2(2)^2-11(2)+12)}{((2)-1)} = -2 <\/span>\n\n\n\n con lo que la expresi\u00f3n modelo se convierte en:<\/p>\n\n\n \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \\frac{-3}{z-1} + \\frac{-2}{(z-2)^3} + \\frac{a_1}{(z-2)^2} + \\frac{a_2}{(z-2)}<\/span>\n\n\n\n Una forma de resolver es por ejemplo para a2<\/sub>, multiplicar ambos lados por z y hacer que z\u2192\u221e<\/p>\n\n\n \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} z = z \\Big[\\frac{-3}{z-1} + \\frac{-2}{(z-2)^3} + \\frac{a_1}{(z-2)^2} + \\frac{a_2}{(z-2)}\\Big] <\/span>\n\n\n \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} z = \\frac{-3z}{z-1} + \\frac{-2z}{(z-2)^3} + \\frac{a_1z}{(z-2)^2} + \\frac{a_2z}{(z-2)}\\Big] <\/span>\n\n\n 0 = \\frac{-3}{1-1\/z} + \\frac{-2z}{(z-2)^3} + \\frac{a_1z}{(z-2)^2} + \\frac{a_2}{(1-2\/z)}\\Big] <\/span>\n\n\n 0 = -3 + (0) + (0) + a_2 <\/span>\n\n\n a_2 =3<\/span>\n\n\n\n quedando solamente una inc\u00f3gnita a1<\/sub> por resolver,<\/p>\n\n\n \\frac{(2z^2-11z+12)}{(z-1)(z-2)^{3}} = \\frac{-3}{z-1} + \\frac{-2}{(z-2)^3} + \\frac{a_1}{(z-2)^2} + \\frac{3}{(z-2)}<\/span>\n\n\n\n El valor de a1<\/sub> se puede determinar haciendo z tomar un valor conveniente, es decir z=0 en ambos lados de la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n \\frac{(2(0)^2-11(0)+12)}{((0)-1)((0)-2)^{3}} = \\frac{-3}{(0)-1} + \\frac{-2}{((0)-2)^3} + \\frac{a_1}{((0)-2)^2} + \\frac{3}{((0)-2)}<\/span>\n\n\n \\frac{12}{(-1)(-8)} = \\frac{-3}{-1} + \\frac{-2}{-8} + \\frac{a_1}{4} + \\frac{-3}{-2}<\/span>\n\n\n \\frac{3}{2} = 3 + \\frac{1}{4} + \\frac{a_1}{4} - \\frac{3}{2}<\/span>\n\n\n \\frac{6}{2} - \\frac{13}{4}= \\frac{a_1}{4} <\/span>\n\n\n -\\frac{1}{4}= \\frac{a_1}{4} <\/span>\n\n\n a_1 = -1 <\/span>\n\n\n\n completando la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{-3}{z-1} + \\frac{-2}{(z-2)^3} + \\frac{-1}{(z-2)^2} + \\frac{3}{(z-2)}<\/span>\n\n\n\n teniendo finalmente X[z] al multiplicar ambos lados por z,<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{-3z}{z-1} + \\frac{-2z}{(z-2)^3} + \\frac{-1z}{(z-2)^2} + \\frac{3z}{(z-2)}<\/span>\n\n\n\n y usando la tabla de transformadas z<\/a> se obtiene:<\/p>\n\n\n x[n] = \\Big[-3 -2 \\frac{n(n-1)}{8}(2)^n - \\frac{n}{2}(2)^n + 3(2)^n \\Big] \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n simplificando un poco:<\/p>\n\n\n x[n] = \\Big[-3 -\\Big(\\frac{n(n-1)}{4} + \\frac{n}{2} - 3\\Big)(2)^n \\Big] \\mu [n]<\/span>\n\n\n x[n] = -\\Big[3 +\\frac{1}{4}(n^2 + n-12)(2)^n \\Big] \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n Usando el algoritmo en Python anterior, el bloque de ingreso cambia a:<\/p>\n\n\n\n con el resultado:<\/p>\n\n\n\n comparando con el resultado anal\u00edtico es el mismo.<\/p>\n\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi Ejercicio 5.3c p495<\/p>\n\n\n\n Realice la expansi\u00f3n en fracciones parciales de,<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{2 z(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)}<\/span>\n\n\n\n Se realiza la separaci\u00f3n en fracciones parciales modificadas<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{2(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)}<\/span>\n\n\n\n usando el m\u00e9todo \"cubrir\" de Heaviside se tiene que :<\/p>\n\n\n k = \\frac{2(3z+17)}{\\cancel{(z-1)}(z^2 - 6z+25)} \\Big|_{z=1}=2<\/span>\n\n\n\n queda por resolver la segunda parte de la fracci\u00f3n.<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z} = \\frac{2}{(z-1)}+\\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25}<\/span>\n\n\n\n Usando el m\u00e9todo de los factores cuadr\u00e1ticos<\/strong><\/em>, se multiplica ambos lados por z y z\u2192\u221e<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z}z= z\\frac{2}{(z-1)}+z\\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25}<\/span>\n\n\n 0 = \\frac{2}{(1-1\/z)}+\\frac{Az^2+Bz}{(z^2 - 6z+25)}<\/span>\n\n\n 0 = \\frac{2}{(1-1\/z)}+\\frac{A+B\\frac{1}{z}}{\\frac{1}{z^2}(z^2 - 6z+25)}<\/span>\n\n\n 0 = \\frac{2}{(1-1\/z)}+\\frac{A+B\\frac{1}{z}}{1 - 6\\frac{1}{z}+25\\frac{1}{z^2}}<\/span>\n\n\n 0 = 2+A<\/span>\n\n\n\n con lo que A = -2 , para encontrar B se usa un valor conveniente de z=0<\/p>\n\n\n \\frac{2 z(3z+17)}{(z-1)(z^2 - 6z+25)} = \\frac{2}{(z-1)}+\\frac{Az+B}{z^2 - 6z+25}<\/span>\n\n\n \\frac{2 (0+17)}{(0-1)(0^2 - 6(0)+25)} = \\frac{2}{((0)-1)}+\\frac{-2(0)+B}{(0^2 - 6(0)+25)}<\/span>\n\n\n \\frac{34}{-25} = +\\frac{2}{-1}+\\frac{B}{25}<\/span>\n\n\n -\\frac{34}{25} + 2=\\frac{B}{25}<\/span>\n\n\n-34+ 2(25) = B <\/span>\n\n\n\n con lo que B=16<\/p>\n\n\n \\frac{X[z]}{z}= \\frac{2}{(z-1)}+\\frac{-2z+16}{z^2 - 6z+25}<\/span>\n\n\n X[z]= \\frac{2}{(z-1)}+\\frac{z(-2z+16)}{z^2 - 6z+25}<\/span>\n\n\n\n con lo que es posible usar la tabla de transformadas z usando los \u00edtems 2a y 12c. Para 12c los valores de A = -2, B = 16, |\u03b3| =5 y a=-3.<\/p>\n\n\n\n r = \\sqrt{\\frac{(-2)^2 (5)^2+(16)^2-2(-2)(-3)(16)}{(5^2 -(-3)^2}} <\/span> = \\sqrt{\\frac{100+256-192}{25-9}} =3.2 <\/span><\/p>\n\n\n \\beta = \\cos^{-1} \\Big(\\frac{-(-3)}{5} \\Big) = 0.927 <\/span>\n\n\n \\theta = \\tan^{-1} \\Bigg(\\frac{(-2)(-3)-16}{(-2)\\sqrt{(5^2 -(-3)^2}}\\Bigg) = \\tan^{-1}\\Big( \\frac{-10}{-8}\\Big) = -2.246 <\/span>\n\n\n\n reemplazando en la transformada, se encuentra x[n].<\/p>\n\n\n x[n] = [2+3.2(5)^n \\cos(0.927n-2.246)] \\mu [n] <\/span>\n\n\n\n pasamos a probar el algoritmo, donde se encuentra que para el denominador hay ra\u00edces complejas. <\/p>\n\n\n\n Otra forma de observar es que las funciones parciales a\u00fan entregan resultados con t\u00e9rminos que tienen el denominador con grado 2. Donde hay que usar expresiones de la tabla de transformadas.<\/p>\n\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El algoritmo inicia de la misma forma que en la secci\u00f3n anterior. Ahora hay que revisar el grado del denominador en cada t\u00e9rmino. Si es de grado 2, se calculan los valores de r, \u03b2 y \u03b8 para armar las transformada a partir de la tabla.<\/p>\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n resultado del algoritmo, para el ejercicio de polos complejos.<\/p>\n\n\n\n Se presenta el concepto de uso de la funci\u00f3n busca_polosceros_z(Fz) , sin embargo luego se implementa junto con la b\u00fasqueda de polos representados por una variable s\u00edmbolo en telg1001.py:<\/p>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Instrucciones adicionales al algoritmo anterior, la funci\u00f3n se incorpora a telg1001.py<\/p>\n\n\n\n fracci\u00f3n parcial z<\/a><\/p>\n\n\n\n polos:<\/p>\n\n\n\n no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Fracciones parciales modificadas z<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio. Polos no repetidos o diferentes<\/h2>\n\n\n\n
2.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n
Pz = 8*z-19\nQz = (z-2)*(z-3)<\/code><\/pre>\n\n\n\n Xz:\n 8*z - 19 \n---------------\n(z - 3)*(z - 2)\n\n Xz\/z:\n 8*z - 19 \n----------------\nz*(z - 3)*(z - 2)\n\n Xz\/z.apart:\n 3 5 19\n--------- + --------- - ---\n2*(z - 2) 3*(z - 3) 6*z\n\n Xz = (Xz\/z)*z\n 3*z 5*z 19\n--------- + --------- - --\n2*(z - 2) 3*(z - 3) 6 \n\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\nInstrucciones en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# Polos \u00fanicos, repetidos y complejos\n# Lathi Ejercicio 5.3a pdf495\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\n\nPz = 8*z-19\nQz = (z-2)*(z-3)\nXz = Pz\/Qz\n\n# PROCEDIMIENTO\nFz = sym.simplify(Xz)\n# fracciones parciales modificadas\nFzz = (Fz)\/z\nFzm = Fzz.apart()\n# fracciones parciales restaurada\nterminos = Fzm.args\nFzp = 0*z\nfor untermino in terminos:\n Fzp = Fzp + untermino*z\n\n# SALIDA\nprint('\\n Xz:')\nsym.pprint(Xz)\nprint('\\n Xz\/z:')\nsym.pprint(Fzz)\nprint('\\n Xz\/z.apart:')\nsym.pprint(Fzm)\nprint('\\n Xz = (Xz\/z)*z')\nsym.pprint(Fzp)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Ejercicio. Polos repetidos<\/h2>\n\n\n\n
Pz = z*(2*z**2-11*z+12)\nQz = (z-1)*(z-2)**3<\/code><\/pre>\n\n\n\n Xz:\n \/ 2 \\\nz*\\2*z - 11*z + 12\/\n--------------------\n 3 \n (z - 2) *(z - 1) \n\n Xz\/z:\n 2 \n2*z - 11*z + 12\n----------------\n 3 \n(z - 2) *(z - 1)\n\n Xz\/z.apart:\n 3 3 1 2 \n- ----- + ----- - -------- - --------\n z - 1 z - 2 2 3\n (z - 2) (z - 2) \n\n Xz = (Xz\/z)*z\n 3*z 3*z z 2*z \n- ----- + ----- - -------- - --------\n z - 1 z - 2 2 3\n (z - 2) (z - 2) \n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Ejercicio. Polos complejos<\/h2>\n\n\n\n
Pz = 2(3<\/em>z+17)
Qz = (z-1)(z<\/em>2-6<\/em>z+25)<\/code><\/pre>\n\n\n\n Xz:\n 2*z*(3*z + 17) \n-----------------------\n \/ 2 \\\n(z - 1)*\\z - 6*z + 25\/\n\n Xz en fracciones parciales\n 2*z*(z - 8) 2*z \n- ------------- + -----\n 2 z - 1\n z - 6*z + 25 \nparametros cuadraticos: \n-2*z*(z - 8)\/(z**2 - 6*z + 25) :\nr \t 3.2015621187164243\ngamma \t 5.0\nbeta \t 0.9272952180016123\ntheta \t 0.8960553845713439\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n5. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# Polos \u00fanicos, repetidos y complejos\n# Lathi Ejercicio 5.3a pdf495\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad7\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\n\nPz = 2*z*(3*z+17)\nQz = (z-1)*(z**2-6*z+25)\n\n#Pz = z*(2*z**2-11*z+12)\n#Qz = (z-1)*(z-2)**3\n\n##Pz = 8*z-19\n##Qz = (z-2)*(z-3)\nXz = Pz\/Qz\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef apart_z(Fz):\n ''' fracciones parciales en dominio z\n modifica con factor 1\/z\n '''\n Fz = sym.simplify(Fz)\n # fracciones parciales modificadas con 1\/z\n Fzz = (Fz)\/z\n Fzm = sym.apart(Fzz,z)\n # restaura z\n term_suma = sym.Add.make_args(Fzm)\n Fzp = 0*z\n for term_k in term_suma:\n Fzp = Fzp + term_k*z\n return(Fzp)\n\ndef Q_cuad_z_parametros(Fz):\n ''' parametros cuadraticos en dominio z\n '''\n\n def Q_cuad_z_term(untermino):\n ''' parametros cuadraticos en dominio z\n de un termino de fraccin parcial\n '''\n unparametro ={}\n # revisa denominador cuadratico\n [numerador,denominador] = (untermino).as_numer_denom()\n gradoD = 0\n coeficientesD = denominador\n gradoN = 0\n coeficientesN = numerador\n if not(denominador.is_constant()):\n denominador = denominador.as_poly()\n gradoD = denominador.degree()\n coeficientesD = denominador.coeffs()\n if not(numerador.is_constant()):\n numerador = numerador.as_poly()\n gradoN = numerador.degree()\n coeficientesN = numerador.coeffs()\n if gradoD == 2 and gradoN==2:\n a = float(coeficientesD[1])\/2\n gamma2 = float(coeficientesD[2])\n gamma = np.sqrt(gamma2)\n A = float(coeficientesN[0])\n B = float(coeficientesN[1])\n rN = (A**2)*gamma2 + B**2 - 2*A*a*B\n rD = gamma2 - a**2\n r = np.sqrt(rN\/rD)\n beta = np.arccos(-a\/gamma)\n thetaN = A*a-B\n thetaD = A*np.sqrt(gamma2-a**2)\n theta = np.arctan(thetaN\/thetaD)\n unparametro = {'r':r,\n 'gamma':gamma,\n 'beta':beta,\n 'theta':theta}\n return(unparametro)\n\n Fz = apart_z(Fz)\n # parametros denominador cuadratico\n Qs2 = {}\n term_suma = sym.Add.make_args(Fz)\n for term_k in term_suma:\n Qs2_k = Q_cuad_z_term(term_k)\n if len(Qs2_k)>0:\n Qs2[term_k] = Qs2_k\n return(Qs2)\n\nFz = apart_z(Xz)\nQs2 = Q_cuad_z_parametros(Fz)\n\n# SALIDA\nprint('\\n Xz:')\nsym.pprint(Xz)\nprint('\\n Xz en fracciones parciales')\nsym.pprint(Fz)\nif len(Qs2)>0:\n print('parametros cuadraticos: ')\n for Qs2_k in Qs2:\n print(Qs2_k,':')\n for cadauno in Qs2[Qs2_k].keys():\n print(cadauno,'\\t',Qs2[Qs2_k][cadauno])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n6. Algoritmo con busca_polosceros_z() y gr\u00e1dicas con gr\u00e1fica<\/h2>\n\n\n\n
_Fz_as_PQ_roots(Fz,z)<\/code><\/pre>\n\n\n\n Hz:\n 2\u22c5z\u22c5(3\u22c5z + 17) \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n \u239b 2 \u239e\n(z - 1)\u22c5\u239dz - 6\u22c5z + 25\u23a0\nfracciones parciales z:\n z\u22c5(16 - 2\u22c5z) 2\u22c5z \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2 z - 1\nz - 6\u22c5z + 25 \n\npolos: {1: 1, 3 - 4*I: 1, 3 + 4*I: 1}\nceros: {-17\/3: 1, 0: 1}\n\nparametros cuadraticos: \nz*(16 - 2*z)\/(z**2 - 6*z + 25) :\nr : 3.2015621187164243\ngamma : 5.0\nbeta : 0.9272952180016123\ntheta : 0.8960553845713439<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Transformada z- Fracciones parciales\n# Polos \u00fanicos, repetidos y complejos\n# Lathi Ejercicio 5.3a pdf495\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/#unidad7\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\n \n# INGRESO\nz = sym.Symbol('z')\n \n# Pz = z**2\n# Qz = (z-0.7)*(z+0.5)\n\n\n#Pz = 8*z-19\n#Qz = (z-2)*(z-3)\n\n#Pz = z*(2*z**2-11*z+12)\n#Qz = (z-1)*(z-2)**3\n\nPz = 2*z*(3*z+17)\nQz = (z-1)*(z**2-6*z+25)\n\nHz = Pz\/Qz\n \n# PROCEDIMIENTO \nFz = ss.apart_z(Hz)\nQs2 = ss.Q_cuad_z_parametros(Fz)\n\ndef busca_polosceros_z(Fz):\n def polosceros_simple(Hs):\n ''' Busca_polo de un termino sin exp(-a*s)\n '''\n Hs = sym.simplify(Hs,inverse=True)\n # Hs deber\u00eda ser un solo termino suma\n Hs_factor = sym.factor(Hs,z)\n # polos y ceros de termino Hs\n [P,Q] = Hs_factor.as_numer_denom()\n P = sym.poly(P,z) # numerador\n Q = sym.poly(Q,z) # denominador\n P_ceros = sym.roots(P)\n Q_polos = sym.roots(Q)\n respuesta = {'Q_polos' : Q_polos,\n 'P_ceros' : P_ceros}\n return(respuesta)\n\n # polos y ceros\n polosceros = {} ; \n term_sum = sym.Add.make_args(Fz)\n for term_k in term_sum:\n PZ_k = polosceros_simple(term_k)\n polosceros[term_k] = PZ_k\n # integra polos\n Q_polos = {} ; P_ceros = {}\n P_ceros = polosceros_simple(Fz)\n for term_k in polosceros:\n polos = polosceros[term_k]['Q_polos']\n for unpolo in polos:\n if unpolo in Q_polos:\n veces = max([Q_polos[unpolo],polos[unpolo]])\n Q_polos[unpolo] = veces\n else:\n Q_polos[unpolo] = polos[unpolo]\n PZ_k = polosceros_simple(Fz)\n P_ceros = PZ_k['P_ceros']\n return([Q_polos,P_ceros])\n\n[Q_polos,P_ceros] = busca_polosceros_z(Fz)\n\n\n# SALIDA\nprint('\\n Hz:')\nsym.pprint(Hz)\nprint('fracciones parciales z:')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\npolos:',Q_polos)\nprint('ceros:',P_ceros)\nif len(Qs2)>0:\n print('\\nparametros cuadraticos: ')\n for unterm in Qs2:\n print(unterm,':')\n for unparam in Qs2[unterm]:\n print(unparam,':',Qs2[unterm][unparam])\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n7. Gr\u00e1fica en Python de polos y ceros<\/h2>\n\n\n\n
![\"fracciones](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/fraccionesParcialesZPolosZerosgraf.png\")
<\/figure>\n\n\n\n# GRAFICAR polos y ceros en z\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef graficar_Fz_polos(Fz,Q_polos={},P_ceros={},\n z_a=1,z_b=0,muestras=101,f_nombre='F',\n solopolos=False,precision=4,casicero=1e-10):\n ''' polos y ceros plano z imaginario\n '''\n fig_zROC, graf_ROC = plt.subplots()\n # limite con radio 1\n radio1 = plt.Circle((0,0),1,color='lightsalmon',\n fill=True)\n radio2 = plt.Circle((0,0),1,linestyle='dashed',\n color='red',fill=False)\n graf_ROC.add_patch(radio1)\n for unpolo in Q_polos.keys():\n [r_real,r_imag] = unpolo.as_real_imag()\n unpolo_radio = np.abs(unpolo)\n unpolo_ROC = plt.Circle((0,0),unpolo_radio,\n color='lightgreen',fill=True)\n graf_ROC.add_patch(unpolo_ROC)\n graf_ROC.add_patch(radio2) # borde r=1\n graf_ROC.axis('equal')\n # marcas de r=1 y polos\n for unpolo in Q_polos.keys():\n x_polo = np.round(float(sym.re(unpolo)),precision)\n y_polo = np.round(float(sym.im(unpolo)),precision)\n etiq_polo = x_polo\n if y_polo>casicero:\n etiq_polo= etiq_plo+1j*y_polo\n etiqueta = 'polo: '+str(etiq_polo)\n graf_ROC.scatter(x_polo,y_polo,marker='x',\n color='red',label = etiqueta)\n etiqueta = "("+str(x_polo) +','+str(y_polo)+")"\n plt.annotate(etiqueta,(x_polo,y_polo), rotation=45)\n # marcas de ceros\n for uncero in P_ceros.keys():\n x_cero = np.round(float(sym.re(uncero)),precision)\n y_cero = np.round(float(sym.im(uncero)),precision)\n etiq_cero = x_cero\n if y_cero>casicero:\n etiq_cero= etiq_plo+1j*y_cero\n etiqueta = 'cero: '+str(etiq_cero)\n graf_ROC.scatter(x_cero,y_cero,marker='o',\n color='blue',label = etiqueta)\n etiqueta = "("+str(x_cero) + ','+str(y_cero)+")"\n plt.annotate(etiqueta,(x_cero,y_cero), rotation=45)\n # limita radio 1\n graf_ROC.plot(1,0,'o',color='red',\n label ='radio:'+str(1))\n graf_ROC.axhline(0,color='grey')\n graf_ROC.axvline(0,color='grey')\n graf_ROC.grid()\n graf_ROC.legend()\n graf_ROC.set_xlabel('Re[z]')\n graf_ROC.set_ylabel('Imag[z]')\n untitulo = r'ROC '+f_nombre+'[z]=$'\n untitulo = untitulo+str(sym.latex(Fz))+'$'\n graf_ROC.set_title(untitulo)\n return(fig_zROC)\n\n# para graficar polos y ceros\nf_nombre = 'H' # nombre de funci\u00f3n[z]: H,X,Y, etc\n# grafica de polos y zeros\nfig_ROC = ss.graficar_Fz_polos(Hz,Q_polos,P_ceros,\n muestras=101,f_nombre=f_nombre)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n