{"id":1463,"date":"2017-08-22T09:20:42","date_gmt":"2017-08-22T14:20:42","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=1463"},"modified":"2026-04-06T06:31:22","modified_gmt":"2026-04-06T11:31:22","slug":"transformada-z-ecuacion-diferencias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u07\/transformada-z-ecuacion-diferencias\/","title":{"rendered":"7.4 Transformada z - y[n] ecuaci\u00f3n de diferencias"},"content":{"rendered":"\n

La transformada z convierte las ecuaciones de diferencias en expresiones algebraicas que permiten encontrar soluciones en el dominio z. A partir de las soluciones en el dominio z, se aplica la transformada inversa z que lleva a la soluci\u00f3n en el dominio del tiempo<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 5.5 p510<\/p>\n\n\n\n

Resolver<\/p>\n\n\n\n

y[n+2] - 5 y[n+1] + 6 y[n]  = 3 x[n+1] + 5 x[n]<\/p>\n\n\n\n

con las condiciones iniciales y[-1]=11\/16, y[-2]=37\/36,
ante una entrada x[n]=(2)-n<\/sup>\u03bc[n]<\/p>\n\n\n\n

2. Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Usando la propiedad de desplazamiento de 2 unidades a la derecha.<\/p>\n\n\n\n

y[n] - 5 y[n-1] +6 y[n-2]  = 3 x[n-1] + 5 x[n-2]<\/p>\n\n\n\n

se aplica la transformada z, teniendo en cuenta que y[n-k]<\/code> significa y[n-k]\u03bc[n]<\/code>, pues consideramos solamente la situaci\u00f3n de n\u22650, y[n] esta presente incluso antes de n=0.<\/p>\n\n\n\n

Teniendo as\u00ed que,<\/p>\n\n\n y[n] \u03bc[n] \\Leftrightarrow Y[z] <\/span>\n\n\n y[n-1] \u03bc[n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z} Y[z] + y[-1] = \\frac{1}{z} Y[z] + \\frac{11}{6} <\/span>\n\n\n y[n-1] \u03bc[n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z} Y[z] + \\frac{11}{6} <\/span>\n\n\n y[n-2] \u03bc[n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z^2} Y[z] + \\frac{1}{z}y[-1] + y[-2] <\/span>\n\n\n y[n-2] \\mu [n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z^2} Y[z] + \\frac{1}{z}\\frac{11}{6} +\\frac{37}{36} <\/span>\n\n\n\n

Conociendo que para una entrada causal<\/strong> x[n]<\/p>\n\n\n\n

x[-1] = x[-2] = ... = x[-n] = 0<\/p>\n\n\n\n

se tiene que:<\/p>\n\n\n x[n] = (2)^{-n} \\mu [n] = (2^{-1})^n \\mu [n] = (0.5)^n \\mu [n] \\Leftrightarrow \\frac{z}{z-0.5}<\/span>\n\n\n x[n-1] \\mu [n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z}X[z] +x[-1] = \\frac{1}{z}\\frac{z}{z-0.5} +0= \\frac{1}{z-0.5}<\/span>\n\n\n x[n-2] \\mu [n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z^2}X[z] + \\frac{1}{z}x[-1] + x[-2] = <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{z^2} \\frac{z}{z-0.5} + (0) + (0) = \\frac{1}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n\n

en general, para una entrada causal<\/strong><\/em>:<\/p>\n\n\n x[n-r] \\mu [n] \\Leftrightarrow \\frac{1}{z^r}X[z]<\/span>\n\n\n\n

tomando los resultados anteriores y reemplazado en la ecuaci\u00f3n inicial, de tiene<\/p>\n\n\n Y[z] - 5 \\Bigg[ \\frac{1}{z} Y[z] + \\frac{11}{6}\\Bigg] + 6 \\Bigg[\\frac{1}{z^2} Y[z] + \\frac{1}{z}\\frac{11}{6} +\\frac{37}{36} \\Bigg] =<\/span>\n\n\n = 3\\frac{1}{z-0.5}+5\\frac{1}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n\n

reagrupando t\u00e9rminos Y[z] y reordenando,<\/p>\n\n\n \\Bigg(1 - 5 \\frac{1}{z} + 6 \\frac{1}{z^2}\\Bigg) Y[z] +\\Bigg(-5\\frac{11}{6}+ \\frac{1}{z}\\frac{11}{6}6 +6\\frac{37}{36} \\Bigg) =<\/span>\n\n\n = 3\\frac{1}{z-0.5}+5\\frac{1}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n \\Bigg(1 - 5 \\frac{1}{z} + 6 \\frac{1}{z^2}\\Bigg) Y[z] + \\Bigg(-3 + \\frac{11}{z} \\Bigg) = 3\\frac{1}{z-0.5}+5\\frac{1}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n \\Bigg(1 - 5 \\frac{1}{z} + 6 \\frac{1}{z^2}\\Bigg) Y[z] = -\\Bigg(-3 + \\frac{11}{z} \\Bigg) + 3\\frac{1}{z-0.5}+5\\frac{1}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n\n

En el lado derecho se muestran t\u00e9rminos generados por una respuesta natural y una respuesta forzada. Dicho de otra forma, se muestran t\u00e9rminos generados por las condiciones iniciales y por la se\u00f1al x[n].<\/p>\n\n\n\n

reagrupando el lado derecho en forma de numerador y denominador<\/p>\n\n\n \\Bigg(1 - 5 \\frac{1}{z} + 6 \\frac{1}{z^2}\\Bigg) Y[z] = \\frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)} <\/span>\n\n\n\n

se puede reescribir, multiplicando cada lado por z2<\/sup><\/p>\n\n\n z^2\\Bigg(1 - 5 \\frac{1}{z} + 6 \\frac{1}{z^2}\\Bigg) Y[z] = z^2 \\Bigg[\\frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)} \\Bigg] <\/span>\n\n\n (z^2 - 5 z + 6) Y[z] = \\frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)} <\/span>\n\n\n Y[z] = \\frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)(z^2 - 5 z + 6)} <\/span>\n\n\n\n

se aplica fracciones parciales, usando el algoritmo de la secci\u00f3n Transformada z-fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n Y[z] = \\frac{26}{15}\\frac{z}{z-0.5} - \\frac{7}{3}\\frac{z}{z-2} + \\frac{18}{5}\\frac{z}{z-3} <\/span>\n\n\n\n

usando la tabla de transformadas z<\/a>, se obtiene como respuesta en el tiempo discreto<\/p>\n\n\n y[n] = \\Bigg[ \\frac{26}{15}(0.5)^n - \\frac{7}{3}(2)^n + \\frac{18}{5}(3)^n \\Bigg] \\mu [n]<\/span>\n\n\n\n

\"Yz_ZIR_ZSR_graf01\"<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La transformada z convierte las ecuaciones de diferencias en expresiones algebraicas que permiten encontrar soluciones en el dominio z. A partir de las soluciones en el dominio z, se aplica la transformada inversa z que lleva a la soluci\u00f3n en el dominio del tiempo 1. Ejercicio Referencia: Lathi Ejemplo 5.5 p510 Resolver y[n+2] - 5 […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[177],"tags":[],"class_list":["post-1463","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u07"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1463","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1463"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1463\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":24044,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1463\/revisions\/24044"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1463"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1463"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1463"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}