{"id":1477,"date":"2017-06-05T09:30:27","date_gmt":"2017-06-05T14:30:27","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1477"},"modified":"2026-02-11T16:06:28","modified_gmt":"2026-02-11T21:06:28","slug":"metodo-gauss-jordan","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u03\/metodo-gauss-jordan\/","title":{"rendered":"3.4 M\u00e9todo de Gauss-Jordan con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Gauss-Jordan<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Elimina atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. M\u00e9todo de Gauss-Jordan<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Chapra 9.7 p277, Burden 9Ed Ex6.1.12 p370, Rodr\u00edguez 4.2 p106<\/p>\n\n\n\n

El m\u00e9todo de Gauss-Jordan presenta un procedimiento alterno al de \"sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s\" realizado para el m\u00e9todo de Gauss<\/a>. Luego de obtener la \"matriz triangular superior\", aplica el procedimiento de \"Eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s\".<\/p>\n\n\n \\left( \\begin{array}{rrr|r} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & b_{0} \\\\ 0 & a_{1,1} & a_{1,2} & b_{1} \\\\ 0 & 0 & a_{2,2} & b_{2} \\end{array} \\right)<\/span>\n\n\n\n

Eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"elimina<\/figure>\n\n\n\n

Desde la \u00faltima fila,
<\/em>para i = n-1<\/strong>, n-2, ...
sobre las filas k = i-1<\/strong> superiores<\/p>\n\n\na_{k} = a_{k} -a_{i}\\frac{a_{ki}}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n

Se mantienen al inicio los procedimientos para:
matriz aumentada,
pivoteo parcial por filas<\/a>,
eliminaci\u00f3n hacia adelante desarrollados anteriormente.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Gauss-Jordan<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Elimina atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Rodr\u00edguez 4.0 p105,  1Eva2010TI_T3_MN Precio art\u00edculos<\/a><\/p>\n\n\n \\begin{cases} 4x_1+2x_2+5x_3 = 60.70 \\\\ 2x_1+5x_2+8x_3 = 92.90 \\\\ 5x_1+4x_2+3x_3 = 56.30 \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

\"Elimina<\/figure>\n\n\n\n

Se contin\u00faa con el ejercicio desarrollado para el m\u00e9todo de Gauss<\/a> desde la \"matriz triangular superior<\/strong>\",
luego de eliminaci\u00f3n hacia adelante:<\/p>\n\n\n\n

[[ 5.    4.    3.   56.3 ]\n [ 0.    3.4   6.8  70.38]\n [ 0.    0.    5.<\/span>   40.5 ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Gauss-Jordan<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Elimina atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/h2>\n\n\n\n
El procedimiento es semejante al realizado para \"eliminaci\u00f3n hacia adelante\", con la diferencia que se inicia en la \u00faltima fila<\/strong> hacia la primera. Para el ejercicio presentado se tiene que:<\/p>\n\n\n\n
utlfila = n-1 = 3-1 = 2\nultcolumna = m-1 = 4-1 = 3<\/code><\/pre>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 1, operaci\u00f3n fila 3 y 2<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n
Se aplica desde la \u00faltima fila i<\/strong>, para las otras filas k<\/strong> que se encuentran hacia atr\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n
i = ultfila = 2\npivote = AB[2,2] = 5<\/span>\nk = i-1 # hacia atr\u00e1s<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
se realizan las operaciones entre las filas i<\/strong> y la fila j<\/strong><\/p>\n\n\n\n
         [0.  3.4  6.8    70.38]\n-(6.8\/5<\/span>)*[0.  0.   5.     40.5 ]\n_______________________________\n       = [0.0 3.4  8.8e-16<\/span> 15.3]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
para reemplazar los valores de la segunda fila en la matriz aumentada<\/p>\n\n\n\n
[[5.0    4.0    3.0      56.3]\n [0.0    3.4    8.8e-16<\/span>  15.3]\n [0.0    0.0    5.0      40.5]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Observe que hay un valor muy peque\u00f1o del orden de 8.8x10-16<\/sup><\/span>, que para las otras magnitudes se puede considerar como casi cero<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 2, operaci\u00f3n fila 3 y 1<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n
Se calculan los nuevos valores de \u00edndice k<\/strong><\/p>\n\n\n\n
k = k-1 = 2-1 = 1 # hacia atr\u00e1s<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
se realizan las operaciones entre las filas i y la fila j<\/p>\n\n\n\n
       [5.0    4.0    3.0    56.3]\n-(3\/5<\/span>)*[0.0    0.0    5.0    40.5]\n__________________________________\n     = [5.0    4.0    0.0<\/span>    32.0]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que al actualizar la matriz aumentada se tiene:<\/p>\n\n\n\n
[[5.0    4.0    0.0<\/span>      32.0]\n [0.0    3.4    8.8e-16  15.3]\n [0.0    0.0    5.0      40.5]]}<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n
Al haber terminado las filas hacia arriba, 
se puede as\u00ed determinar el valor de x3<\/sub> al dividir la fila 3 para el pivote.<\/p>\n\n\n\n
[[5.0    4.0    0.0      32.0]\n [0.0    3.4    8.8e-16  15.3]\n [0.0    0.0    1.0<\/strong>       8.1]]}<\/code><\/pre>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 3, operaci\u00f3n fila 2 y 1<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
se actualizan los valores de los \u00edndices:<\/p>\n\n\n\n
i = i-1 = 2-1 = 1\nk = i-1 = 1-1 = 0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se pueden realizar operaciones en una sola fila hacia atr\u00e1s, por lo que el resultado hasta ahora es:<\/p>\n\n\n\n
         [5.0    4.0    0.0     32.0]\n-(4\/3.4<\/span>)*[0.0    3.4    8.8e-16 15.3]\n__________________________________\n       = [5.0    0.<\/span>0<\/span><\/strong>   -1.04e-15 14.0]\n\n[[ 5.0    0.0<\/span><\/strong>   -1.04e-15  14.0]\n [ 0.0    3.4    8.8e-16   15.3]\n [ 0.0    0.0    1.0        8.1]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"elimina<\/figure>\n\n\n\n
Se obtiene el valor de x2<\/sub>,
dividiendo para el valor del pivote,<\/p>\n\n\n\n
[[ 5.0    0.0   -1.04e-15  14.0]\n [ 0.0    1.0<\/strong>    2.6e-16    4.5]\n [ 0.0    0.0    1.0        8.1]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
iteraci\u00f3n 4, operaci\u00f3n fila 1<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n
No hay otras filas con las que iterar,
por lo que solo se obtiene el valor de x1<\/sub> al dividir para el pivote.<\/p>\n\n\n\n
[[ 1.0<\/strong>    0.0   -2.08e-15  2.8<\/strong>]\n [ 0.0    1.0<\/strong>    2.6e-16   4.5<\/strong>]\n [ 0.0    0.0    1.0<\/strong>       8.1<\/strong>]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones se presenta como una matriz identidad concatenada a un vector columna de constantes.<\/p>\n\n\n\n
soluci\u00f3n X: \n[2.8<\/strong>, 4.5<\/strong>, 8.1<\/strong>]<\/code><\/pre>\n\n\n X= [2.8, 4.5 , 8.1 ] <\/span>\n\n\n\n
Observaci\u00f3n<\/strong>: en la matriz hay unos valores del orden de 10-16<\/sup><\/span>, que corresponden a errores de operaciones en computadora (truncamiento y redondeo) que pueden ser descartados por ser casi cero. Hay que establecer entonces un par\u00e1metro para controlar los casos en que la diferencia entre los ordenes de magnitud son por ejemplo menores a 15 ordenes de magnitud 10-15<\/sup><\/span>. e implementarlo en los algoritmos.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Gauss-Jordan<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Elimina atr\u00e1s<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
funci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Esta secci\u00f3n reutiliza el algoritmo desarrollado para el M\u00e9todo de Gauss<\/a>, por lo que los bloques de procedimiento son semejantes hasta eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/a>. Se a\u00f1ade el procedimiento de eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/strong> para completar la soluci\u00f3n al sistema de ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n
\n