{"id":1499,"date":"2017-01-25T05:04:27","date_gmt":"2017-01-25T10:04:27","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=1499"},"modified":"2026-04-17T08:06:15","modified_gmt":"2026-04-17T13:06:15","slug":"pam-a-psk-ejercicio-stp","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-aplica\/pam-a-psk-ejercicio-stp\/","title":{"rendered":"PAM a PSK - Ejercicio"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

valor esperado<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio - Modulaci\u00f3n de amplitud de pulsos a PSK<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Problema 9.133 Le\u00f3n-Garc\u00eda p574<\/p>\n\n\n\n

Un proceso de modulaci\u00f3n por fase se define como:<\/p>\n\n\n Y(t) = a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X(t) \\big)<\/span>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Sea X(t) un proceso de modulaci\u00f3n de amplitud de pulsos con valores de +1<\/strong> y -1<\/strong> que representan a los bits 1 y 0 como se muestra en la tabla.<\/p>\n\n\n\n

dato en binario
(bit)<\/th>		s\u00edmbolo<\/th><\/tr>
1<\/td>+1<\/td><\/tr>
0<\/td>-1<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Suponga que T=1, que es la duraci\u00f3n de cada s\u00edmbolo X(t).<\/p>\n\n\n\n

\u00a0Algunos datos<\/strong>: De los experimentos realizados con BPSK<\/a> y Sigma-Delta<\/a> para encontrar la pmf de [+1,-1], se encontr\u00f3 que la media del proceso era igual a 0.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Gr\u00e1fica con Python<\/h2>\n\n\n\n

a) Dibuje una muestra de la funci\u00f3n Y(t) correspondiente a la secuencia binaria 0010110<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Algoritmo con Python<\/p>\n\n\n

\n# Problema 9.133 Leon-Garcia p.574\n# PAM - Pulse Amplitude Modulation\n# PSK - Phase Shift Keying\n# literal a)\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\n# secuencia = input('secuencia binaria: ')\nsecuencia = '0010110'\n\n# PROCEDIMIENTO\nn = len(secuencia)\n# texto a s\u00edmbolos PAM\nsenalbit = np.zeros(n,dtype=int)\nfor i in range(0,n,1):\n    senalbit[i] = int(secuencia[i])\n    if (senalbit[i]==0):\n        senalbit[i] = -1\n# Se\u00f1al en PAM\nanchobit = 100 # muestras dentro de cada bit\nsenalpam = np.repeat(senalbit, anchobit)\nm = len(senalpam)\n\n# Eje de tiempo:\nti = np.arange(0,m,dtype=float)\nti = ti\/anchobit\n\n# Se\u00f1al PSK\nf = 1\nsenalpsk = np.zeros(m,dtype=float)\nfor i in range(0,m,1):\n    fase = (np.pi\/2)*senalpam[i]\n    senalpsk[i] = np.cos(2*np.pi*f*ti[i] + fase)\n\n# SALIDA\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# Se\u00f1al PAM\nplt.subplot(211)\nplt.plot(ti,senalpam, color='g')\nfor k  in range(0,n,1):\n    plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')\nplt.ylabel('Se\u00f1al PAM')\n# Se\u00f1al PSK\nplt.subplot(212)\nplt.plot(ti,senalpsk, color='b')\nfor k  in range(0,n,1):\n    plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')\nplt.ylabel('se\u00f1al PSK')\nplt.suptitle('Secuencia binaria PAM a PSK')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n Y(t) = a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X(t) \\big)<\/span>\n\n\n\n
3. Valor esperado<\/h2>\n\n\n\n
c) Encuentre la media y autocorrelacion<\/strong> de Y(t)<\/p>\n\n\n E[Y(t_1) Y(t_2)] = E\\big[a \\cos \\big( 2\\pi t_1 + \\frac{\\pi}{2}X \\big) . a \\cos \\big( 2\\pi t_2 + \\frac{\\pi}{2}X\\big)\\big]<\/span>\n\n\n g(x) = a \\cos \\big( 2\\pi t_1 + \\frac{\\pi}{2}X \\big) . a \\cos \\big( 2\\pi t_2 + \\frac{\\pi}{2}X\\big) <\/span>\n\n\n\n
Referencia: Valor esperado de funciones de variable aleatoria (Le\u00f3n-Garc\u00eda 3.3.1 p. 107)<\/p>\n\n\n\n
Si z =g(x)<\/p>\n\n\n\n E[g(x)] = \\sum_k g(x_k)p_x(X_k)<\/span>\n\n\n\n
tomando la pmd mostrada en el c\u00e1lculo del valor esperado, se tiene entonces que:<\/p>\n\n\n\n = \\big[ a \\cos \\big( 2\\pi t_1 + \\frac{\\pi}{2}(-1)\\big) . a \\cos \\big( 2\\pi t_2 + \\frac{\\pi}{2}(-1)\\big)\\big] \\frac{1}{2} + <\/span>\n\n\n\n + \\big[ a \\cos \\big( 2\\pi t_1 + \\frac{\\pi}{2}(1)\\big) . a \\cos \\big( 2\\pi t_2 + \\frac{\\pi}{2}(1)\\big)\\big] \\frac{1}{2} <\/span>\n\n\n\n = \\frac{a^2}{2} \\cos \\big( 2\\pi t_1 - \\frac{\\pi}{2}\\big) \\cos \\big( 2\\pi t_2 - \\frac{\\pi}{2}\\big) + <\/span>\n\n\n\n + \\frac{a^2}{2}\\cos \\big( 2\\pi t_1 + \\frac{\\pi}{2}\\big) \\cos \\big( 2\\pi t_2 + \\frac{\\pi}{2}\\big) <\/span>\n\n\n\n = \\frac{a^2}{2} \\sin (2\\pi t_1) \\sin (2\\pi t_2) +<\/span>\n\n\n\n + \\frac{a^2}{2}[-\\sin(2\\pi t_1)][-\\sin (2\\pi t_2)] <\/span>\n\n\n\n = \\frac{a^2}{2} 2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin( 2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n\n = a^2 \\sin ( 2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n\n = \\frac{a^2}{2}\\big[ \\cos(2\\pi t_1 - 2\\pi t_2) - \\cos(2\\pi t_1 + 2\\pi t_2) \\big]<\/span>\n\n\n\n E[Y(t_1)Y(t_2)] = \\frac{a^2}{2}\\big[ \\cos(2\\pi t_1 - 2\\pi t_2) - \\cos(2\\pi t_1 + 2\\pi t_2) \\big]<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Autorrelaci\u00f3n Y(t)<\/h2>\n\n\n\n Y(t) = a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X(t) \\big)<\/span>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n
La pmf de x(t) es 0.5 para cada valor de [-1,1]<\/p>\n\n\n\n
c) Encuentre la media y autocorrelaci\u00f3n de Y(t)<\/p>\n\n\n E[Y(t)] = E\\big[ a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X \\big)\\big] <\/span>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>:  Le\u00f3n-Garc\u00eda 3.3.1 p. 107. Valor esperado de funciones de variable aleatoria<\/p>\n\n\n\n
Si z =g(x)<\/p>\n\n\n E[g(x)] = \\sum_k g(x_k)p_x(X_k)<\/span>\n\n\n\n
se tiene entonces que:<\/p>\n\n\n = \\big[a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}(-1) \\big)\\big]\\frac{1}{2} + \\big[a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}(1) \\big)\\big] \\frac{1}{2}<\/span>\n\n\n = \\frac{a}{2}\\cos \\big( 2\\pi t - \\frac{\\pi}{2} \\big) + \\frac{a}{2}\\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2} \\big)<\/span>\n\n\n = \\frac{a}{2} \\sin \\big( 2\\pi t \\big) - \\frac{a}{2} \\sin \\big( 2\\pi t \\big) = 0 <\/span>\n\n\n E[Y(t)] = 0 <\/span>\n\n\n\n
4. PAM a PSK media cuadr\u00e1tica cont\u00ednua<\/h2>\n\n\n R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n\n
e) \u00bfEl proceso Y(t) tiene media cuadr\u00e1tica cont\u00ednua?<\/p>\n\n\n\n
S\u00ed, por las condiciones siguientes:<\/p>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Le\u00f3n-Garc\u00eda 9.7.1 p.531<\/p>\n\n\n\n
Si RX<\/sub>(t1<\/sub>,t2<\/sub>) es cont\u00ednua en t1<\/sub> y t2<\/sub> en el punto (t0<\/sub>,t0<\/sub>), entonces X(t) tiene media cuadr\u00e1tica continua en t0<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n
Si X(t) tiene media cuadr\u00e1tica cont\u00ednua en t0<\/sub> , entonces la funci\u00f3n media mX<\/sub>(t) debe ser cont\u00ednua en t0<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n
Si RX<\/sub>(\u03c4) es cont\u00ednua en \u03c4=0 entonces el proceso estoc\u00e1stico estacionario en el sentido amplio WSS para X(t) es cont\u00ednuo en la media cuadr\u00e1tica en todos los\u00a0 puntos t0<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. PAM a PSK media cuadr\u00e1tica derivable<\/h2>\n\n\n Y(t) = a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X(t) \\big)<\/span>\n\n\n R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n\n
f) \u00bfY(t) tiene media cuadr\u00e1tica derivable? Si lo es, encuentre las funciones para media y autocorrelac\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Y(t) es diferenciable en todos los puntos<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta y}{\\delta t}Y(t) = \\frac{\\delta y}{\\delta t} \\big[ a \\cos \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X(t) \\big)\\big] <\/span>\n\n\n = a(-2\\pi) \\sin \\big( 2\\pi t + \\frac{\\pi}{2}X \\big) \\big] <\/span>\n\n\n\n
media o valor esperado:<\/p>\n\n\n E \\big[ \\frac{\\delta y}{\\delta t}Y(t) \\big] = \\frac{\\delta y}{\\delta t} E[Y(t)] = 0 <\/span>\n\n\n\n
autocorrelaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n R_{Y'}(t_1, t_2) = \\frac{\\delta ^2}{\\delta t_1 \\delta t_2} R_Y((t_1, t_2) <\/span>\n\n\n = \\frac{\\delta ^2}{\\delta t_1 \\delta t_2} \\big[a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)\\big] <\/span>\n\n\n = a^2(2\\pi ) \\cos(2\\pi t_1) \\frac{\\delta }{ \\delta t_2} \\big[\\sin(2\\pi t_2)\\big] <\/span>\n\n\n = a^2 (2\\pi) \\cos (2\\pi t_1)(2\\pi) \\sin (2\\pi t_2) <\/span>\n\n\n = 4 \\pi^2 a^2 \\cos(2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2) <\/span>\n\n\n\n
para nT \u2264 t1<\/sub> , t2<\/sub> < (n+1)T<\/p>\n\n\n\n
0 para otro caso<\/p>\n\n\n\n
5. Revisar si es estacionario<\/h2>\n\n\n\n
Los resultados son:<\/p>\n\n\n E[Y(t)] = 0 <\/span>\n\n\n R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n C_{Y} (t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] + E[Y(t_1)]E[Y(t_2)] <\/span>\n\n\n = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2) + 0 <\/span>\n\n\n = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2) <\/span>\n\n\n\n
siendo la media una constante = 0, entonces:<\/p>\n\n\n C_Y[t_1, t_2] = R_y(t_1,t_2) <\/span>\n\n\n C_Y[t_1, t_2] = a^2 \\sin (2\\pi t_1) \\sin(2\\pi t_2)<\/span>\n\n\n\n
Existe un valor T tal que:<\/p>\n\n\n C_Y[t_1, t_2] = C_Y[t_1 + mT, t_2 + mT]<\/span>\n\n\n\n
El proceso es clasificado como ciclo-estacionario<\/strong><\/p>\n\n\n\n
para:<\/p>\n\n\n\n
para nT \u2264 t1<\/sub> , t2<\/sub> < (n+1)T<\/p>\n\n\n\n
0 para otro caso<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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