{"id":1522,"date":"2017-11-09T06:05:25","date_gmt":"2017-11-09T11:05:25","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1522"},"modified":"2026-04-05T19:47:22","modified_gmt":"2026-04-06T00:47:22","slug":"s1eva2009ti_t2-materiales-y-productos-3x4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva10\/s1eva2009ti_t2-materiales-y-productos-3x4\/","title":{"rendered":"s1Eva2009TI_T2 Materiales y Productos 3\u00d74"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2009TI_T2 Materiales y Productos 3\u00d74<\/a><\/p>\n\n\n\n

Con los datos de la tabla se plantean las ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n

<\/th>P1<\/th>P2<\/th>P3<\/th>P4<\/th><\/tr><\/thead>
M1<\/th>0.2<\/td>0.5<\/td>0.4<\/td>0.2<\/td><\/tr>
M2<\/th>0.3<\/td>0<\/td>0.5<\/td>0.6<\/td><\/tr>
M3<\/th>0.4<\/td>0.5<\/td>0.1<\/td>0.2<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

La cantidad disponible de cada material es: 10<\/strong><\/em>, 12<\/em><\/strong>, 15<\/em><\/strong> Kg respectivamente, los cuales deben usarse completamente.<\/p>\n\n\n\n

1. Plantear el sistema de ecuaciones<\/h2>\n\n\n 0.2 x_0 + 0.5 x_1 + 0.4 x_2 + 0.2 x_3 = 10 <\/span>\n\n\n 0.3 x_0 + 0 x_1 + 0.5 x_2 + 0.6 x_3 = 12 <\/span>\n\n\n 0.4 x_0 + 0.5 x_1 + 0.1 x_2 + 0.2 x_3 = 15 <\/span>\n\n\n\n

Observe que hay m\u00e1s inc\u00f3gnitas que ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n

\"Materiales<\/figure>\n\n\n\n

Para equiparar las ecuaciones con el n\u00famero de inc\u00f3gnitas, podr\u00edamos suponer que uno de los productos NO se fabricar\u00e1. por ejemplo el producto x3<\/sub> que podr\u00eda hacerse igual a cero. Supone que la variable libre es x3<\/sub> .<\/p>\n\n\n\n

Para mantener la forma de las ecuaciones para otros valores de x3<\/sub>, se pasa la variable y su coeficiente a la derecha.<\/p>\n\n\n \\begin{cases} 0.2 x_0 + 0.5 x_1 + 0.4 x_2 = 10 - 0.2 x_3 \\\\ 0.3 x_0 + 0 x_1 + 0.5 x_2 = 12 - 0.6 x_3 \\\\ 0.4 x_0 + 0.5 x_1 + 0.1 x_2 = 15 - 0.2 x_3 \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n

Para analizar el ejercicio, se supondr\u00e1 que el valor de x3<\/sub> <\/span>= 0, lo que permite usar el modelo del problema como A.X=B .En caso de que x3<\/sub> sea diferente de cero,  el vector B modifica, y se puede proceder con el sistema de ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n

2. Convertir a la forma matricial A<\/strong>X = B<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Siendo as\u00ed, suponiendo que x3<\/sub><\/span> = 0, el ejercicio se puede desarrollar usando:<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.2 && 0.5 &&0.4 &&10 \\\\ 0.3 && 0. && 0.5 && 12.\\\\ 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

que de debe pivotear por filas antes de aplicar cualquier m\u00e9todo de soluci\u00f3n, primero se intercambian la primera y \u00faltima filas para que el primer valor de la diagonal sea el mayor en la columna.<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\\\ 0.3 && 0. && 0.5 && 12. \\\\0.2 && 0.5 &&0.4 &&10 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

luego se repite el proceso a partir de la diagonal en la fila segunda, columna segunda, que al tener un valor de 5  en la tercera fila que es mayor que 0, se intercambia la fila segunda con la tercera<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\\\0.2 && 0.5 &&0.4 &&10 \\\\ 0.3 && 0. && 0.5 && 12. \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

Para el proceso de eliminaci\u00f3n hacia adelante se tiene:<\/p>\n\n\n\n

para pivote[0,0] = 0.4,<\/p>\n\n\n\n

fila = 0 vs fila 1:
pivote = 0.4, factor = 0.2\/0.4 = 0.5<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\\\0 && 0.25 &&0.35 &&2.5 \\\\ 0.3 && 0. && 0.5 && 12. \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

fila = 0 vs fila 2:
pivote = 0.4, factor = 0.3\/0.4 = 0.75<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\\\0 && 0.25 &&0.35 &&2.5 \\\\ 0 && -0.375 && 0.425 && 0.75 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

y luego para pivote [1,1]<\/p>\n\n\n\n

fila = 1 vs fila 2:<\/p>\n\n\n\n

pivote = 0.25, factor =-0.375\/0.25 = -1.5<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0.1 && 15. \\\\0 && 0.25 &&0.35 &&2.5 \\\\ 0 && 0. && 0.95 && 4.5 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

Para eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s los factores ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n

fila 2 pivote: 0.95
factor: 0.368421052631579 para fila: 1
factor: 0.10526315789473685 para fila: 0<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0.5 && 0 && 14.52631579 \\\\0 && 0.25 &&0 &&0.84210526 \\\\ 0 && 0. && 0.95 && 4.5 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

fila 1 pivote: 0.25
factor: 2.0 para fila: 0<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 && 0 && 0 && 12.84210526 \\\\0 && 0.25 &&0 &&0.84210526 \\\\ 0 && 0. && 0.95 && 4.5 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

lo que da como resultado:<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 32.10526316 \\\\0 && 1 &&0 &&3.36842105 \\\\ 0 && 0 && 1 && 4.73684211 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

que da como soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n x= [32.10526316, 3.36842105 , 4.73684211]<\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

Para el algoritmo se puede empezar con:<\/p>\n\n\n\n

A = np.array([[0.2, 0.5, 0.4],\n              [0.3, 0.0, 0.5],\n              [0.4, 0.5, 0.1]])\nB = np.array([10, 12, 15],dtype=float)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que luego armar el algoritmo y su ejecuci\u00f3n, obtendr\u00eda una soluci\u00f3n semejante:<\/p>\n\n\n\n
Matriz aumentada\n[[ 0.2  0.5  0.4 10. ]\n [ 0.3  0.   0.5 12. ]\n [ 0.4  0.5  0.1 15. ]]\nPivoteo parcial:\n  1 intercambiar filas:  0 y 2\n  2 intercambiar filas:  1 y 2\nAB\n[[ 0.4  0.5  0.1 15. ]\n [ 0.2  0.5  0.4 10. ]\n [ 0.3  0.   0.5 12. ]]\nElimina hacia adelante:\n fila i: 0  pivote: 0.4\n  fila k: 1  factor: 0.5\n  fila k: 2  factor: 0.7499999999999999\n[[ 0.4    0.5    0.1   15.   ]\n [ 0.     0.25   0.35   2.5  ]\n [ 0.    -0.375  0.425  0.75 ]]\n fila i: 1  pivote: 0.25\n  fila k: 2  factor: -1.4999999999999998\n[[ 0.4   0.5   0.1  15.  ]\n [ 0.    0.25  0.35  2.5 ]\n [ 0.    0.    0.95  4.5 ]]\n fila i: 2  pivote: 0.95\n[[ 0.4   0.5   0.1  15.  ]\n [ 0.    0.25  0.35  2.5 ]\n [ 0.    0.    0.95  4.5 ]]\nElimina hacia Atr\u00e1s:\n fila i: 2  pivote: 0.95\n  fila k: 1  factor: 0.368421052631579\n  fila k: 0  factor: 0.10526315789473685\n[[ 0.4     0.5     0.     14.5263]\n [ 0.      0.25    0.      0.8421]\n [ 0.      0.      1.      4.7368]]\n fila i: 1  pivote: 0.25\n  fila k: 0  factor: 2.0\n[[ 0.4     0.      0.     12.8421]\n [ 0.      1.      0.      3.3684]\n [ 0.      0.      1.      4.7368]]\n fila i: 0  pivote: 0.4\n[[ 1.      0.      0.     32.1053]\n [ 0.      1.      0.      3.3684]\n [ 0.      0.      1.      4.7368]]\nsoluci\u00f3n X: \n[32.1053  3.3684  4.7368]\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h3>\n\n\n
\n#1Eva_IT2009_T2 Materiales y Productos 3\u00d74\n# M\u00e9todo de Gauss-Jordan\n# Soluci\u00f3n a Sistemas de Ecuaciones\n# de la forma A.X=B\nimport numpy as np\n\n# M\u00e9todo de Gauss-Jordan\n# Sistemas de Ecuaciones A.X=B\nimport numpy as np\n\ndef gauss_eliminaAtras(AB, vertabla=False,\n                       inversa=False,\n                       casicero = 1e-15):\n    ''' Gauss-Jordan elimina hacia atr\u00e1s\n    Requiere la matriz triangular inferior\n    Tarea: Verificar que sea triangular inferior\n    '''\n    tamano = np.shape(AB)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n    \n    ultfila = n-1\n    ultcolumna = m-1\n    if vertabla==True:\n        print('Elimina hacia Atr\u00e1s:')\n        \n    for i in range(ultfila,0-1,-1):\n        pivote = AB[i,i]\n        atras = i-1  # arriba de la fila i\n        if vertabla==True:\n            print(' fila i:',i,' pivote:', pivote)\n            \n        for k in range(atras,0-1,-1):\n            if np.abs(AB[k,i])>=casicero:\n                factor = AB[k,i]\/pivote\n                AB[k,:] = AB[k,:] - factor*AB[i,:]\n                \n                # redondeo a cero\n                for j in range(0,m,1): \n                    if np.abs(AB[k,j])<=casicero:\n                        AB[k,j]=0\n                if vertabla==True:\n                    print('  fila k:',k,\n                          ' factor:',factor)\n            else:\n                print('  pivote:', pivote,'en fila:',i,\n                      'genera division para cero')\n        AB[i,:] = AB[i,:]\/AB[i,i] # diagonal a unos\n        \n        if vertabla==True:\n            print(AB)\n    \n    respuesta = np.copy(AB[:,ultcolumna])\n    if inversa==True: # matriz inversa\n        respuesta = np.copy(AB[:,n:])\n    return(respuesta)\n\ndef gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=False,\n                          lu=False,casicero = 1e-15):\n    ''' Gauss elimina hacia adelante\n    tarea: verificar t\u00e9rminos cero\n    '''\n    tamano = np.shape(AB)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n    if vertabla==True:\n        print('Elimina hacia adelante:')\n    for i in range(0,n,1):\n        pivote = AB[i,i]\n        adelante = i+1\n        if vertabla==True:\n            print(' fila i:',i,' pivote:', pivote)\n        for k in range(adelante,n,1):\n            if (np.abs(pivote)>=casicero):\n                factor = AB[k,i]\/pivote\n                AB[k,:] = AB[k,:] - factor*AB[i,:]\n                for j in range(0,m,1): # casicero revisa\n                    if abs(AB[k,j])<casicero:\n                        AB[k,j]=0\n                if vertabla==True:\n                    print('  fila k:',k,\n                          ' factor:',factor)\n            else:\n                print('  pivote:', pivote,'en fila:',i,\n                      'genera division para cero')\n        if vertabla==True:\n            print(AB)\n    respuesta = np.copy(AB)\n    if lu==True: # matriz triangular A=L.U\n        U = AB[:,:n-1]\n        respuesta = [AB,L,U]\n    return(respuesta)\n\ndef pivoteafila(A,B,vertabla=False):\n    '''\n    Pivotea parcial por filas\n    Si hay ceros en diagonal es matriz singular,\n    Tarea: Revisar si diagonal tiene ceros\n    '''\n    A = np.array(A,dtype=float)\n    B = np.array(B,dtype=float)\n    # Matriz aumentada\n    nB = len(np.shape(B))\n    if nB == 1:\n        B = np.transpose([B])\n    AB  = np.concatenate((A,B),axis=1)\n    \n    if vertabla==True:\n        print('Matriz aumentada')\n        print(AB)\n        print('Pivoteo parcial:')\n    \n    # Pivoteo por filas AB\n    tamano = np.shape(AB)\n    n = tamano[0]\n    m = tamano[1]\n    \n    # Para cada fila en AB\n    pivoteado = 0\n    for i in range(0,n-1,1):\n        # columna desde diagonal i en adelante\n        columna = np.abs(AB[i:,i])\n        dondemax = np.argmax(columna)\n        \n        # dondemax no es en diagonal\n        if (dondemax != 0):\n            # intercambia filas\n            temporal = np.copy(AB[i,:])\n            AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]\n            AB[dondemax+i,:] = temporal\n\n            pivoteado = pivoteado + 1\n            if vertabla==True:\n                print(' ',pivoteado, 'intercambiar filas: ',i,'y', dondemax+i)\n    if vertabla==True:\n        if pivoteado==0:\n            print('  Pivoteo por filas NO requerido')\n        else:\n            print('AB')\n            print(AB)\n    return(AB)\n# PROGRAMA ------------------------\n# INGRESO\nA = [[0.2, 0.5, 0.4],\n     [0.3, 0.0, 0.5],\n     [0.4, 0.5, 0.1]]\nB = [10, 12, 15]\n\n# PROCEDIMIENTO\nnp.set_printoptions(precision=4) # 4 decimales en print\ncasicero = 1e-15  # redondear a cero\n\nAB = pivoteafila(A,B,vertabla=True)\n\nAB = gauss_eliminaAdelante(AB,vertabla=True)\n\nX = gauss_eliminaAtras(AB,vertabla=True)\n\n# SALIDA\nprint('soluci\u00f3n X: ')\nprint(X)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Encontrada la soluci\u00f3n, modifique el algoritmo para calcular B en funci\u00f3n de x3<\/sub>, pregunte el valor al inicio, y vuelva a calcular.<\/p>\n\n\n\n
x3 = float(input('cantidad a producir de cuarto producto: ')<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Observe el rango para x3<\/sub>, por ejemplo que debe ser mayor o igual que cero, pues no hay producci\u00f3n negativa. De producir solamente \u00e9se un producto, el valor m\u00e1ximo de unidades a obtener no superar\u00eda lo posible con la cantidad de materiales disponible.<\/p>\n\n\n\n
Ejemplo:<\/p>\n\n\n\n
x3<\/span> = 1\nB3 = [0.2<\/span>,0.6<\/span>,0.2<\/span>]\nBnuevo = B - x3<\/span>*B3\n\n>>> Bnuevo\narray([  9.8, 11.4,  14.8])<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Y se vuelve a generar el sistema A.X=Bnuevo<\/p>\n\n\n\n
Observaci\u00f3n<\/strong><\/em>: Algunos productos se fabrican por unidades, no necesariamente por peso o volumen. \u00bfcomentarios al respecto?<\/p>\n\n\n\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2009TI_T2 Materiales y Productos 3\u00d74 Con los datos de la tabla se plantean las ecuaciones: P1 P2 P3 P4 M1 0.2 0.5 0.4 0.2 M2 0.3 0 0.5 0.6 M3 0.4 0.5 0.1 0.2 La cantidad disponible de cada material es: 10, 12, 15 Kg respectivamente, los cuales deben usarse completamente. 1. Plantear el […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[44],"tags":[58,54],"class_list":["post-1522","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva10","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1522","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1522"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1522\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23814,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1522\/revisions\/23814"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1522"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1522"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1522"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}