{"id":1631,"date":"2018-06-28T08:46:43","date_gmt":"2018-06-28T13:46:43","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=1631"},"modified":"2026-02-19T06:15:51","modified_gmt":"2026-02-19T11:15:51","slug":"s1eva2018ti_t1-tanque-esferico-canchas-deportivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva20\/s1eva2018ti_t1-tanque-esferico-canchas-deportivas\/","title":{"rendered":"s1Eva2018TI_T1 Tanque esf\u00e9rico canchas deportivas"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2018TI_T1 Tanque esf\u00e9rico canchas deportivas<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"tanque<\/figure>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Planteamiento: Para seleccionar el rango para h=[a,b], se observa que el tanque puede estar vac\u00edo, a=0 o lleno al m\u00e1ximo,
b=2R = 2(3)=6, con lo que se obtiene:<\/p>\n\n\n\n

h =[0.0, 6.0]<\/p>\n\n\n\n

conociendo la proporci\u00f3n con el valor m\u00e1ximo, se tiene un valor inicial para h0<\/sub> para las iteraciones.<\/p>\n\n\n\n

Primero se calcula el volumen m\u00e1ximo h=2R:<\/p>\n\n\n\n V = \\frac{\\pi h^{2} (3R-h)}{3} <\/span>\n\n\n Vmax = \\frac{\\pi}{3} (2R)^2 (3R-2R) <\/span>\n\n\n Vmax = \\frac{4\\pi }{3}R^{3}= 113.09 <\/span>\n\n\n\n

Se aproxima el valor<\/em><\/strong> de h suponiendo que el volumen de llenado del tanque es proporcional a la altura h. Es tan solo un criterio, no es el valor real, pero es un punto de partida. Puede seleccionar otro criterio mientras lo describa en la evaluaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n h_0 = (6)\\frac{30}{113.09} = 1.59<\/span>\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Desarrollo anal\u00edtico<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Usar Newton-Raphson con tolerancia 1e-6<\/p>\n\n\n\n V = \\frac{\\pi h^{2} (3R-h)}{3} <\/span>\n\n\n\n \\frac{\\pi h^{2} (3R-h)}{3} - V = 0 <\/span>\n\n\n\n

se busca V=30, siendo R=3<\/p>\n\n\n\n f(h) = \\frac{\\pi h^{2} (3(3)-h)}{3} - 30 = 0 <\/span>\n\n\n f(h) = \\frac{\\pi }{3}h^2 (9-h)-30<\/span>\n\n\n f(h) = \\frac{\\pi }{3}(9h^2 -h^3)-30<\/span>\n\n\n f'(h) = \\frac{\\pi }{3}(18h-3h^2)<\/span>\n\n\n\n

el punto siguiente de iteraci\u00f3n es:<\/p>\n\n\n h_{i+1} = h_{i} -\\frac{f(h)}{f'(h)}<\/span>\n\n\n\n

itera = 0, h= 1.59<\/h3>\n\n\n\n f(1.59) = \\frac{\\pi }{3}(9(1.59)^2 -1.59^3)-30 = -10.3826<\/span>\n\n\n\n f'(1.59) = \\frac{\\pi }{3}(18(1.59)-3(1.59)^2)= 27.3234<\/span>\n\n\n\n h_{i+1} = h_{i} -\\frac{f(h)}{f'(h)}<\/span>\n\n\n\n h_{1} = 1.59 -\\frac{-10.3826}{27.3234} =1.97<\/span>\n\n\n\n

Errado = | 1.97-1.59 | = 0.38<\/p>\n\n\n\n

a\u00fan no se alcanza la tolerancia, se procede con una nueva iteraci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

itera = 1, h= 1.97<\/h3>\n\n\n\n f(1.97) = \\frac{\\pi }{3}(9(1.97)^2 -1.97^3)-30 = -1.4298<\/span>\n\n\n\n f'(1.97) = \\frac{\\pi }{3}(18(1.97)-3(1.97)^2)= 33.0694<\/span>\n\n\n\n h_{2} = 1.97 -\\frac{-1.4298}{33.0694} =2.0132<\/span>\n\n\n\n

Errado = | 2.0132 - 1.97 | = 0.0432<\/p>\n\n\n\n

a\u00fan no se alcanza la tolerancia, se procede con una nueva iteraci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

la iteraci\u00f3n 2 de deja como tarea<\/h3>\n\n\n\n

Desarrollo con algoritmo<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

con lo que se realiza la tabla de iteraciones:<\/p>\n\n\n\n

m\u00e9todo de Newton-Raphson\ni ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo']\n0 [  1.59   -10.3826  27.3234   1.97     0.38  ]\n1 [ 1.97   -1.4298 33.0694  2.0132  0.0432]\n2 [ 2.0132e+00 -3.4547e-01  3.3704e+01  2.0235e+00  1.0250e-02]\n3 [ 2.0235e+00 -8.6687e-02  3.3854e+01  2.0260e+00  2.5606e-03]\n4 [ 2.0260e+00 -2.1938e-02  3.3891e+01  2.0267e+00  6.4731e-04]\n5 [ 2.0267e+00 -5.5637e-03  3.3901e+01  2.0268e+00  1.6412e-04]\n6 [ 2.0268e+00 -1.4118e-03  3.3903e+01  2.0269e+00  4.1641e-05]\n7 [ 2.0269e+00 -3.5827e-04  3.3904e+01  2.0269e+00  1.0567e-05]\n8 [ 2.0269e+00 -9.0925e-05  3.3904e+01  2.0269e+00  2.6819e-06]\n9 [ 2.0269e+00 -2.3076e-05  3.3904e+01  2.0269e+00  6.8062e-07]\nra\u00edz en:  2.0269054968263562<\/code><\/pre>\n\n\n\n
En valor pr\u00e1ctico 2.026 m usando flex\u00f3metro, a menos que use medidor l\u00e1ser con precisi\u00f3n 10-6<\/sup> usar\u00e1 m\u00e1s d\u00edgitos con un tanque de 6 metros de altura ganar\u00e1 una precisi\u00f3n de una gota de agua para usar en duchas o regar el c\u00e9sped .<\/p>\n\n\n\n
\"1Eva2018TI_T1<\/figure>\n\n\n\n
c) El orden de convergencia del error observando las tres primeras iteraciones es cuadr\u00e1tico<\/p>\n\n\n\n
Algoritmo con Python<\/p>\n\n\n
\n# 1Eva2018TI_T1 Tanque esf\u00e9rico canchas deportivas\n# Ejemplo 1 (Burden ejemplo 1 p.51\/pdf.61)\nimport numpy as np\n \ndef newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, iteramax=100,\n                   vertabla=False, precision=4):\n    '''fx y dfx en forma num\u00e9rica lambda\n    xi es el punto inicial de b\u00fasqueda\n    si no converge hasta iteramax iteraciones\n    la respuesta es NaN (Not a Number)\n    '''\n    itera=0\n    xi = x0\n    tramo = abs(2*tolera)\n    if vertabla==True:\n        print('m\u00e9todo de Newton-Raphson')\n        print('i', ['xi','fi','dfi', 'xnuevo', 'tramo'])\n        np.set_printoptions(precision)\n    while (tramo>=tolera):\n        fi = fx(xi)\n        dfi = dfx(xi)\n        xnuevo = xi - fi\/dfi\n        tramo = abs(xnuevo-xi)\n        if vertabla==True:\n            print(itera,np.array([xi,fi,dfi,xnuevo,tramo]))\n        xi = xnuevo\n        itera = itera + 1\n \n    if itera>=iteramax:\n        xi = np.nan\n        print('itera: ',itera,\n              'No converge,se alcanz\u00f3 el m\u00e1ximo de iteraciones')\n \n    return(xi)\n \n# INGRESO\nfx  = lambda h: (np.pi\/3)*(9*h**2-h**3)-30\ndfx = lambda h: (np.pi\/3)*(18*h-h**2)\n \nx0 = 1.59\ntolera = 0.000001\n \n# PROCEDIMIENTO\nxi= newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, vertabla=True)\n# SALIDA\nprint('ra\u00edz en: ', xi)\n\n# GRAFICA\nimport matplotlib.pyplot as plt\na = 0\nb = 3\nmuestras = 21\n \nxj = np.linspace(a,b,muestras)\nfj = fx(xj)\nplt.plot(xj,fj, label='f(x)')\nplt.plot(xi,0, 'o')\nplt.axhline(0)\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.grid()\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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