{"id":165,"date":"2017-02-09T09:35:18","date_gmt":"2017-02-09T14:35:18","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/fiec05058\/?p=165"},"modified":"2025-12-31T15:15:55","modified_gmt":"2025-12-31T20:15:55","slug":"senales-exponencial-compleja","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u01\/senales-exponencial-compleja\/","title":{"rendered":"1.7.1 Se\u00f1ales - Exponencial compleja"},"content":{"rendered":"\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p><strong><em>Referencia<\/em><\/strong>: Lathi 1.4-3 p89, Hsu 1.3.C p9, Oppenheim 1.3.1 p15 pdf46.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exponencial\">1. Exponencial e<sup>st<\/sup><\/h2>\n\n\n\n<p>Otra funci\u00f3n importante en se\u00f1ales y sistemas es la se\u00f1al e<sup>st<\/sup>, donde s es en general de tipo compleja:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> s = \\sigma + j \\omega <\/span>\n\n\n\n<p>lo que convierte:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> e^{st} =e^{( \\sigma + j \\omega)t} = e^{\\sigma t} e^{j \\omega t} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> e^{st} =e^{\\sigma t} \\Big( \\cos (\\omega t) + j \\sin (\\omega t)\\Big) <\/span>\n\n\n\n<p>dado que la <em><strong>conjugada<\/strong> <\/em>s<sup>*<\/sup> = \u03c3 - j\u03c9<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> e^{s^* t} =e^{( \\sigma - j \\omega)t} = e^{\\sigma t} e^{-j \\omega t} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> e^{s^* t} =e^{\\sigma t} \\Big( \\cos (\\omega t) - j \\sin (\\omega t)\\Big) <\/span>\n\n\n\n<p>por lo que sumando las ecuaciones resultantes anteriores:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> e^{\\sigma t} cos(\\omega t) = \\frac{1}{2}\\Big( e^{st} + e^{s^{*}t} \\Big) <\/span>\n\n\n\n<p>Comparado con la formula de Euler, se muestra que e<sup>st<\/sup> es una generalizaci\u00f3n de e<sup>j\u03c9<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Se\u00f1al exponencial compleja, gr\u00e1fica con Python\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wjsXszCCWvI?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p>La funci\u00f3n e<sup>st<\/sup> tiene varias formas que pueden ser:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>una constante k = e<sup>st<\/sup> cuando s=0<\/li>\n\n\n\n<li>una exponencial mon\u00f3tona e<sup>\u03c3t<\/sup> cuando \u03c9=0 y s=\u03c3<\/li>\n\n\n\n<li>una sinusoide cos (\u03c9t) cuando \u03c3=0 y s=\u00b1j\u03c9<\/li>\n\n\n\n<li>una sinusoide con amplitud exponecial&nbsp; e<sup>\u03c3t<\/sup> cos (\u03c9t) cuando s=\u03c3 \u00b1j\u03c9<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>Desarrollamos la gr\u00e1fica del primer caso en Python, a partir de la cual repetimos el proceso para analizas los dem\u00e1s casos.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"555\" height=\"435\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_01.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial compleja st 01\" class=\"wp-image-19478\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-syntaxhighlighter-code \"><pre class=\"brush: python; title: ; notranslate\" title=\"\">\n# Se\u00f1ales exponencial compleja(sigma,omega)\nimport numpy as np\n \n# INGRESO\nsigma = 0  # s = sigma + omega j\nomega = 0\ns = complex(sigma,omega) # numero complejo\nfx = lambda t: np.exp(s*t)\n  \na  = -5 # intervalo de tiempo &#x5B;a,b)\nb  = 5\ndt = 0.1\n  \n# PROCEDIMIENTO\nti = np.arange(a, b, dt)\nsenal = fx(ti)\n  \n# SALIDA - gr\u00e1fica\nimport matplotlib.pyplot as plt\nplt.figure(1)\nplt.plot(ti,np.real(senal),label='real')\nplt.plot(ti,np.imag(senal),label='imaginaria')\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('x(t)')\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>A partir de aqu\u00ed se contin\u00faa con la definici\u00f3n de t en el intervalo del ejercicio anterior, por lo que las instrucciones de Python se a\u00f1aden a continuaci\u00f3n de lo anterior.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exp_realcreciente\">2. Un exponencial Real creciente \u03c3&gt;0 \u03c9=0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"560\" height=\"439\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_02.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial real creciente st 02\" class=\"wp-image-19479\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para \u00e9ste caso se modifica en el bloque de ingreso los par\u00e1metros de \u03c3=1 y \u03c9=0, con lo que el algoritmo realiza la gr\u00e1fica presentada.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un exponencial Real sigma&gt;0 omega=0 <\/span>\nsigma = 1\nomega = 0<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exp_realdecrece\">3. Un exponencial Real decreciente \u03c3&lt;0 \u03c9=0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"559\" height=\"436\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_03.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial real decreciente st03\" class=\"wp-image-19481\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para \u00e9ste caso se modifica en el bloque de ingreso los par\u00e1metros de \u03c3=-1 y \u03c9=0, con lo que el algoritmo realiza la gr\u00e1fica presentada.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un exponencial simple sigma&lt;0 omega=0<\/span>\nsigma = -1\nomega = 0<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exp-coseno\">4. Un sinusiode \u03c3=0, \u03c9&gt;0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"573\" height=\"437\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_04.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial compleja coseno st 04\" class=\"wp-image-19482\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para \u00e9ste caso se modifica en el bloque de ingreso los par\u00e1metros de \u03c3=0 y \u03c9=1, con lo que el algoritmo realiza la gr\u00e1fica presentada.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un sinusiode sigma=0, omega&gt;0<\/span>\nsigma = 0\nomega = 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">5. Un sinusiode \u03c3=0, \u03c9&lt;0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"575\" height=\"439\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_05.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial compleja coseno st05\" class=\"wp-image-19483\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para \u00e9ste caso se modifica en el bloque de ingreso los par\u00e1metros de \u03c3=0 y \u03c9=-1, con lo que el algoritmo realiza la gr\u00e1fica presentada.<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un sinusiode sigma=0, omega&lt;0<\/span>\nsigma = 0\nomega = -1<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exp-cos-creciente\">6. Un sinusoide con amplitud exponencial \u03c3=0.25, \u03c9&gt;0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"550\" height=\"434\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_06.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial compleja coseno creciente st 06\" class=\"wp-image-19484\" \/><\/figure>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un sinusoide con amplitud exponencial sigma=0.25, omega&gt;0<\/span>\nsigma = 0.25\nomega = 4<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"exp-cos-decrece\">7. Un sinusoide con amplitud exponencial \u03c3=-0.25, \u03c9&gt;0<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"553\" height=\"434\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/02\/senal_exp_st_07.png\" alt=\"se\u00f1al exponencial compleja coseno decreciente st 07\" class=\"wp-image-19485\" \/><\/figure>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #ff0000\"># un sinusoide con amplitud exponencial sigma=-0.25, omega&gt;0<\/span>\nsigma = -0.25\nomega = 4<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><strong><a href=\"#exponencial\">e<sup>st<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realcreciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp_realdecrece\">decreciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><strong><a href=\"#exp-coseno\">e<sup>(\u03c3 - j\u03c9)t<\/sup><\/a><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<p>coseno<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-creciente\">creciente<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#exp-cos-decrece\">decreciente<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>est: creciente decreciente e(\u03c3 - j\u03c9)t: coseno creciente decreciente Referencia: Lathi 1.4-3 p89, Hsu 1.3.C p9, Oppenheim 1.3.1 p15 pdf46. 1. 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