{"id":17798,"date":"2017-04-02T09:20:54","date_gmt":"2017-04-02T14:20:54","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=472"},"modified":"2026-02-14T05:20:44","modified_gmt":"2026-02-14T10:20:44","slug":"lti-ct-respuesta-entrada-cero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u03\/lti-ct-respuesta-entrada-cero\/","title":{"rendered":"3.2 LTI CT - Respuesta a entrada cero ZIR - Desarrollo anal\u00edtico"},"content":{"rendered":"\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">ZIR Entrada cero<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#analiticozir\" data-type=\"internal\" data-id=\"#analiticozir\">anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#funcion\">constantes c<sub>i<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>soluci\u00f3n <a href=\"#auxiliar\">auxiliar<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"concepto\">1. Respuesta a entrada cero ZIR<\/h2>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 2.1 p151,&nbsp;Hsu 2.5.B p60, Oppenheim 2.14 p118<\/p>\n\n\n\n<p>La <strong>respuesta a entrada cero<\/strong> de un sistema se obtiene aplicando <strong>x(t)=0<\/strong> en la ecuaci\u00f3n diferencial lineal, es decir <strong><em>no se le aplica una se\u00f1al de entrada<\/em><\/strong>. La respuesta a entrada cero, Zero Input Response (ZIR), tambi\u00e9n es conocida como la soluci\u00f3n a la <strong>ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea<\/strong>, en la que x(t)=0.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-border-color has-base-border-color\"><tbody><tr><td><mark style=\"background-color:#FFFFFF;color:#009500\" class=\"has-inline-color\">Respuesta<br><strong>total<\/strong><\/mark><\/td><td><strong>=<\/strong><\/td><td><mark style=\"background-color:#FFFFFF;color:#ff0000\" class=\"has-inline-color\">respuesta a<br><strong>entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td><td><strong>+<\/strong><\/td><td><mark style=\"background-color:#FFFFFF;color:#0000ff\" class=\"has-inline-color\"><s>respuesta a<br><strong>estado cero<\/strong> ZSR<\/s><\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>La respuesta a entrada cero permite observar las condiciones internas del sistema, cargas en capacitores o corrientes en inductores como energ\u00eda residual de los estados anteriores al de observaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"511\" height=\"89\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/SistemaEntradaCero01.png\" alt=\"Sistema Entrada Cero Diagrama bloques 01\" class=\"wp-image-19584\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>La ecuaci\u00f3n diferencial lineal homog\u00e9nea se obtiene tambi\u00e9n hacer x(t)=0, de una forma:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> a_0 \\frac{d^2}{dt^2}y(t) +a_1\\frac{d}{dt}y(t) + a_2y(t) = 0 <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">ZIR Entrada cero<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#analiticozir\" data-type=\"internal\" data-id=\"#analiticozir\">anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#funcion\">constantes c<sub>i<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>soluci\u00f3n <a href=\"#auxiliar\">auxiliar<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"analiticozir\">2. Ejemplo 1. Respuesta a entrada cero ZIR para un sistema LTI CT - Desarrollo anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image alignright size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"315\" height=\"157\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/FIEC05058_RLC_132.png\" alt=\"FIEC05058 circuito RLC 1H 3 Ohm 1\/2 F\" class=\"wp-image-19579\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 2.1.a p155, Oppenheim ej2.14 p118, <a href=\"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-unidades\/ss-u03\/sistema-modelo-entrada-salida\/#rlcdiff\">ejemplo 1 de Modelo entrada-salida<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>Encuentre la respuesta a <strong>entrada cero<\/strong> (ZIR) para el sistema LTI CT del circuito RLC, descrito por la ecuaci\u00f3n diferencial lineal:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \\frac{dx(t)}{dt} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> (D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t) <\/span>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image alignright size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"315\" height=\"157\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/CircuitoRLCEntradacero01.png\" alt=\"Circuito RLC Entrada cero diagrama 01\" class=\"wp-image-19585\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>con las condiciones o valores iniciales descritos por:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">y<sub>0<\/sub>(t) =0<br>y'<sub>0<\/sub>(t) =-5<\/p>\n\n\n\n<p>La entrada cero del circuito, <strong>x(t)=0<\/strong> convierte la ecuaci\u00f3n lineal en homog\u00e9nea. Para entrada cero se usa x(t)=0, se quita la fuente y se cierra el circuito para observar lo que hace el sistema sin se\u00f1al de entrada.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = 0 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> (D^2 + 3D +2)y(t) = 0 <\/span>\n\n\n\n<p>Siendo el sistema LTI descrito por los polinomios de operadores D descritos como Q(D) y P(D), la ecuaci\u00f3n se simplifica al eliminar P(D):<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> Q(D) y(t) = P(D) x(t) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> (D^2 + 3D +2)y(t) = 0 <\/span>\n\n\n\n<p>Q(D) es la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica o auxiliar del sistema:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\lambda ^2 + 3\\lambda +2 = 0 <\/span>\n\n\n\n<p>Al buscar las ra\u00edces de \u03bb, se escribe la ecuaci\u00f3n en sus factores y se puede buscar los modos caracter\u00edsticos,<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> (\\lambda +1)(\\lambda + 2) = 0 <\/span>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td>Ra\u00edces caracter\u00edsticas<\/td><td>Modos caracter\u00edsticos<\/td><\/tr><tr><td>\u03bb<sub>1<\/sub> = -1<\/td><td>e<sup>-t<\/sup><\/td><\/tr><tr><td>\u03bb<sub>2<\/sub> = -2<\/td><td>e<sup>-2t<\/sup><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Con los modos caracter\u00edsticos se plantea la soluci\u00f3n general y<sub>0<\/sub>(t) como la suma de los modos caracter\u00edsticos con coeficientes a\u00fan por determinar.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n<p>Para determinar los valores de las constantes c<sub>1<\/sub> y c<sub>2<\/sub> se aplican las condiciones iniciales para t<sub>0<\/sub>=0. Del enunciado del ejercicio se tiene que No hay se\u00f1al en la salida al tiempo cero y(0)=0, adem\u00e1s que la variaci\u00f3n es negativa y'(0)=-5:<\/p>\n\n\n\n<p>Las restricciones indicadas tambi\u00e9n son conocidas como <strong>condiciones auxiliares<\/strong>, solo cuando estas condiciones son dadas para t=0 se denominan <strong>condiciones iniciales<\/strong> o valores iniciales (Lathi p161).<\/p>\n\n\n\n<p>En la primera condici\u00f3n con t=0, la salida:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_0 (0) = 0 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y(t)\\Big|_{t=0} = c_1 e^{-0} + c_2 e^{-2(0)} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> c_1+c_2 = 0<\/span>\n\n\n\n<p>en el caso para la condici\u00f3n de primera derivada:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y'_0 (0) = -5 <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y'_0(t)\\Big|_{t=0} = \\frac{d}{dt}\\Big[ c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t}\\Big]\\Big|_{t=0}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> =\\Big[ -c_1 e^{-t} -2c_2 e^{-2t}\\Big] \\Big|_{t=0} <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = -c_1 e^{-0} -2c_2 e^{-2(0)}<\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> -c_1 -2c_2 = -5<\/span>\n\n\n\n<p>Con lo que con la evaluaci\u00f3n de las condiciones iniciales se tiene que:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\begin{cases} c_1 + c_2 = 0\\\\ -c_1 - 2c_2 = -5 \\end{cases}<\/span>\n\n\n\n<p>se resuelve obteniendo:&nbsp; <strong>c<\/strong><sub>1<\/sub> = -5 ; <strong>c<\/strong><sub>2<\/sub> = 5,<br>que al sustituir en la ecuaci\u00f3n anterior, se encuentra la <strong>respuesta a entrada cero ZIR<\/strong>:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> y_0(t) = -5e^{-t} +5e^{-2t} <\/span>\n\n\n\n<p>La gr\u00e1fica muestra el sentido de la corriente, usando la carga residual del capacitor dentro del circuito, a pesar de no tener se\u00f1al de entrada a partir del tiempo 0 hasta 5:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"564\" height=\"440\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/LTIC_Ejercicio01ZIR_Sympy.png\" alt=\"LTIC Ejercicio 01 ZIR Sympy\" class=\"wp-image-19586\" \/><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">ZIR Entrada cero<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#analiticozir\" data-type=\"internal\" data-id=\"#analiticozir\">anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#funcion\">constantes c<sub>i<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>soluci\u00f3n <a href=\"#auxiliar\">auxiliar<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"funcion\">3. C\u00e1lculos num\u00e9ricos con Python<\/h2>\n\n\n\n<p>Para determinar los valores de las constantes, se puede usar algunas instrucciones sencillas con Numpy. Para las ra\u00edces del polinomio se usan solo los coeficientes de operadores D, ordenados de grado mayor a menor.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> D^2 + 3D +2 = 0 <\/span>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code><span style=\"color: #d35400\">import<\/span> numpy <span style=\"color: #d35400\">as<\/span> np\n<span style=\"color: #ff00ff\">&gt;&gt;&gt;<\/span> np.roots(&#091;1,3,2])\n<span style=\"color: #0000ff\">array(&#091;-2., -1.])<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Para los coeficientes se plantean las ecuaciones de la forma matricial Ax=B:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\begin{cases} c_1 + c_2 = 0\\\\ -c_1 - 2c_2 = -5 \\end{cases}<\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">ZIR Entrada cero<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#analiticozir\" data-type=\"internal\" data-id=\"#analiticozir\">anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#funcion\">constantes c<sub>i<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>soluci\u00f3n <a href=\"#auxiliar\">auxiliar<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"auxiliar\">4. Soluci\u00f3n general de ecuaci\u00f3n auxiliar <code>ay\"+by'+c =0<\/code><\/h2>\n\n\n\n<p><em><strong>Referencia<\/strong><\/em>: Stewart James.\u00a0 C\u00e1lculo de varias variables. 17.1 p1147<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table alignwide\"><table><thead><tr><th>Ra\u00edces de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica<\/th><th>soluci\u00f3n general<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>raices reales y distintas <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\lambda_1 , \\lambda_2 <\/span><\/td><td><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">y=c_1 e^{\\lambda_1 t}+c_2 e^{\\lambda_2 t}<\/span><\/td><\/tr><tr><td>ra\u00edces iguales <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\lambda_1 = \\lambda_2 = \\lambda <\/span><\/td><td><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">y=c_1 e^{\\lambda t}+c_2 t e^{\\lambda t}<\/span><\/td><\/tr><tr><td>ra\u00edces complejas <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\alpha \\pm i\\beta <\/span><\/td><td><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">y= e^{\\alpha t}(c_1 \\cos{\\beta t}+c_2 \\sin{\\beta t})<\/span><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-medium-font-size is-layout-flex wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p><a href=\"#concepto\">ZIR Entrada cero<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#analiticozir\" data-type=\"internal\" data-id=\"#analiticozir\">anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"#funcion\">constantes c<sub>i<\/sub><\/a><\/p>\n\n\n\n<p>soluci\u00f3n <a href=\"#auxiliar\">auxiliar<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>ZIR Entrada cero anal\u00edtico constantes ci soluci\u00f3n auxiliar 1. 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