Ejercicio:<\/p>\n\n\n\n
contante 'a'<\/a><\/p>\n\n\n\n condiciones iniciales 'a','b'<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Los ejercicios incluyen constantes tipo s\u00edmbolo, que por simplicidad de la ecuaci\u00f3n en la resoluci\u00f3n se usan solo las operaciones b\u00e1sicas para la transformada Inversa de Laplace.<\/p>\n\n\n\n Referencia<\/em>: <\/strong>Oppenheim ejemplo 9.37 p718 pdf749, semejante al ejercicio sistema-modelo LTI Lathi ejemplo 1.16 p111. Oppenheim problema 2.61c p164 pdf195<\/p>\n\n\n\n Suponga un sistema LTI causal que se describe mediante la ecuaci\u00f3n diferencial:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta ^2}{\\delta t}y(t) + 3 \\frac{\\delta}{\\delta t}y(t) + 2y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n\n que en el dominio 's' se escribe como<\/p>\n\n\n s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = X(s) <\/span>\n\n\n (s^2 + 3 s + 2) Y(s) = X(s) <\/span>\n\n\n H(s) = \\frac{X(s)}{Y(s)} = \\frac{1}{s^2 + 3 s + 2} <\/span>\n\n\n\n Que es semejante a lo realizado en el ejemplo 2<\/strong><\/em> de H(s) Diagramas de bloques, dominio \u2018s\u2019 y ecuaciones diferenciales<\/a>, de donde se tiene que:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{s^2 + 3s +2} = \\frac{1}{(s+1)(s+2)} <\/span>\n\n\n\n Suponga que la se\u00f1al de entrada es x(t) = \u03b1 \u03bc(t) , usando la tabla de transformadas de Laplace<\/a>,\u00a0 la entrada del sistema es,<\/p>\n\n\n X(s) = \\frac{\\alpha}{s} = \\frac{\\alpha}{s+0} <\/span>\n\n\n\n Siempre que las se\u00f1ales de entrada son cero para t<0, la convoluci\u00f3n es la multiplicaci\u00f3n de los t\u00e9rminos. (no aplica para valores t<0)<\/p>\n\n\n Y(s) = H(s) X(s) = \\Big[\\frac{1}{(s+1)(s+2)} \\Big]\\Big[\\frac{\\alpha}{s+0}\\Big] <\/span>\n\n\n\n usando fracciones parciales con Python para encontrar el equivalente, la expresi\u00f3n se puede separar en,<\/p>\n\n\n Y(s) = \\frac{\\alpha}{2}\\frac{1}{s+0} - \\alpha\\frac{1}{s+1} +\\frac{\\alpha}{2}\\frac{1}{s+2} <\/span>\n\n\n\n Luego, aplicando la transformada inversa de Laplace de 1\/(s+a) que es una exponencial e-at<\/sup> \u03bc(t), se tiene la respuesta en el dominio del tiempo.<\/p>\n\n\n y(t) = \\frac{\\alpha}{2}e^{0} u(t) - \\alpha e^{-t}u(t) + \\frac{\\alpha}{2} e^{- 2t} u(t) <\/span>\n\n\n y(t) = \\alpha \\Big [ \\frac{1}{2} - e^{-t} + \\frac{1}{2} e^{- 2t} \\Big] u(t) <\/span>\n\n\n\n Se crea la expresi\u00f3n H(s) y X(s) en forma simb\u00f3lica usando las variables, s y a.<\/p>\n\n\n\n Dado que la expresi\u00f3n es tipo polinomio, y que no existen exponenciales, el desarrollo del algoritmo puede realizarse con operaciones b\u00e1sicas realizadas en las secciones anteriores. A\u00f1adiendo la operaci\u00f3n para encontrar la salida Y(s)<\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s de realizar la transformada inversa de Laplace en cada t\u00e9rmino de Y(s). Con lo que se obtiene el resultado:<\/p>\n\n\n\n Ejercicio:<\/p>\n\n\n\n contante 'a'<\/a><\/p>\n\n\n\n condiciones iniciales 'a','b'<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim ejemplo 9.38 p719<\/p>\n\n\n\n Considere el sistema caracterizado por la ecuaci\u00f3n diferencial con condiciones iniciales.<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2}y(t) + 3 \\frac{\\delta}{\\delta t}y(t) + 2y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n y(0^{-}) = \\beta \\text{, } y'(0^{-}) = \\gamma <\/span>\n\n\n\n sea x(t) = \u03b1\u03bc(t)<\/p>\n\n\n X(s) = \\frac{\\alpha}{s} = \\frac{\\alpha}{s+0} <\/span>\n\n\n\n Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuaci\u00f3n con condiciones iniciales y aplicando la propiedad de diferenciaci\u00f3n<\/a>:<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2}y(t) \\Rightarrow s^2Y(s) - y(0^{-})s - y'(0^{-}) = s^2Y(s) - \\beta s - \\gamma <\/span>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t}y(t) \\Rightarrow sY(s) - y(0^{-}) = sY(s) - \\beta <\/span>\n\n\n\n resultados que se insertan en la ecuaci\u00f3n original de derivadas de t:<\/p>\n\n\n [s^{2}Y(s) - \\beta s - \\gamma] + 3[sY(s) - \\beta] + 2Y(s) = \\frac{\\alpha}{s} <\/span>\n\n\n\n que se reordenan para despejar Y(s),<\/p>\n\n\n [s^{2}+3s +2] Y(s) - \\beta s - (\\gamma + 3 \\beta) = \\frac{\\alpha}{s} <\/span>\n\n\n [s^{2}+3s +2] Y(s) = \\frac{\\alpha}{s}+ \\beta s + (\\gamma + 3 \\beta) <\/span>\n\n\n (s+1)(s+2)Y(s) = \\frac{\\alpha}{s}+ \\beta s + (\\gamma + 3 \\beta) <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{\\alpha}{s(s+1)(s+2)}+ \\frac{\\beta s}{(s+1)(s+2)} + \\frac{(\\gamma + 3 \\beta)}{(s+1)(s+2)} <\/span>\n\n\n Y(s) = \\frac{\\beta (s+3)}{(s+1)(s+2)} + \\frac{\\gamma}{(s+1)(s+2)} + \\frac{\\alpha}{s(s+1)(s+2)} <\/span>\n\n\n\n donde Y(s) es la transformada unilateral de Laplace de y(t)<\/p>\n\n\n\n el \u00faltimo t\u00e9rmino, representa la respuesta del sistema LTI causal y la condici\u00f3n de reposo inicial, conocido tambi\u00e9n como la respuesta en estado cero<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Una interpretaci\u00f3n an\u00e1loga se aplica a los primeros dos t\u00e9rminos del miembro derecho de la ecuaci\u00f3n, que representa la respuesta del sistema cuando la entrada es cero (\u03b1=0) , conocida tambi\u00e9n como respuesta a entrada cero<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Observe que la respuesta a entrada cero es una funci\u00f3n lineal de los valores de las condiciones iniciales. Demostrando que la respuesta es la superposici\u00f3n del estado cero y respuesta a entrada cero<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n si \u03b1=2, \u03b2 = 3 y \u03b3=-5, al realizar la expansi\u00f3n en fracciones parciales encontramos que:<\/p>\n\n\n Y(s) = \\frac{1}{s} - \\frac{1}{s+1} + \\frac{3}{s+2}<\/span>\n\n\n\n con la aplicaci\u00f3n de las tablas de transformadas se obtiene:<\/p>\n\n\n y(t) = \\Big[ 1 - e^{-t} + 3 e^{-2t} \\Big] \\mu (t) \\text{, para } t\\gt 0<\/span>\n\n\n\n Ejercicio:<\/p>\n\n\n\n contante 'a'<\/a><\/p>\n\n\n\n condiciones iniciales 'a','b'<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Ejercicio. Y(s) dado H(s) y X(s) con una constante \u03b1 s\u00edmbolo<\/h2>\n\n\n\n
1.1 Algoritmo con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
# Se\u00f1al de salida Y(s)<\/span>\nYs = Hs*Xs\nYs_parcial = Ys.apart(s)<\/code><\/pre>\n\n\n\nYs:\n a \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n \u239b 2 \u239e\ns\u22c5\u239ds + 3\u22c5s + 2\u23a0\n\n Ys = Hs*Xs :\n a a a \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\n2\u22c5(s + 2) s + 1 2\u22c5s\n\n y(t) :\n -2\u22c5t \na\u22c5\u03b8(t) -t a\u22c5\u212f \u22c5\u03b8(t)\n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - a\u22c5\u212f \u22c5\u03b8(t) + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2 2 \nsym.pprint(yt.simplify())\n \u239b 2\u22c5t t \u239e -2\u22c5t \na\u22c5\u239d\u212f - 2\u22c5\u212f + 1\u23a0\u22c5\u212f \u22c5\u03b8(t)\n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2 \n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\nAlgoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Y(s) = H(s)*X(s)\n# Oppenheim ejemplo 9.37 p718\/pdf746\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\na = sym.Symbol('a', real=True)\n\nHs = 1\/(s**2+3*s+2)\nXs = a\/s\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Se\u00f1al de salida Y(s)\nYs = Hs*Xs\nYsp = Ys.apart(s)\n\nyt = sym.inverse_laplace_transform(Ysp,s,t)\n\n# SALIDA\nprint('Ys:')\nsym.pprint(Ys)\nprint('\\n Ys = Hs*Xs :')\nsym.pprint(Ysp)\nprint('\\n y(t) :')\nsym.pprint(yt)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio. Y(s) con condiciones iniciales tipo constante s\u00edmbolo<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n