{"id":17807,"date":"2017-06-17T09:15:12","date_gmt":"2017-06-17T14:15:12","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=3258"},"modified":"2026-02-14T23:03:39","modified_gmt":"2026-02-15T04:03:39","slug":"transformada-fourier-senales-aperiodicas-continuas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u05\/transformada-fourier-senales-aperiodicas-continuas\/","title":{"rendered":"5.2 Transformada de Fourier - Se\u00f1ales aperi\u00f3dicas continuas con Sympy-Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n

\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Oppenheim 4.1. p285, Lathi 7.2 p680<\/p>\n\n\n\n

El planteamiento de Fourier es que una se\u00f1al aperi\u00f3dica (no peri\u00f3dica) puede observarse como una se\u00f1al peri\u00f3dica con periodo infinito.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Ejercicio. exponencial decreciente con \u03bc(t)<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejercicio 4.1 p290, Lathi ejemplo 7.1 p685, Hsu Ejemplo 5.2 p218<\/p>\n\n\n\n

Considere la se\u00f1al cont\u00ednua exponencial decreciente, desarrolle la transformada de Fourier<\/p>\n\n\n x(t) =e^{-at} \\mu (t) \\text{ ; } a \\gt 0<\/span>\n\n\n\n

\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n

el integral a desarrollar,<\/p>\n\n\n X(\\omega) =\\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-at} \\mu (t) e^{-j \\omega t} \\delta t<\/span>\n\n\n X(\\omega) =\\int_{0}^{\\infty} e^{-(a+j\\omega)t} \\delta t =-\\frac{1}{a+j\\omega} e^{-(a+j\\omega)t} \\Big|_{0}^{\\infty} <\/span>\n\n\n X(\\omega) =-\\frac{1}{a+j\\omega} e^{-(a+j\\omega)(\\infty)} +\\frac{1}{a+j\\omega} e^{-(a+j\\omega)(0)} <\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\frac{1}{a+j\\omega} <\/span>\n\n\n\n

para a>0<\/p>\n\n\n\n

Se obtiene una parte real y otra imaginaria al evaluar F(w) en un intervalo que incluya -a y a.<\/p>\n\n\n\n

\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n es posible observar la magnitud y fase de F(w) en una gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n

\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n

Se observa por ejemplo que el valor de la magnitud |F(0)| = 1\/a. Tambi\u00e9n que la fase se encuentra acotada en \u03c0\/2 y que fase(F(-a)) = -\u03c0\/4.<\/p>\n\n\n\n

Usando el algoritmo con Python se obtiene el siguiente resultado:<\/p>\n\n\n\n

 expresion f(t):\n -a*t             \ne    *Heaviside(t)\n\n expresion F(w):\n   1   \n-------\na + I*w\n\n |F(w)|:\n     1      \n------------\n   _________\n  \/  2    2 \n\\\/  a  + w  \n\n F(w)_fase:\n     \/w\\\n-atan|-|\n     \\a\/\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Transformada de Fourier de se\u00f1ales aperiodicas\n# blog.espol.edu.ec\/telg1001\/\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True,)\nw = sym.Symbol('w', real=True)\na = sym.Symbol('a', real=True,positive=True)\nT = sym.Symbol('T', real=True,positive=True)\nj = sym.I\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\nft = sym.exp(-a*t)*u\n#ft = sym.exp(-a*sym.Abs(t))\n#ft = sym.Heaviside(t+T)-sym.Heaviside(t-T)\n#ft = d\n\n# PROCEDIMIENTO\nunilateral = False\nftw = ft*sym.exp(-j*w*t) # f(t,w) para integrar\nftw = sym.expand(ftw)  # expresion de sumas\nftw = sym.powsimp(ftw) # simplifica exponentes\n\nlim_a = 0 # unilateral\nif not(unilateral):\n    lim_a = -sym.oo\n    \n# integral de Fourier\nFw_F = sym.integrate(ftw,(t,lim_a,sym.oo))\nif Fw_F.is_Piecewise:\n    Fw = Fw_F.args[0] # primera ecuacion e intervalo\n    Fw = Fw[0] # solo expresion\nelse:\n    Fw = Fw_F\nFw = Fw.simplify()\n\n# Magnitud y Fase\nFw_magn = sym.Abs(Fw)\nFw_fase = sym.atan(sym.im(Fw)\/sym.re(Fw))\n\n# SALIDA\nprint('\\n expresion f(t):')\nsym.pprint(ft)\nprint('\\n expresion F(w):')\nsym.pprint(Fw)\nprint('\\n |F(w)|:')\nsym.pprint(Fw_magn)\nprint('\\n F(w)_fase:')\nsym.pprint(Fw_fase)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.2 Algoritmo con Sympy<\/h3>\n\n\n\n
La librer\u00eda Sympy incorpora una funci\u00f3n para determinar en forma simb\u00f3lica la transformada de Fourier, se usa la instrucci\u00f3n para simplificar el algoritmo anterior.<\/p>\n\n\n
\n# Transformada de Fourier de se\u00f1ales aperiodicas\n# blog.espol.edu.ec\/telg1001\/\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True,)\nw = sym.Symbol('w', real=True)\na = sym.Symbol('a', real=True,positive=True)\nT = sym.Symbol('T', real=True,positive=True)\nj = sym.I\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\nft = sym.exp(-a*t)*u\n#ft = sym.exp(-a*sym.Abs(t))\n#ft = u.subs(t,t+T)-u.subs(t,t-T)\n#ft = d\n\n# PROCEDIMIENTO\nft = sym.expand(ft)  # expresion de sumas\nFw = sym.fourier_transform(ft,t,w\/(2*sym.pi))\n\n# Magnitud y Fase\nFw_magn = sym.Abs(Fw)\nFw_fase = sym.atan(sym.im(Fw)\/sym.re(Fw))\n\n# SALIDA\nprint('\\n expresion f(t):')\nsym.pprint(ft)\nprint('\\n expresion F(w):')\nsym.pprint(Fw)\nprint('\\n |F(w)|:')\nsym.pprint(Fw_magn)\nprint('\\n F(w)_fase:')\nsym.pprint(Fw_fase)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
1.3 Gr\u00e1fica en Python<\/h3>\n\n\n\n
Para las gr\u00e1ficas, se dan valores a las constantes a, T, se define el intervalo de la gr\u00e1fica y el n\u00famero de muestras a usar.<\/p>\n\n\n\n
Luego se sustituye en las ecuaciones resultantes los valores de \u2018a\u2018 con \u2018a_k\u2018 obteniendo valores para las gr\u00e1ficas. La gr\u00e1fica para f(t) se realiza de forma semejante en la unidad 1. Para la gr\u00e1fica F(w) se usan una gr\u00e1fica con parte Real e Imaginaria, otra gr\u00e1fica para magnitud y fase.<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA ----------------\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n                {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n                'numpy',]\na_k = 2 # valor de 'a' constante\n# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]\nT_k = 1    # valor T o periodo\nt_a = -2*T_k ; t_b = 2*T_k\nmuestras = 52     # 51 resolucion grafica\n\nft = ft.subs({a:a_k,T:T_k}) # a tiene valor a_k\nFw = Fw.subs({a:a_k,T:T_k})\nFw_magn = Fw_magn.subs({a:a_k,T:T_k})\nFw_fase = Fw_fase.subs({a:a_k,T:T_k})\n\nfigura_ft = ss.graficar_ft(ft,t_a,t_b,muestras)\n\n# F(w) real e imaginaria\nw_a = -a_k*4 ; w_b = a_k*4\nwi  = np.linspace(w_a,w_b,muestras)\n\n# convierte a sympy una constante\nFw = sym.sympify(Fw,w) \nif Fw.has(w): # no es constante\n    F_w = sym.lambdify(w,Fw,\n                       modules=equivalentes)\nelse:\n    F_w = lambda w: Fw + 0*w\nFwi = F_w(wi) # evalua wi\n\n# F(w) magnitud y fase\n# convierte a sympy una constante\nFw_magn = sym.sympify(Fw_magn,w)\nif Fw_magn.has(w): # no es constante\n    F_w_magn = sym.lambdify(w,Fw_magn,\n                            modules=equivalentes)\nelse:\n    F_w_magn = lambda w: Fw_magn + 0*w\n\n# convierte a sympy una constante\nFw_fase = sym.sympify(Fw_fase,w) \nif Fw_fase.has(w): # no es constante\n    F_w_fase = sym.lambdify(w,Fw_fase,\n                            modules=equivalentes)\nelse:\n    F_w_fase = lambda w: Fw_fase + 0*w\n\nFwi_magn = F_w_magn(wi) # evalua wi\nFwi_fase = F_w_fase(wi) \n\n# F(w) real e imaginaria\nfig_Fw, graf_Fwi = plt.subplots(2,1)\n\ngraf_Fwi[0].plot(wi,np.real(Fwi),label='Re(F(w))',\n                 color='orange')\ngraf_Fwi[0].legend()\ngraf_Fwi[0].set_ylabel('Re (F(w)) ')\ngraf_Fwi[0].grid()\n\ngraf_Fwi[1].plot(wi,np.imag(Fwi),label='Imag(F(w))',\n                 color='brown')\ngraf_Fwi[1].legend()\ngraf_Fwi[1].set_xlabel('w')\ngraf_Fwi[1].set_ylabel('imag(F(w))')\ngraf_Fwi[1].grid()\n\nplt.suptitle(r'F(w) = $'+str(sym.latex(Fw))+'$')\n# plt.show()\n\n# F(w) magnitud y fase\nfig_Fwmg, graf_Fw = plt.subplots(2,1)\n\ngraf_Fw[0].plot(wi,Fwi_magn,label='F(w)_magn',\n                color='orange')\nFwa0 = F_w_magn(0)\nFwa1 = F_w_magn(-a_k)\nFwa2 = F_w_magn(a_k)\nif Fw_magn.has(w): # no es constante\n    graf_Fw[0].stem([-a_k,a_k],[Fwa1,Fwa2],\n                basefmt=' ',linefmt ='--')\n    etiqueta1 = '('+str(a_k)+','+str(round(Fwa2,4))+')'\n    graf_Fw[0].annotate(etiqueta1, xy=(a_k,Fwa2))\netiqueta0 = '('+str(0)+','+str(round(Fwa0,4))+')'\ngraf_Fw[0].scatter(0,Fwa0)\ngraf_Fw[0].annotate(etiqueta0, xy=(0,Fwa0))\ngraf_Fw[0].legend()\ngraf_Fw[0].set_ylabel('F(w) magnitud ')\ngraf_Fw[0].grid()\n\ngraf_Fw[1].plot(wi,Fwi_fase,label='F(w)_fase',\n                 color='brown')\ngraf_Fw[1].axhline(np.pi\/2,linestyle ='--')\ngraf_Fw[1].axhline(-np.pi\/2,linestyle ='--')\nif Fw_magn.has(w): # no es constante\n    Fwa1f = F_w_fase(-a_k)\n    Fwa2f = F_w_fase(a_k)\n    graf_Fw[1].stem([-a_k,a_k],[Fwa1f,Fwa2f],\n                basefmt=' ',linefmt ='--')\n    etiqueta3 = '('+str(a_k)+','+str(round(Fwa2f,4))+')'\n    graf_Fw[1].annotate(etiqueta3, xy=(a_k,Fwa2f))\ngraf_Fw[1].legend()\ngraf_Fw[1].set_xlabel('w')\ngraf_Fw[1].set_ylabel('F(w) fase')\ngraf_Fw[1].grid()\n\nplt.suptitle(r'F(w) = $'+str(sym.latex(Fw))+'$')\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
2. Ejercicio. Exponencial decreciente con |t|, funci\u00f3n par<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejercicio 4.2 p291, Lathi ejemplo 7. p685, Hsu 5.21 p248<\/p>\n\n\n\n
Considere la se\u00f1al cont\u00ednua exponencial decreciente, desarrolle la transformada de Fourier<\/p>\n\n\n x(t) =e^{-a|t|} \\text{ ; } a \\gt 0<\/span>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n X(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-a|t|} e^{-j \\omega t} \\delta t <\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{0}e^{at} e^{-j \\omega t} \\delta t + \\int_{0}^{\\infty}e^{-at} e^{-j \\omega t} \\delta t <\/span>\n\n\n = \\int_{-\\infty}^{0}e^{at-j \\omega t} \\delta t + \\int_{0}^{\\infty}e^{-at-j \\omega t} \\delta t <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{at-j \\omega} e^{(a-j \\omega) t}\\Big|_{-\\infty}^{0} - \\frac{1}{a+j\\omega}e^{-(at+j \\omega) t} \\Big| _{0}^{\\infty} <\/span>\n\n\n = \\Big[ \\frac{1}{at-j \\omega} e^{(a-j \\omega) (0)} - \\frac{1}{at-j \\omega t} e^{(a-j \\omega) (-\\infty)} \\Big] +<\/span>\n\n\n- \\Big[ \\frac{1}{a+j\\omega}e^{-(at+j \\omega) (\\infty)} - \\frac{1}{a+j\\omega}e^{-(at+j \\omega)(0)}\\Big] <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{a-j\\omega} +\\frac{1}{a+j\\omega} = \\frac{a+j\\omega+ a-j\\omega}{(a-j\\omega)(a+j\\omega)}<\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\frac{2a}{(a^2+\\omega^2)}<\/span>\n\n\n\n
Para desarrollar el ejercicio con el algoritmo, la entrada de se\u00f1al se expresar\u00eda en el algoritmo como:<\/p>\n\n\n\n
ft = sym.exp(-a*sym.Abs(t)) # Ej 4.2 Oppenheim<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
el resultado a comparar con el desarrollo anal\u00edtico es:<\/p>\n\n\n\n
 expresion f(t):\n -a*|t|\ne      \n\n expresion F(w):\n  2*a  \n-------\n 2    2\na  + w \n\n |F(w)|:\n  2*a  \n-------\n 2    2\na  + w \n\n F(w)_fase:\n0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Gr\u00e1fica de F(w) magnitud y fase<\/p>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n
El algoritmo es el mismo que el ejercicio 1, modificando el bloque de ingreso para el problema<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Ejercicio. Rectangular centrada en origen<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejercicio 4.4 p293, Lathi ejemplo 7.2 p689, Hsu 5.19 p247<\/p>\n\n\n\n
Considere la se\u00f1al pulso rectangular o pulso compuerta (gate), desarrolle la transformada de Fourier<\/p>\n\n\n x(t) =\\begin{cases}1 && |t|<T_1, \\\\ 0 && |t|>T_1\\end{cases} <\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\int_{-T_1}^{T_1} e^{-j\\omega t} \\delta t<\/span>\n\n\n = -\\frac{1}{j \\omega} e^{-j\\omega t}\\Big|_{-T_1}^{T_1} = -\\frac{1}{j \\omega} \\Big[ e^{-j\\omega (T_1)} - e^{-j\\omega (-T_1)}\\Big] <\/span>\n\n\n = -\\frac{1}{j \\omega} \\Big[ e^{-T_1 j\\omega } - e^{jT_1\\omega } \\Big] <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{j \\omega} e^{T_1 j\\omega} - \\frac{1}{j \\omega} e^{-T_1 j\\omega } <\/span>\n\n\n\n
en este punto es conveniente usar la forma trigonom\u00e9trica de un exponencial con exponente complejo<\/p>\n\n\n = \\frac{1}{j \\omega} (\\cos (T_1\\omega)+j \\sin(T_1\\omega)) - \\frac{1}{j \\omega} (cos(T_1 \\omega) -jsin(T_1\\omega))<\/span>\n\n\n = \\frac{1}{j \\omega}\\cos (T_1\\omega)+j\\frac{1}{j \\omega} \\sin(T_1\\omega) - \\frac{1}{j \\omega} cos(T_1 \\omega) +j\\frac{1}{j \\omega} sin(T_1\\omega))<\/span>\n\n\n X(\\omega) = 2\\frac{\\sin(T_1\\omega)}{\\omega}<\/span>\n\n\n\n
Para desarrollar el ejercicio con el algoritmo, la se\u00f1al se expresar\u00eda como:<\/p>\n\n\n\n
ft = sym.Heaviside(t+T)-sym.Heaviside(t-T)\n# Ej 4.4 Oppenheim<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
obteniendo el siguiente resultado<\/p>\n\n\n\n
 expresion f(t):\n-Heaviside(-T + t) + Heaviside(T + t)\n\n expresion F(w):\n2*sin(T*w)\n----------\n    w     \n\n |F(w)|:\n  |sin(T*w)|\n2*|--------|\n  |   w    |\n\n F(w)_fase:\n0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con la siguiente gr\u00e1fica f(T)<\/p>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n
gr\u00e1fica de F(w) parte real e imaginaria<\/p>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n
El algoritmo es el mismo que el ejercicio 1, modificando el bloque de ingreso para el problema<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Ejercicio. Pulso unitario<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejercicio 4.3 p292, Lathi ejemplo 7.3 p693, Hsu 5.1 p218<\/p>\n\n\n\n
Considere la se\u00f1al pulso unitario, desarrolle la transformada de Fourier<\/p>\n\n\n x(t) = \\delta (t) <\/span>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n X(j\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\delta (t) e^{-j \\omega t} \\delta t = 1 <\/span>\n\n\n\n
Es decir la transformada de Fourier tiene componentes de todas las frecuencias.<\/p>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n
El algoritmo entrega el siguiente resultado:<\/p>\n\n\n\n
 expresion f(t):\nDiracDelta(t)\n\n expresion F(w):\n1\n\n |F(w)|:\n1\n\n F(w)_fase:\n0<\/code><\/pre>\n\n\n\n
El pulso unitario se define en Sympy como:<\/p>\n\n\n\n
ft = sym.DiracDelta(t) # Ej 4.3 Oppenheim<\/span><\/code><\/pre>\n\n\n\n
En la parte gr\u00e1fica, el pulsos unitarios se grafican con plt.stem(0,1), no requiriendo el resto de las gr\u00e1ficas para observar el resultado.<\/p>\n\n\n\n
El algoritmo es el mismo que el ejercicio 1, modificando el bloque de ingreso para el problema<\/p>\n\n\n\n
Tarea<\/strong><\/em>: Realizar otros ejercicios con exponenciales para comprobar la operaci\u00f3n del algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
e(\u2212at)<\/sup>\u03bc(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
 e(\u2212a\u2223t\u2223)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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e(\u2212at)\u03bc(t) algoritmo gr\u00e1fica e(\u2212a\u2223t\u2223) rectangular \u03b4(t) Referencia: Oppenheim 4.1. p285, Lathi 7.2 p680 El planteamiento de Fourier es que una se\u00f1al aperi\u00f3dica (no peri\u00f3dica) puede observarse como una se\u00f1al peri\u00f3dica con periodo infinito. 1. Ejercicio. exponencial decreciente con \u03bc(t) Referencia: Oppenheim Ejercicio 4.1 p290, Lathi ejemplo 7.1 p685, Hsu Ejemplo 5.2 p218 Considere la se\u00f1al […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[175],"tags":[],"class_list":["post-17807","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u05"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17807","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=17807"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17807\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21537,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17807\/revisions\/21537"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=17807"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=17807"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=17807"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}