{"id":17808,"date":"2017-06-18T09:20:47","date_gmt":"2017-06-18T14:20:47","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=3281"},"modified":"2026-04-05T23:43:00","modified_gmt":"2026-04-06T04:43:00","slug":"fourier-frecuencia-w","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u05\/fourier-frecuencia-w\/","title":{"rendered":"5.3 Transformada de Fourier - Dominio frecuencia \u03c9"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n

ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n

Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n

y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t):<\/p>\n\n\n\n

\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n

integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Transformadas Fourier - H(\u03c9)<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Oppenheim 3.2 p182, 4.4 p314, Lathi p714, Hsu 5.5.A p223<\/p>\n\n\n\n

Las transformadas de Fourier presentan una facilidad con la propiedad de la convoluci\u00f3n expresada como:<\/p>\n\n\n y(t)= h(t) \\circledast x(t) \\leftrightarrow Y(\\omega) = H(\\omega) X(\\omega) <\/span>\n\n\n\n

Lo que para se\u00f1ales y sistemas representa un componente importante en el an\u00e1lisis de sistemas LTI, al poder representar los sistemas por bloques en serie y paralelo semejante a lo realizado con la transformada de Laplace:<\/p>\n\n\n\n

\"LIT<\/figure>\n\n\n\n

La convergencia de la transformada de Fourier se garantiza bajo ciertas condiciones. El an\u00e1lisis de Fourier para el estudio de sistemas LTI se restringe a los que sus respuestas al impulso tienen transformada de Fourier. Los detalles se mostrar\u00e1n en cada ejercicio presentado.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n

ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n

Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n

y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n

h(t):<\/p>\n\n\n\n

\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n

e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n

derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n

integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. H(\u03c9) desde una ecuaci\u00f3n diferencial<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.25 p331<\/p>\n\n\n\n

Considere un sistema LTI estable que se caracteriza por la ecuaci\u00f3n diferencial,<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta^2}{\\delta t^2}y(t) + 4\\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) + 3 y(t) = \\frac{\\delta}{\\delta t}x(t)+2x(t) <\/span>\n\n\n\n

usando la propiedad de la diferenciaci\u00f3n en el dominio \u03c9, se tiene que:<\/p>\n\n\n (j\\omega)^2 Y(\\omega) + 4(j\\omega) Y(\\omega) + 3 Y(\\omega) = (j\\omega)X(\\omega)+2X(\\omega) <\/span>\n\n\n \\Big((j\\omega)^2 + 4(j\\omega) + 3\\Big) Y(\\omega) = \\Big((j\\omega)+2\\Big) X(\\omega) <\/span>\n\n\n\n

la funci\u00f3n de transferencia se obtiene como,<\/p>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{Y(\\omega)}{X(\\omega)} <\/span>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{(j\\omega)+2}{(j\\omega)^2 + 4(j\\omega) + 3} <\/span>\n\n\n\n

Para facilitar encontrar h(t) se usan fracciones parciales respecto a j\u03c9, de forma semejante a lo realizado para el dominio s<\/code> con instrucciones de Sympy-Python, Las instrucciones las puede recordar observando el ejercicio, donde se adjunta el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n

Hw:\n(jw+2)\/(jw**2+4*jw+3)\nHw en fracciones parciales:\n    1            1     \n---------- + ----------\n2*(jw + 3)   2*(jw + 1)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con la tabla de transformadas de Fourier<\/a> se obtiene que,<\/p>\n\n\n h(t) = \\frac{1}{2} e^{-t} \\mu(t) + \\frac{1}{2} e^{-3t} \\mu(t) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Respuesta total Y(\u03c9)=X(\u03c9)H(\u03c9)<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.27 p332<\/p>\n\n\n\n
Considere el sistema del ejemplo anterior y suponga una entrada x(t) dada por<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-t} \\mu(t) <\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\frac{1}{j\\omega +1} <\/span>\n\n\n\n
la salida del sistema usando los componentes en el dominio de la frecuencia<\/p>\n\n\n Y(\\omega) = H(\\omega)X(\\omega) <\/span>\n\n\n = \\Big[ \\frac{j\\omega+2}{(j\\omega+1)(j\\omega + 3)} \\Big]\\Big[\\frac{1}{j\\omega +1}\\Big] <\/span>\n\n\n = \\frac{j\\omega+2}{(j\\omega+1)^2 (j\\omega + 3)} <\/span>\n\n\n\n
separando en fracciones parciales<\/p>\n\n\n\n
Hw:\n          jw + 2         \n-------------------------\n         \/  2           \\\n(jw + 1)*\\jw  + 4*jw + 3\/\n\nHw fracciones parciales jw:\n      1            1             1     \n- ---------- + ---------- + -----------\n  4*(jw + 3)   4*(jw + 1)             2\n                            2*(jw + 1) \n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
con la tabla de transformadas de Fourier<\/a> se obtiene que,<\/p>\n\n\n y(t) = \\Big[ \\frac{1}{4} e^{-t} +\\frac{1}{2}te^{-t} - \\frac{1}{4} e^{-3t} \\Big] \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# H(w) Funciones de transferencia\n# blog.espol.edu.ec\/telg1001\/\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nw = sym.Symbol('w', real=True)\nj = sym.I\njw = sym.Symbol('jw',real=True)\n\nXw = 1\/(jw+1)\nHw = (jw+2)\/(jw**2+4*jw+3)\n\n# PROCEDIMIENTO\nYw = Hw*Xw\nYwp = sym.apart(Yw,jw)\n\nprint('Hw:')\nsym.pprint(Yw)\nprint('\\nHw fracciones parciales jw:')\nsym.pprint(Ywp)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Respuesta y(t) con h(t) y x(t) en dominio de frecuencia<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.19 p320,  Hsu 5.4.I p220<\/p>\n\n\n\n
Considere la respuesta al impulso de un sistema LTI como:<\/p>\n\n\n h(t) = e^{-at} \\mu (t) \\text{ , } a>0 <\/span>\n\n\n\n
y una se\u00f1al de entrada:<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-bt} \\mu (t) \\text{ , } b>0 <\/span>\n\n\n\n
En lugar de calcular la convoluci\u00f3n se resolver\u00e1 el problema en el dominio de la frecuencia.<\/p>\n\n\n\n
Para observar una gr\u00e1fica, se supondr\u00e1n valores de a=3 y b=2<\/p>\n\n\n\n
\"LIT<\/figure>\n\n\n\n
\"Bloques<\/figure>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{1}{a+ j \\omega} <\/span>\n\n\n X(\\omega) = \\frac{1}{b+ j \\omega} <\/span>\n\n\n Y(\\omega) = H(\\omega)X(\\omega) = \\Big[ \\frac{1}{a+ j \\omega} \\Big] \\Big[ \\frac{1}{b+ j \\omega} \\Big] <\/span>\n\n\n\n
Para hacer la transformada inversa de Fourier, se usa fracciones parciales, semejante a lo realizado en la unidad 4<\/p>\n\n\n Y(\\omega) = \\frac{k_1}{a+ j \\omega} + \\frac{k_2}{b+ j \\omega} <\/span>\n\n\n k_1 = \\frac{1}{\\cancel{(a+ j \\omega)} (b+ j \\omega)} \\Big|_{j\\omega=-a} = \\frac{1}{b-a}<\/span>\n\n\n k_2 = \\frac{1}{(a+ j \\omega) \\cancel{(b+ j \\omega)}} \\Big|_{j\\omega=-b} = \\frac{1}{a-b}<\/span>\n\n\n\n
con lo que k1= -k2<\/p>\n\n\n Y(\\omega) = \\frac{1}{b-a} \\Big[\\frac{1}{a+ j \\omega} - \\frac{1}{b+ j \\omega} \\Big] <\/span>\n\n\n\n
la transformada inversa se obtiene para cada t\u00e9rmino de la suma como:<\/p>\n\n\n y(t) = \\frac{1}{b-a} \\Big [ e^{-at} \\mu(t) - e^{-bt} \\mu(t) \\Big] <\/span>\n\n\n\n
Resultado usando el algoritmo del ejercicio 3<\/p>\n\n\n\n
 Y(w) = H(w)*X(w)\n         1         \n-------------------\n(a + I*w)*(b + I*w)\n\n Y(w) en fracciones parciales:\n        1                   1        \n----------------- - -----------------\n(a - b)*(b + I*w)   (a - b)*(a + I*w)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. h(t) como respuesta a un impulso desplazado<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.16 p317, Lathi 7.14 708. Hsu 5.4.B p219<\/p>\n\n\n\n
Considere un sistema LTI CT (continuo en el tiempo) con respuesta a impulso dado por:<\/p>\n\n\n h(t) = \\delta (t-t_0) <\/span>\n\n\n\n
La respuesta a este sistema esta dada por la respuesta desplazada del impulso.<\/p>\n\n\n H(\\omega) = 1 e^{-j \\omega t_0} = e^{-j \\omega t_0} <\/span>\n\n\n\n
El sistema ante una entrada x(t) con transformada de Fourier X(\u03c9) tendr\u00e1 la salida:<\/p>\n\n\n Y(\\omega) =H(\\omega)X(\\omega) = e^{-j \\omega t_0} X( \\omega) <\/span>\n\n\n\n
resultado con algoritmo Python<\/p>\n\n\n\n
 h(t):\nDiracDelta(-a + t)\n\n H(w):\n -I*a*w\ne      \n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# H(w) Funciones de transferencia\n# https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/senales\/ss-unidades\/ss-unidad-5\/\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True,)\nw = sym.Symbol('w', real=True)\nj = sym.I\na = sym.Symbol('a', real=True,positive=True)\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\n#ht = d\nht = d.subs(t,t-a)\n#ht = sym.exp(-a*sym.Abs(t))\n#ht = u.subs(t,t+a)-u.subs(t,t-a)\n#ht = sym.exp(-a*t)*u\n\n# PROCEDIMIENTO\nht = sym.expand(ht)  # expresion de sumas\nHw = sym.fourier_transform(ht,t,w\/(2*sym.pi))\n\n# SALIDA\nprint('\\n h(t):')\nsym.pprint(ht)\nprint('\\n H(w):')\nsym.pprint(Hw)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
6. h(t) de un exponencial decreciente<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejercicio 4.1. p290, Lathi ejemplo 7.1 p685, Hsu Ejemplo 5.2 p218<\/p>\n\n\n x(t) =e^{-at} \\mu (t) \\text{ ; } a \\gt 0<\/span>\n\n\n\n
\"Transformada<\/figure>\n\n\n\n
 h(t):\n -t              \n ---             \n  2              \ne   *Heaviside(t)\n\n H(w):\n    2    \n---------\n2*I*w + 1\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
7. h(t) como un diferenciador<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.16 p317, Lathi 7.14 716. Hsu 5.4.G p220<\/p>\n\n\n\n
El bloque de respuesta a impulso es un diferenciador, por lo que las funciones de entrada y salida se relacionan por<\/p>\n\n\n y(t) = \\frac{\\delta}{\\delta t}x(t) <\/span>\n\n\n\n
\"Bloques<\/figure>\n\n\n\n
usando la diferenciaci\u00f3n de las propiedades de la transformada de Fourier<\/a><\/p>\n\n\n Y(\\omega) = j \\omega X( \\omega ) <\/span>\n\n\n\n
en consecuencia:<\/p>\n\n\n H(\\omega) = j \\omega <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
8. h(t) como un integrador<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong><\/em>: Oppenheim Ej 4.17 p318,  Hsu 5.4.I p220<\/p>\n\n\n\n
El bloque de respuesta a impulso es una integraci\u00f3n, por lo que las funciones de entrada y salida se relacionan por<\/p>\n\n\n y(t) = \\int_{-\\infty}^{t}x(\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n
\"Bloques<\/figure>\n\n\n\n
usando la propiedad de Integraci\u00f3n:<\/p>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{1}{j \\omega} +\\pi \\delta(\\omega) <\/span>\n\n\n Y(\\omega) = \\Big[\\frac{1}{j \\omega} +\\pi \\delta(\\omega) \\Big]X( \\omega) <\/span>\n\n\n Y(\\omega) = \\frac{1}{j \\omega}X(\\omega) +\\pi \\delta(\\omega) X(0) <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
ecuaci\u00f3n dif<\/a><\/p>\n\n\n\n
Y(\u03c9)<\/a><\/p>\n\n\n\n
y(t)<\/a><\/p>\n\n\n\n
h(t):<\/p>\n\n\n\n
\u03b4(t\u2212t0\u200b)<\/a><\/p>\n\n\n\n
e(-at)<\/sup><\/a><\/p>\n\n\n\n
derivada<\/a><\/p>\n\n\n\n
integral<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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